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A Totient Function Associated with Variants of Groups

सेमीग्रुप वेरिएंट्स से जुड़े क्रिप्टोग्राफिक अनुप्रयोगों से प्रेरित होकर, यह शोध पत्र यूलर और शेमेल के फलनों से प्रेरित एक नए टोटिएंट फलन को प्रस्तुत करता है, जो इसके मूल्यांकन और संबंधित संख्या सिद्धांत पर ध्यान केंद्रित करता है और साथ ही संभावित सामान्यीकरणों पर प्रकाश डालता है।

मूल लेखक: James Renshaw

प्रकाशित 2026-03-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: James Renshaw

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

बड़ी तस्वीर: एक नए प्रकार का ताला

कल्पना कीजिए कि आप अपने दोस्त को एक गुप्त संदेश (एक PDF फ़ाइल) भेजना चाहते हैं। आपको एक ऐसे ताले की ज़रूरत है जिसे खोलना अविश्वसनीय रूप से कठिन हो। आमतौर पर, गणितज्ञ इन तालों को बनाने में मदद करने के लिए "यूलर टोटिएंट फंक्शन" (Euler's Totient Function) का उपयोग करते हैं। यह एक मानक, भरोसेमंद ताले की तरह है जिसे हर कोई उपयोग करना जानता है।

लेकिन लेखक, जेम्स रेंशॉ (James Rensshaw) ने एक नया, सुपर-सिक्योर ताला बनाया है। इसे समझने के लिए, उन्हें संख्याओं को गिनने का एक नया तरीका बनाना पड़ा, जिसे वे टोटिएंट फंक्शन $T(n)$ कहते हैं।

समस्या: "भूसे के ढेर में सुई" (The Needle in a Haystack)

मान लीजिए आपके पास एक विशाल भूसे का ढेर है। उस ढेर के अंदर, एक विशिष्ट सुई है जो आपके ताले को खोलती है।

पुराना तरीका: आप भूसे के ढेर को देखते हैं। वहाँ बहुत सारी सुइयाँ हैं, लेकिन उनमें से अधिकांश साधारण सुइयाँ हैं। आप अंततः सही सुई ढूंढ लेते हैं।
नया तरीका: लेखक की नई प्रणाली एक ऐसा भूसे का ढेर बनाती है जहाँ लगभग हर एक घास का तिनका बिल्कुल सुई जैसा दिखता है।

यदि कोई हैकर "ब्रूट फोर्स" (हर संभव संयोजन को आज़माना) करके आपके कोड को तोड़ने की कोशिश करता है, तो उन्हें हजारों "मैच" मिल जाएंगे। वे सोचेंगे, "आहा! मुझे चाबी मिल गई!" लेकिन वे गलत हैं। उन्होंने एक नकली सुई पा ली है।

फंक्शन $T(n)$ ठीक से गिनता है कि ऐसी कितनी नकली सुइयाँ मौजूद हैं।

यदि $T(n)$ छोटा है, तो हैकर असली चाबी जल्दी ढूंढ लेता है।
यदि $T(n)$ बहुत बड़ा है, तो हैकर एक जैसे दिखने वाले नकली सुइयों के समुद्र में खो जाता है। जितने अधिक नकली होंगे, असली चाबी ढूंढना उतना ही कठिन होगा।

"जादुई दर्पण" (Magic Mirror) कैसे काम करता है

इस भ्रमित करने वाले भूसे के ढेर को बनाने के लिए, लेखक एक तकनीक का उपयोग करते हैं जिसे "वेरिएंट ऑफ अ ग्रुप" (Variant of a Group) कहा जाता है।

लोगों के एक समूह (जैसे एक डांस ट्रूप) के बारे में सोचें जो एक विशिष्ट पैटर्न में नाचना जानते हैं।

मानक नृत्य: वे एक घेरे में नाचते हैं।
वेरिएंट नृत्य: लेखक एक "जादुई दर्पण" (एक गुप्त संख्या $x$ ) पेश करते हैं। अब, जब डांसर चलते हैं, तो वे दर्पण से टकराकर परावर्तित होते हैं। पैटर्न पूरी तरह से अलग दिखता है, लेकिन यह अभी भी वही समूह है।

एन्क्रिप्शन की (Encryption Key) केवल एक संख्या नहीं है; यह एक जोड़ा (Pair) है:

दर्पण ( $x$ ): हम कौन सा दर्पण उपयोग कर रहे हैं?
कदमों की गिनती ( $e$ ): हम कितने कदम चलते हैं?

