🔢 mathematics

A Totient Function Associated with Variants of Groups

Dit paper introduceert een nieuwe totientfunctie, beïnvloed door semigroup-varianten en cryptografische toepassingen, die verwant is aan de klassieke Euler-functie en de generalisatie van Schemmel uit 1869, en bespreekt de methoden voor de evaluatie en de onderliggende getaltheorie.

Oorspronkelijke auteurs: James Renshaw

Gepubliceerd 2026-03-17

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: James Renshaw

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een heel geheimzinnig slot hebt, een digitale kluis die je wilt gebruiken om je waardevolle data (zoals een PDF-bestand) veilig te bewaren. Meestal gebruiken we bekende sloten, maar de auteur van dit artikel, James Renshaw, heeft een nieuw, exotisch slot ontworpen. Dit slot is gebaseerd op een slimme wiskundige truc die hij heeft bedacht, en het maakt het voor hackers bijna onmogelijk om je data te kraken.

Hier is een uitleg van wat hij doet, vertaald naar alledaagse taal met een paar leuke vergelijkingen.

1. Het Nieuwe Slot: De "Dubbele Sleutel"

Normaal gesproken heb je bij een slot één sleutel om iets te vergrendelen. In de digitale wereld is dat vaak een getal dat je vermenigvuldigt met je boodschap.

Renshaw's idee is echter om twee sleutels te gebruiken die met elkaar verweven zijn.

Sleutel A: Een getal dat je kiest (laten we het $x$ noemen).
Sleutel B: Een getal dat de tijd of de kracht vertegenwoordigt (laten we het $e$ noemen).

Wanneer je je boodschap ( $g$ ) vergrendelt, doe je het niet zomaar. Je gebruikt een speciale formule: je vermenigvuldigt je boodschap met de eerste sleutel, verheft dat tot de macht van de tweede sleutel, en doet er nog wat wiskundige "poespas" bij. Het resultaat is je versleutelde boodschap (de "cijfertekst").

2. Het Probleem: De "Naald in de Hooiberg"

Stel je voor dat een hacker je versleutelde boodschap heeft gepikt. Hij weet ook wat je oorspronkelijke boodschap was (dit heet een "known plaintext attack"). Nu moet hij de twee sleutels ( $x$ en $e$ ) achterhalen om de kluis open te krijgen.

Hij probeert het op de ouderwetse manier: brute force. Dat betekent dat hij elke mogelijke combinatie van $x$ en $e$ uitprobeert.

Als je een normaal slot gebruikt, zijn er bijvoorbeeld 1000 mogelijke sleutels.
Met Renshaw's nieuwe systeem zijn er niet 1000, maar 1 miljoen mogelijke combinaties.

Het is alsof je een naald in een hooiberg moet zoeken. Maar hier is de twist: in deze hooiberg zitten niet alleen één naald, maar miljoenen identieke naalden. De hacker vindt misschien wel een naald die eruitziet als de juiste, maar hij weet niet welke de echte sleutel is.

3. De Wiskundige Truc: Het "Totaal"

Om te weten hoe veilig dit slot is, moet Renshaw weten hoeveel van die "valse naalden" er precies zijn. Als er te veel valse naalden zijn, is het voor de hacker een hopeloze zoektocht. Als er te weinig zijn, kan hij ze misschien toch vinden.

Hij introduceert een nieuwe wiskundige functie, die hij $T(n)$ noemt (een soort "teller").

Euler's teller (de oude): Telt hoeveel getallen "vriendelijk" zijn met een bepaald getal $n$ (ze hebben geen gemeenschappelijke delers).
Renshaw's teller ( $T(n)$ ): Dit is een strengere versie. Hij telt alleen die getallen die niet alleen "vriendelijk" zijn, maar waarvan ook het getal dat je krijgt als je er 1 van aftrekt en door 2 deelt, ook "vriendelijk" is.

Het is alsof je niet alleen zoekt naar sleutels die passen, maar alleen naar sleutels die passen én waarvan de sleutelring ook een bepaald patroon heeft.

4. De Uitdaging: Hoeveel Valse Naalden zijn er?

Het moeilijkste deel van het artikel is het berekenen van precies hoeveel van die valse naalden er zijn voor verschillende soorten sloten (verschillende getallen $n$ ).

Renshaw heeft bewezen dat voor bepaalde soorten getallen (zoals "veilige priemgetallen", die in de cryptografie heel belangrijk zijn), het aantal valse naalden enorm groot is.
Hij gebruikt ingewikkelde wiskundige formules (inclusief de "Inclusie-Exclusie" methode, wat een slimme manier is om tellen zonder dubbel te tellen) om de grenzen te bepalen.

