Low regularity potentials in heterogeneous Cahn--Hilliard functionals

1. Problématique et Contexte

L'article étudie le comportement asymptotique (lorsque $\varepsilon \to 0$) du fonctionnel de Cahn-Hilliard, modèle prototypique de la séparation de phases liquide-liquide, dans un cadre hétérogène et avec des potentiels de faible régularité.

Le fonctionnel considéré est de la forme :
$$F_\varepsilon(u) := \int_\Omega \left[ \frac{1}{\varepsilon} W(x, u(x)) + \varepsilon |\nabla u(x)|^2 \right] dx$$
où :

• $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ est un domaine borné.
• $u : \Omega \to \mathbb{R}^M$ est le paramètre d'ordre (phase).
• $W(x, u)$ est une densité d'énergie libre dépendant de la position $x$.
• Les puits (minima globaux de $W$) sont notés $a(x)$ et $b(x)$, dépendant de l'espace.

Le défi principal : La littérature antérieure (notamment [3, 7, 8, 16]) impose généralement des hypothèses fortes de régularité sur les puits $a(x), b(x)$ (Lipschitziens) et sur le potentiel $W$ (souvent quadratique près des puits, $C^2$). Ces hypothèses sont nécessaires pour garantir que les géodésiques minimisant l'énergie de transition ont une longueur euclidienne uniformément bornée.

L'objectif de cet article est de significativement affaiblir ces hypothèses de régularité tout en établissant la compacité et la convergence $\Gamma$ du fonctionnel.

2. Hypothèses et Méthodologie

Les auteurs introduisent un ensemble d'hypothèses structurelles et de régularité beaucoup plus faibles :

Hypothèses Structurelles (H1-H5)

Ces hypothèses suffisent pour obtenir un résultat de compacité :

• Carathéodory : $W$ est mesurable en $x$ et continue en $u$.
• Puits BV : Les puits $a(x)$ et $b(x)$ appartiennent à $BV(\Omega; \mathbb{R}^M) \cap L^\infty(\Omega; \mathbb{R}^M)$. Ils peuvent donc avoir des sauts (contrairement aux travaux précédents exigeant la continuité Lipschitzienne).
• Séparation : $|a(x) - b(x)| \ge \delta > 0$.
• Croissance contrôlée : $W$ est contrôlée par une fonction $f$ (non linéaire, croissante) près des puits et à l'infini. La croissance à l'infini est au moins linéaire.
• Non-dégénérescence : $W$ ne s'annule que sur les puits.

Hypothèses de Régularité pour la Convergence $\Gamma$ (H6-H8)

Pour obtenir la limite $\Gamma$, des hypothèses supplémentaires sont requises :

• Structure par morceaux (H6) : Le domaine est partitionné en sous-ensembles $\Omega_i$ où les puits et le potentiel sont réguliers ($C^0$ ou $W^{1,2}$), permettant des sauts aux interfaces de la partition.
• Continuité relative (H7) : Une condition de continuité modulaire sur le potentiel "ajusté" (via une transformation $T$ qui fixe les puits à $\pm e_1$). Cela permet de "geler" le potentiel localement lors des estimations.
• Condition de doublement (H8) : La fonction $f$ contrôlant la croissance près des puits satisfait $f(2t) \le C f(t)$. Cela inclut des potentiels concaves près des puits, exclus dans les travaux précédents.

Méthodologie Clé

1. Transformation d'ajustement : Utilisation d'une application $T(x, \cdot)$ pour transformer le problème à puits mobiles en un problème à puits fixes ($\pm e_1$), simplifiant l'analyse géométrique.
2. Mesures de Young : Utilisation cruciale de la théorie des mesures de Young pour gérer la compacité et la convergence des séquences d'énergie bornée, même avec des potentiels peu réguliers.
3. Géodésiques dégénérées : Démonstration de l'existence de géodésiques pour des métriques dégénérées (où le poids $\sqrt{W}$ s'annule) et, point technique majeur, la preuve d'une borne uniforme sur la longueur euclidienne de ces géodésiques sous des hypothèses très faibles (Théorème 4.8).
4. Approximation des ensembles de périmètre fini : Utilisation d'un résultat d'approximation (Proposition 4.15) pour approcher les ensembles de périmètre fini par des ensembles à frontière $C^2$ par morceaux, tout en préservant les interfaces avec les sauts du potentiel.