एक हैकर के लिए, चाबी का अनुमान लगाने का मतलब है हर संभव दर्पण और हर संभव कदम की गिनती को आज़माना। इससे भूसे के ढेर का आकार दोगुना हो जाता है, जिससे यह पहले की तुलना में बहुत बड़ा हो जाता है।

गणितीय रहस्य: नकलीओं की गिनती करना

इस पेपर का मुख्य हिस्सा इस पहेली को हल करना है: "दिए गए आकार के लिए भूसे के ढेर में कितनी नकली सुइयाँ ( $T(n)$ ) हैं?"

लेखक इसे दो परिदृश्यों में विभाजित करते हैं:

1. विषम संख्याएँ (सरल मामला)
यदि समूह का आकार एक विषम संख्या है, तो गणित इस बात जैसा है कि कितनी संख्याएँ उपयोग करने के लिए "सुरक्षित" हैं। लेखक ने पाया कि विषम संख्याओं के लिए, नकली सुइयों की संख्या एक ज्ञात फॉर्मूला जिसे शेमेल का फंक्शन (Schemmel's function) कहा जाता है, के बहुत करीब है। यह कहने जैसा है कि, "यदि आपके पास 100 कंचों की बाल्टी है, तो उनमें से लगभग 60 नकली सुइयाँ हैं।"

2. सम संख्याएँ (जटिल मामला)
यदि आकार एक सम संख्या है, तो चीजें उलझ जाती हैं। लेखक को "इनक्लूजन-एक्सक्लूजन" (Inclusion-Exclusion) नामक तकनीक का उपयोग करना पड़ा।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक कमरे में उन लोगों को गिन रहे हैं जिन्होंने लाल टोपी पहनी है या नीले जूते पहने हैं।
आप लाल टोपियों को गिनते हैं।
आप नीले जूतों को गिनते हैं।
लेकिन रुकिए! आपने उन लोगों को दो बार गिना है जिन्होंने दोनों चीजें पहनी हैं। आपको उन्हें घटाना होगा।
फिर आपको एहसास होता है कि आपने लाल टोपी, नीले जूते और हरे स्कार्फ पहनने वाले लोगों को भी बहुत अधिक बार घटा दिया है, इसलिए आपको उन्हें वापस जोड़ना होगा।

लेखक ने यह पता लगाने के लिए कि सम संख्याओं के लिए वास्तव में कितनी नकली सुइयाँ मौजूद हैं, इस "जोड़ने और घटाने" के नृत्य को करने में बहुत समय बिताया। उन्होंने साबित किया कि हालांकि सटीक संख्या को पकड़ पाना कठिन है, लेकिन यह हमेशा एक विशिष्ट मान के बहुत करीब होती है, और उन्होंने यह दिखाने के लिए एक "सुरक्षा मार्जिन" (Bound) दिया कि यह कितनी करीब है।

आपको इसकी परवाह क्यों करनी चाहिए?

यह केवल अमूर्त गणित नहीं है; यह सुरक्षा के बारे में है।

वर्तमान एन्क्रिप्शन: "डिस्क्रीट लॉग प्रॉब्लम्स" (डांस में कदमों की गिनती ढूंढना) को हल करने की कठिनाई पर निर्भर करता है।
नया विचार: इन "वेरिएंट ग्रुप्स" का उपयोग करके, हम समस्या को हल करने के लिए दोगुना कठिन बना सकते हैं।
चुनौती: हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि "नकली सुइयों" की संख्या ( $T(n)$ ) इतनी अधिक हो कि हैकर को भ्रमित कर सके, लेकिन इतनी अधिक भी न हो कि सिस्टम बहुत धीमा या अप्रत्याशित हो जाए।