Zijn conclusie? Voor de juiste keuze van getallen is het aantal valse naalden zo groot dat het voor een computer (en zeker voor een mens) onmogelijk is om de echte sleutel te vinden. Het is alsof je in een kamer staat met een biljoen identieke deuren; je kunt ze wel allemaal openen, maar je weet niet welke de deur is naar je schatkist.

5. Waarom is dit belangrijk?

In de echte wereld gebruiken we dit soort wiskunde om banktransacties, wachtwoorden en geheime berichten veilig te houden.

Huidige systemen: Gebaseerd op het "Discrete Log Probleem" (een wiskundig raadsel dat moeilijk op te lossen is).
Renshaw's systeem: Gebruikt een variant van groepen (een wiskundig concept) om het probleem nog moeilijker te maken.

Door de "variant" te gebruiken, verdubbelt hij effectief de moeilijkheidsgraad. Maar het echte geheim zit in de Totaal-functie ( $T(n)$ ). Als deze waarde hoog is, betekent dit dat er zoveel valse oplossingen zijn dat de hacker nooit de echte sleutel zal vinden, zelfs niet als hij eeuwenlang probeert.

Samenvatting in één zin

James Renshaw heeft een nieuwe manier bedacht om data te versleutelen die werkt als een hooiberg vol met miljoenen identieke naalden, en hij heeft de wiskunde bedacht om te bewijzen dat er zo veel valse naalden zijn dat het vinden van de echte naald (de sleutel) voor een hacker een onmogelijke taak is.

Kortom: Hij heeft een nieuw, super-veilig slot ontworpen en de blauwdruk gemaakt om te bewijzen dat het slot echt onkraakbaar is.

Titel: Een Totiëntfunctie geassocieerd met Varianties van Groepen

Auteur: James Renshaw (Universiteit van Southampton)
Datum: Maart 2026

1. Probleemstelling en Motivatie

Het paper wordt gemotiveerd door de toepassing van varianten van groepen (semigroup variants) op het discrete logaritme-probleem in de cryptografie. Het doel is om een nieuw encryptiesysteem te ontwerpen dat gebaseerd is op deze varianten en een nieuw type totiëntfunctie.

De kern van het probleem ligt in de beveiliging van het systeem tegen een "known plaintext attack" (waarbij zowel de plaintext $g$ als de ciphertext $c$ bekend zijn). In een dergelijk scenario moet een aanvaller proberen de sleutel $(x, e)$ te vinden door een "brute force"-aanval uit te voeren.

Het systeem gebruikt een variant van een groep $G$ van orde $n$ .
De ciphertext wordt berekend als $c = (gx)^{e-1}g$ .
Een aanvaller moet alle mogelijke paren $(y, f)$ testen waarbij $y \in G$ en $f \in \mathbb{Z}_n^*$ (de eenheden modulo $n$ ).
Hoewel er $O(n^2)$ paren zijn om te testen, is het grootste risico dat er valse positieven zijn: paren $(y, f)$ die niet de juiste sleutel zijn, maar wel voldoen aan $(gy)^{f-1} = (gx)^{e-1}$ .

Het paper introduceert de functie $T(n)$ om het aantal van deze valse positieven te kwantificeren. Voor een veilig systeem moet $T(n)$ zo groot mogelijk zijn ten opzichte van $n$ , zodat de aanvaller in een "hooiberg van identieke naalden" moet zoeken.

2. Methodologie en Definitie

De auteur definieert een nieuwe totiëntfunctie $T: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ :
$T(n) = |\{1 \le m \le n \mid \gcd(m, n) = 1 \text{ en } \gcd((m-1)/2, n) = 1\}|$
Dit betekent dat $T(n)$ het aantal oneven eenheden $m$ in $\mathbb{Z}_n$ telt waarvoor ook $(m-1)/2$ een eenheid is.

De methode omvat:

Vergelijking met bestaande functies: $T(n)$ wordt geanalyseerd in relatie tot de klassieke Euler-totiëntfunctie $\phi(n)$ en de Schemmel-totiëntfunctie $S_r(n)$ (specifiek $S(n) = S_2(n)$ , die het aantal opeenvolgende eenheden telt).
Analyse van even en oneven $n$ : Het paper maakt een strikt onderscheid tussen gevallen waarin $n$ oneven is en wanneer $n$ even is, omdat de pariteit van $m$ en $(m-1)/2$ cruciaal is.
Combinatoriek en Inclusie-Exclusie: Om de exacte waarden en grenzen van $T(n)$ te bepalen, worden technieken zoals het principe van inclusie-exclusie en analyse van Diophantische vergelijkingen (via de Euclidische algoritme) gebruikt.
Groepstheoretische afleidingen: De relatie tussen de structuur van de groep $G$ en de oplossingsruimte van de vergelijking $w^{f-1} = c$ wordt onderzocht.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Wiskundige Eigenschappen van $T(n)$

