1774 पेपर
यह शोध पत्र -फंक्शन्स के मानक ट्विस्ट (standard twists) के सिद्धांत को -फंक्शन्स के एक समूह के लिए 'मल्टीपल स्टैंडर्ड ट्विस्ट' को परिभाषित करके और संपूर्ण जटिल स्थान (complex space) तक इसके मेरोमॉर्फिक निरंतरता (meromorphic continuation) को स्थापित करके बहुआयामी परिवेश में विस्तारित करता है, जो एक-आयामी मामले की तुलना में इसकी विलक्षणता व्यवहार (singularity behavior) में समानताएं और विशिष्ट संरचनात्मक अंतर दोनों को प्रकट करता है।
यह शोधपत्र -फंक्शन्स के इनवेरियंट्स (invariants) के संबंध में एक पिछले कथन के सटीक अर्थ को यह प्रदर्शित करके स्पष्ट करता है कि प्रत्येक ऐसा इनवेरिएंट एक परिमेय विस्तार (rational extension) स्वीकार करता है, जिससे औपचारिक रूप से यह स्थापित होता है कि कार्यात्मक समीकरण (functional equation) के डेटा का एक सम्मिश्र-मान वाला फलन (complex-valued function) एक इनवेरिएंट है यदि और केवल यदि वह गुणन और फैक्टोरियल सूत्रों के अधीन स्थिर रहता है।
यह शोध पत्र समान समता (parity) वाले भिन्न भागों वाले विभाजनों (partitions) में प्रतिबंधित बहिष्करण सांख्यिकी (restricted excludant statistics) की जांच करता है, जो उनके जनरेटिंग फलनों (generating functions) और विशिष्ट क्वांटम मॉड्यूलर रूपों (quantum modular forms) के बीच -श्रंखला रूपांतरणों (q-series transformations) के माध्यम से संबंध स्थापित करता है, और टौबेरियन विधियों (Tauberian methods) का उपयोग करके उनके अनंत व्यवहार (asymptotic behavior) को व्युत्पन्न करता है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि कैसे पिएरोपन और शिंडलर द्वारा विकसित एक सामान्यीकृत हाइपरबोला विधि का उपयोग करते हुए, मल्टी-हाइट वितरण परिणामों से टॉरिक वैरायटीज़ और स्टैक्स पर सीमित (ऑर्बीफोल्ड) एंटी-कैनोनिकल हाइट वाले परिमेय बिंदुओं के एसिम्प्टोटिक वितरण को प्राप्त किया जा सकता है, जो बाटिरेव-मैनिन सिद्धांत का समर्थन करता है।
सेमीग्रुप वेरिएंट्स से जुड़े क्रिप्टोग्राफिक अनुप्रयोगों से प्रेरित होकर, यह शोध पत्र यूलर और शेमेल के फलनों से प्रेरित एक नए टोटिएंट फलन को प्रस्तुत करता है, जो इसके मूल्यांकन और संबंधित संख्या सिद्धांत पर ध्यान केंद्रित करता है और साथ ही संभावित सामान्यीकरणों पर प्रकाश डालता है।
यह शोध पत्र अभाज्य हरों (prime denominators) के लिए ज़रेम्बा की परिकल्पना को सिद्ध करके, सीमित आंशिक भाग वाले भिन्नों की गणना के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से सटीक निचली सीमाएँ स्थापित करके, और कोरोबोव एवं लार्चर के ऐसे भिन्नों के वितरण संबंधी पिछले परिणामों में सुधार करके निरंतर भिन्नों (continued fractions) के सिद्धांत को आगे बढ़ाता है।
यह शोध पत्र स्लेटर की सूची से कई रोजर्स-रामानुजन प्रकार की सर्वसमिकाओं के श्रेणी पक्षों (series sides) के लिए स्वाभाविक संयोजन संबंधी व्याख्याएँ और पैरामीटराइज्ड सामान्यीकरण प्रदान करने हेतु एंड्रयूज के पृथणीय पूर्णांक विभाजन वर्गों (separable integer partition classes) के सिद्धांत को लागू करता है, तत्पश्चात -हाइपरजियोमेट्रिक रूपांतरणों के माध्यम से वैकल्पिक व्यंजक और अनंत उत्पादों को व्युत्पन्न करता है।
यह शोध पत्र एक दीर्घवृत्तीय वक्र (elliptic curve) और उसके द्विघाती ट्विस्ट्स (quadratic twists) के एक परिवार का निर्माण करता है जो के साइक्लोटोमिक -विस्तार पर विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय दोनों रूप से रैंक एक रखते हैं और साथ ही एक अनंत टेट-शेफ़ारेविच समूह (Tate-Shafarevich group) रखते हैं, जिसे हीगनर पॉइंट (Heegner point) संगति और एक समतुल्य कोट्स-विल्स (Coates-Wiles) प्रमेय के माध्यम से माज़ुर-टेट (Mazur-Tate) मॉड्यूलर तत्वों के 2-एडिक गुणों का विश्लेषण करके प्राप्त किया गया है।
यह शोधपत्र के समुच्चय की अंकगणितीय संरचना की जांच करता है, जो उन पूर्णांकों को अभिलक्षणित करता है जिनके लिए पूर्णांक समुच्चयों के एक घटते अनुक्रम के प्रतिच्छेदन का -गुना योग-समुच्चय (sumset), उनके -गुना योग-समुत्तों के प्रतिच्छेदन के बराबर होता है, इन पूर्णांकों के लिए समावेशन और अपवर्जन के विशिष्ट प्रतिरूपों को साकार करने वाले अनुक्रमों की उपस्थिति को सिद्ध करके।
यह शोध पत्र सीमित ऊंचाई वाले मोनिक पूर्णांक बहुपदों की संख्या पर नए ऊपरी आलेख (upper bounds) स्थापित करता है जिनके गालोइस समूह, विशिष्ट मूल उपसमुच्चयों या टुपल्स पर कार्य करते हुए, निर्धारित क्रमचय समूहों के समरूप हैं, जिनमें सममित समूहों के विभिन्न अनुक्रमिक (transitive), सजातीय (homogeneous) और अनुक्रमिक उपसमूहों के साथ-साथ उनके नियमित निरूपण (regular representation) के समूह भी शामिल हैं।