निष्कर्ष

जेम्स रेंशॉ ने एक नए प्रकार का गणितीय ताला बनाया है।

उन्होंने एक नया गिनती नियम ( $T(n)$ ) परिभाषित किया है जो यह मापता है कि ताला कितना भ्रमित करने वाला है।
उन्होंने साबित किया है कि कई आकारों के लिए, यह भ्रम बहुत अधिक है, जिससे ताला बहुत सुरक्षित हो जाता है।
उन्होंने दिखाया है कि हालांकि गणित जटिल है (एक जटिल नृत्य की तरह), यह एक अनुमानित पैटर्न का पालन करता है जिसे हम गणना कर सकते हैं।

संक्षेप में: उन्होंने भूसे के ढेर को इतनी समान दिखने वाली सुइयों से भरने का एक तरीका खोजा है कि सबसे अच्छे हैकर भी एक असली चाबी खोजने की कोशिश में खो जाएंगे।

यहाँ जेम्स रेनशॉ के शोध पत्र "A Totient Function Associated with Variants of Groups" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र दो परस्पर जुड़े हुए विषयों को संबोधित करता है:

समूह वेरिएंट्स में क्रिप्टोग्राफिक भेद्यता (Cryptographic Vulnerability in Group Variants): आधुनिक क्रिप्टोग्राफी में, डिस्क्रीट लॉगरिदम प्रॉब्लम (DLP) सुरक्षा का एक आधार स्तंभ है। लेखक समूह वेरिएंट्स (सेमीग्रुप वेरिएंट्स) पर आधारित एक प्रस्तावित एन्क्रिप्शन योजना की जांच करते हैं। इस योजना में, एक प्लेनटेक्स्ट $g$ को कुंजी युग्म $(x, e)$ का उपयोग करके सिफरटेक्स्ट $c = (gx)^{e-1}g$ में एन्क्रिप्ट किया जाता है। एक "ब्रूट-फोर्स" हमले के लिए सभी संभावित युग्मों $(y, f)$ का परीक्षण करना आवश्यक है ताकि एक मिलान पाया जा सके। इसकी सुरक्षा खोज स्थान के आकार ( $O(n^2)$ ) पर निर्भर करती है। हालाँकि, एक महत्वपूर्ण भेद्यता तब उत्पन्न होती है यदि दिए गए सिफरटेक्स्ट $c$ के लिए वास्तविक कुंजी $(x, e)$ के अलावा कई "फॉल्स पॉजिटिव" (गलत सकारात्मक) युग्म $(y, f)$ मौजूद हों जो समीकरण $(gy)^{f-1} = c$ को संतुष्ट करते हों।
संख्यात्मक मूल्यांकन (Number Theoretic Evaluation): इस भेद्यता को मापने के लिए, लेखक एक नया अंकगणितीय फलन $T(n)$ परिभाषित करते हैं, जो उन "विषम इकाइयों" (odd units) $m \in \mathbb{Z}_n$ की संख्या गिनता है जहाँ $(m-1)/2$ भी एक इकाई है। मुख्य गणितीय समस्या $T(n)$ का मूल्यांकन करने, इसके गुणों को निर्धारित करने और $n$ के सापेक्ष इसके मान के लिए सीमाएँ स्थापित करने की है, क्योंकि यह मान सीधे तौर पर क्रिप्टोग्राफिक प्रणाली में फॉल्स पॉजिटिव की संख्या को निर्धारित करता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

शोध पत्र बीजगणितीय संख्या सिद्धांत (algebraic number theory) और संयोजन विश्लेषण (combinatorial analysis) के मिश्रण का उपयोग करता है:

$T(n)$ की परिभाषा: फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$T(n) = |\{1 \le m \le n \mid \gcd(m, n) = 1 \text{ और } \gcd((m-1)/2, n) = 1\}|$
(नोट: $m$ का विषम होना आवश्यक है ताकि $(m-1)/2$ एक पूर्णांक हो)।
ज्ञात फलनों के साथ तुलना: लेखक $T(n)$ $T (n)$ को निम्नलिखित से जोड़ते हैं:
- यूलर का टोटिएंट फलन ( $\phi(n)$ ): $\mathbb{Z}_n$ में इकाइयों की गणना करता है।
- शेमेल का टोटिएंट फलन ( $S_r(n)$ ): $r$ क्रमिक इकाइयों की गणना करता है। विशेष रूप से, शोध पत्र $S(n) = S_2(n)$ का उपयोग करता है, जो क्रमिक इकाइयों के युग्मों की गणना करता है।
मामला विश्लेषण (Case Analysis): $T(n)$ $T (n)$ के मूल्यांकन को $n$ $n$ की समता (parity) और अभाज्य गुणनखंडन के आधार पर विभाजित किया गया है:
- विषम $n$ के लिए: लेखक सह-अभाज्य (coprime) शर्तों को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों की गणना करने के लिए सिद्धांत समावेशन-अपवर्जन (Princen of Inclusion-Exclusion - PIE) का उपयोग करते हैं। इसमें $B_p$ (गुणक $p$ के) और $C_p$ (संख्याएँ जो $1 \pmod p$ के तुल्य हैं) को परिभाषित करना और उनके प्रतिच्छेदों का विश्लेषण करना शामिल है।
- सम $n$ के लिए: विश्लेषण 2 की घातों ( $2^e$ ) और मिश्रित रूपों ( $2^e \cdot m$ ) पर विचार करता है। लेखक पुनरावर्ती संबंध (जैसे, $T(2^e n) = 2T(2^{e-1}n)$ ) और 2 की घातों के लिए विशिष्ट सूत्र व्युत्पन्न करते हैं।
डायोफेंटाइन समीकरण (Diophantine Equations): सेटों के प्रतिच्छेदन (जैसे, $B_p \cap C_q$ ) के संबंध में लेम्मा (Lemmas), रैखिक डायोफेंटाइन समीकरणों (जैसे, $px = 1 + qy$) को हल करने और यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके समाधानों की समता का विश्लेषण करने पर निर्भर करते हैं।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

$T(n)$ का परिचय: शोध पत्र औपचारिक रूप से टोटिएंट फलन $T(n)$ को प्रस्तुत करता है, जो समूह वेरिएंट्स के सुरक्षा विश्लेषण से प्रेरित है।
सटीक सूत्र और सीमाएँ:
- विषम $p^e$ (अभाज्य घात) के लिए, एक सटीक सूत्र व्युत्पन्न किया गया है: $T(p^e) = S(p^e) - \frac{1}{2}$ ।
- $n = 2^e$ ( $e \ge 2$ ) के लिए, $T(2^e) = 2^{e-2}$ ।
- सामान्य $n$ के लिए, शोध पत्र प्रदान करता है कि $T(n)$ लगभग $\frac{S(n)}{2}$ के बराबर है, जिसमें त्रुटि पद $n$ के विशिष्ट अभाज्य कारकों ( $\omega$ ) की संख्या पर निर्भर करता है।
- विशेष रूप से, विषम $n$ के लिए: $|T(n) - \frac{S(n)-1}{2}| \le \frac{3^\omega - 2^{\omega+1} + 1}{2}$ ।
क्रिप्टोग्राफिक सुरक्षा विश्लेषण: शोध पत्र सिद्ध करता है कि समूह वेरिएंट DLP में फॉल्स पॉजिटिव की संख्या कम से कम $T(n)$ (सम क्रम वाले समूहों के लिए) या $S(n)$ (विषम क्रम वाले समूहों के लिए) है।
सेफ प्राइम (Safe Prime) विश्लेषण: सेफ प्राइम $p = 2q+1$ के लिए, शोध पत्र दिखाता है कि समाधानों की संख्या ठीक $p-5$ है, जो इस विशिष्ट मामले में सुरक्षा मूल्यांकन के लिए एक ठोस मीट्रिक प्रदान करता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