Niet-multiplicativiteit: In tegenstelling tot $\phi(n)$ en $S(n)$ is $T(n)$ niet multiplicatief. De waarde van $T(nm)$ is niet gelijk aan $T(n)T(m)$ zelfs als $\gcd(n,m)=1$ .
Formules voor priemgetallen:
- Voor een oneven priemgetal $p$ en $e \ge 1$ : $T(p^e) = \frac{p^e - 2p^{e-1} - 1}{2} = \frac{S(p^e) - 1}{2}$ .
- Voor $n=2^e$ met $e > 1$ : $T(2^e) = 2^{e-2}$ .
Relatie met $S(n)$ : Voor algemene $n$ $n$ wordt $T(n)$ $T (n)$ benaderd door $S(n)$ $S (n)$ .
- Als $n$ oneven is met $\omega$ verschillende priemfactoren, geldt:
  $|T(n) - \frac{S(n) - 1}{2}| \le \frac{3^\omega - 2^{\omega+1} + 1}{2}$
- Voor $n=2m$ (met $m$ oneven) gelden vergelijkbare ongelijkheden, waarbij de exacte waarde afhangt van de congruentie van de priemfactoren modulo 4.
Speciale gevallen: Voor $n = p^e q^f$ (met $p, q$ verschillende oneven priemgetallen) is $T(n)$ gelijk aan óf $\frac{S(n)-3}{2}$ óf $\frac{S(n)+1}{2}$ , afhankelijk van de specifieke waarden van $p$ en $q$ .

B. Toepassing op Cryptografie en Varianten van Groepen

Theorema 1 & 14: Het paper bewijst dat voor een eindige groep $G$ $G$ van orde $n$ $n$ , het aantal paren $(y, f)$ $(y, f)$ dat voldoet aan $(gy)^{f-1} = c$ $(g y)^{f - 1} = c$ (waarbij $c$ $c$ een vaste constante is) minimaal gelijk is aan:
- $S(n)$ als $n$ oneven is.
- $T(n)$ als $n$ even is.
Veiligheidsimplicatie: Door varianten van groepen te gebruiken, verdubbelt het aantal mogelijke kandidaat-sleutels effectief (van $O(n)$ naar $O(n^2)$ ). De grootte van $T(n)$ bepaalt echter hoeveel "verkeerde" sleutels er zijn die toch een match geven.
Veilige priemgetallen: Voor een veilige priem $p = 2q + 1$ (waarbij $q$ ook priem is), wordt aangetoond dat het aantal valse positieven minimaal $(p-3)/4$ of $(p-7)/4$ is, afhankelijk van $q \pmod 4$ . Dit betekent dat zelfs bij een brute-force aanval de zoekruimte enorm groot blijft.

C. Uitbreidingen

Het paper suggereert een generalisatie naar functies $T_r(n)$ die het aantal eenheden $m$ tellen waarbij $(m-1)/r$ ook een eenheid is.
Er wordt een open probleem gepresenteerd over het voorspellen van de pariteit van de kleinste positieve oplossingen $a$ en $b$ in de vergelijking $ap - bq = 1$ voor coprieme oneven getallen $p$ en $q$ .

4. Significantie en Conclusie

Dit paper introduceert een nieuw wiskundig object ( $T(n)$ ) dat direct voortkomt uit een praktisch cryptografisch probleem. De belangrijkste bijdragen zijn:

Nieuwe Koppeling: Het verbinden van semigroup-varianten (een concept uit de abstracte algebra) met het discrete logaritme-probleem en de veiligheid van cryptosystemen.
Analyse van Valse Positieven: Het kwantificeren van het risico op valse positieven in een variant-basissysteem, wat essentieel is voor het beoordelen van de daadwerkelijke beveiligingssterkte.
Getaltheoretische Inzichten: Het leveren van nauwkeurige formules en scherpe grenzen voor een niet-multiplicatieve functie die verwant is aan de klassieke totiëntfuncties, wat bijdraagt aan het begrip van de distributie van eenheden in $\mathbb{Z}_n$ .

De conclusie is dat het gebruik van groepvarianten de beveiliging tegen brute-force-aanvallen significant kan verhogen, mits de parameter $n$ zo wordt gekozen dat $T(n)$ (en $S(n)$ ) groot genoeg zijn om de zoekruimte voor een aanvaller ondoordringbaar te maken. Het paper biedt zowel de theoretische onderbouwing als de praktische methoden om deze waarden te berekenen.