3. Résultats Principaux

A. Résultat de Compacité (Théorème 2.16)

Sous les hypothèses (H1)-(H5), toute suite $\{u_n\}$ d'énergie uniformément bornée admet une sous-suite convergente fortement dans $L^1(\Omega; \mathbb{R}^M)$ vers une fonction $u \in BV(\Omega; \{a, b\})$.

• Signification : La limite est une fonction à valeurs dans les puits locaux, avec une interface de transition de périmètre fini.

B. Convergence $\Gamma$ (Théorème 2.17)

Sous les hypothèses (H1)-(H8), la suite de fonctionnels $\{F_\varepsilon\}$ converge au sens de $\Gamma$ vers un fonctionnel limite $F_\infty$ défini sur $BV(\Omega; \{a, b\})$ :
$$F_\infty(u) = \int_{J_u \cap \Omega} d_W(x; u^-(x), u^+(x)) \, d\mathcal{H}^{N-1}(x)$$
où :

• $J_u$ est l'ensemble de saut de $u$.
• $d_W(x; p, q)$ est la distance géodésique associée au potentiel $W(x, \cdot)$, définie par :
  $$d_W(x; p, q) = \inf \left\{ \int_{-1}^1 2\sqrt{W(x, \gamma(t))} |\gamma'(t)| \, dt \right\}$$
• Ce résultat généralise les limites connues au cas de puits discontinus et de potentiels non quadratiques.

C. Cas avec Contrainte de Masse (Théorème 2.20)

Les résultats s'étendent au problème avec contrainte de masse $\int_\Omega u = m$. Les auteurs adaptent la construction de la suite de récupération (recovery sequence) pour respecter la contrainte de masse, en modifiant localement la fonction près de points de densité 0 et 1, sans altérer l'énergie limite.

4. Contributions Techniques Majeures

1. Borne uniforme sur la longueur des géodésiques (Théorème 4.8) :
   C'est le résultat technique le plus profond. Les auteurs prouvent que même si le potentiel $W$ est très irrégulier (seulement Carathéodory, croissance contrôlée par $f$), les géodésiques minimisant l'énergie de transition ont une longueur euclidienne uniformément bornée.

   • Contre-exemple (Exemple 4.10) : Ils montrent que sans leurs hypothèses (notamment la condition de croissance à l'infini et la structure des puits), la longueur des géodésiques peut devenir infinie, rendant la convergence $\Gamma$ impossible.

2. Gestion des puits discontius :
   Contrairement aux travaux précédents qui exigeaient des puits Lipschitziens, cet article accepte des puits dans $BV$. La preuve utilise la règle de la chaîne pour les fonctions $BV$ et la théorie des mesures de Young pour gérer les sauts des puits dans l'expression de l'énergie limite.

3. Potentiels non quadratiques :
   L'hypothèse (H8) permet d'inclure des potentiels qui ne sont pas nécessairement quadratiques près des puits (par exemple, des potentiels concaves), élargissant ainsi la classe de modèles physiques couverts.

5. Signification et Impact

Ce travail représente une avancée significative dans l'analyse variationnelle des modèles de séparation de phases hétérogènes :

• Généralisation : Il lève les barrières de régularité (Lipschitz, $C^2$) qui étaient considérées comme nécessaires pour obtenir des résultats de convergence $\Gamma$ dans le cas vectoriel.
• Robustesse : Il démontre que la structure fondamentale du problème (séparation de phases avec interface) est robuste face à des irrégularités spatiales importantes (sauts dans les matériaux) et à des comportements de potentiel non standards.
• Applications : Ces résultats sont pertinents pour la modélisation de matériaux composites hétérogènes, de membranes biologiques ou de systèmes multiphasiques où les propriétés des phases varient de manière discontinue ou irrégulière dans l'espace.

En résumé, l'article établit que la limite $\Gamma$ du fonctionnel de Cahn-Hilliard hétérogène conserve sa forme classique (énergie de surface pondérée par une distance géodésique locale), même dans des régimes de très faible régularité, à condition de contrôler la croissance du potentiel et la géométrie des puits.