प्रमेय 1 (क्रिप्टोग्राफिक निचली सीमा): एक परिमित समूह $G$ के लिए जिसका क्रम $n$ सम है, $(gy)^{f-1} = (gx)^{e-1}$ को संतुष्ट करने वाले अलग-अलग युग्मों $(y, f)$ की संख्या कम से कम $T(n)$ है। यह दर्शाता है कि बड़े खोज स्थान ( $O(n^2)$ ) के बावजूद, हमलावर को "समान सुइयों के ढेर" (haystack of identical needles) की समस्या का सामना करना पड़ता है जहाँ फॉल्स पॉजिटिव की संख्या महत्वपूर्ण होती है।
प्रमेय 2 और 3 (विषम पूर्णांक): विषम $n$ के लिए, $T(n)$ , शेमेल के फलन $S(n)$ से निकटता से संबंधित है। यदि $n$ एक अभाज्य घात है, तो संबंध सटीक है; यदि $n$ भाज्य (composite) है, तो यह अभाज्य कारकों की संख्या के फलन द्वारा सीमित है।
प्रमेय 7, 8, 9 (सम पूर्णांक):
- $e \ge 2$ के लिए $T(2^e) = 2^{e-2}$ ।
- $n$ विषम होने पर $T(4n) = S(n)$ ।
- $e \ge 2$ के लिए $T(2^e n) = 2^{e-2}S(n)$ ।
प्रस्ताव 15: सेफ प्राइम $p=2q+1$ के लिए, वेरिएंट DLP समीकरण के समाधानों की संख्या ठीक $2(q-2) = p-5$ है। यह विशेष रूप से सेफ प्राइम्स के लिए "फॉल्स पॉजिटिव" दर को मात्रात्मक रूप देता है, जो क्रिप्टोग्राफी में एक सामान्य विकल्प है।

5. महत्व (Significance)

क्रिप्टोग्राफिक निहितार्थ: शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि जबकि समूह वेरिएंट सैद्धांतिक रूप से की-स्पेस को दोगुना कर देते हैं ( $O(n)$ से $O(n^2)$ तक), $T(n)$ फॉल्स पॉजिटिव की उपस्थिति प्रभावी सुरक्षा को कम कर देती है। यदि $T(n)$ , $n$ के सापेक्ष बड़ा है, तो सिस्टम कई उम्मीदवार कुंजियों को उत्पन्न करने वाले ब्रूट-फोर्स हमलों के प्रति संवेदनशील हो सकता है, जिसके लिए इन खतरों को कम करने के लिए अतिरिक्त तंत्रों (जैसे प्रत्येक एन्क्रिप्शन के लिए वेरिएंट पैरामीटर $x$ का रैंडमाइजेशन) की आवश्यकता होती है।
संख्या सिद्धांत में प्रगति: फलन $T(n)$ , शास्त्रीय टोटिएंट फलनों पर एक नया रूपांतर प्रस्तुत करता है। शोध पत्र इन मूल्यों की गणना करने के लिए एक कठोर ढांचा प्रदान करता है, जो शेमेल (1869) और यूलर के कार्य का विस्तार करता है।
भावी दिशाएँ: लेखक $T(n)$ को $T_r(n)$ (उन इकाइयों की गणना करना जहाँ $(m-1)/r$ एक इकाई है) तक सामान्य करने का सुझाव देते हैं और सह-अभाज्य पूर्णांकों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम में गुणांकों की समता के संबंध में एक खुला प्रश्न पूछते हैं, जो संख्या सिद्धांत को इन वेरिएंट्स के संरचनात्मक गुणों से सीधे जोड़ता है।

संक्षेप में, रेनशॉ ने बीजगणितीय संरचना (समूह वेरिएंट) और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत (टोटिएंट फलन) के बीच के अंतर को पाटकर एक प्रस्तावित एन्क्रिप्शन योजना का महत्वपूर्ण सुरक्षा विश्लेषण प्रदान किया है, यह सिद्ध करते हुए कि ऐसे सिस्टम की सुरक्षा समूह के क्रम के अंकगणितीय गुणों द्वारा मौलिक रूप से सीमित है।