1730 पेपर
यह शोध पत्र उचित विभाजकों के योग में अंकों के संभाव्य वितरण की जांच करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि बेनफोर्ड के नियम (Benford's law) का पालन करता है और लगभग सभी पूर्णांक अपने अग्रणी और अंतिम स्थानों में सभी दशमलव अंकों को प्रदर्शित करते हैं, साथ ही उन भाज्य संख्याओं के लिए लुप्त अंकों वाले मामलों के लिए एक काफी छोटा ऊपरी मान भी स्थापित करता है जिनमें अभाज्य इनपुट शामिल हैं।
यह शोध पत्र न्यूनतम मापांक 7 और लघुत्तम समापवर्त्य 10800 वाले एक विशिष्ट कवरेज सिस्टम का निर्माण करके क्लेन की परिकल्पना को गलत सिद्ध करता है, जबकि साथ ही एक बहु-चरणीय फ़िल्टरिंग तर्क और कम्प्यूटेशनल सत्यापन के माध्यम से यह भी सिद्ध करता है कि इससे कम लघुत्तम समापवर्त्य के साथ ऐसा कोई सिस्टम अस्तित्व में नहीं हो सकता।
यह शोधपत्र डैड, टॉस्की, ज़ैसेनहाउस, गे, बुचमैन और आइजनब्रैंड के परिणामों का सामान्यीकरण करके, मनमाने ऑर्डर्स (orders) में भिन्नात्मक आदर्शों (fractional ideals) के मूलों की गणना करने के लिए एक बहुपद-समय (polynomial-time), फन्क्टोरियल (functorial) एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है, जिससे इस गणनात्मक रूप से अव्यवहार्य धारणा से बचा जा सकता है कि ऑर्डर डेडेकेंड (Dedekind) है।
यह शोध पत्र संख्यात्मक क्षेत्रों (number fields) और फलन क्षेत्रों (function fields) के विभिन्न -आदिक ली विस्तारों (p-adic Lie extensions) पर दीर्घवृत्तीय वक्रों (elliptic curves) के -फाइन सेल्मर समूहों (Selmer groups) के गुणों की जांच करता है, जो शास्त्रीय इवासावा सिद्धांत अनुमानों, जैसे कि -इनवेरिएंट के शून्य होने, के साथ उनके संबंधों का अन्वेषण करता है, और इन निष्कर्षों को जानसेन (Jannsen) के एक अनुमान से जोड़ता है।
यह शोधपत्र पॉल अर्दोस के बर्ट्रेंड प्रमेया (Bertrand postulate) के शास्त्रीय प्रमाण से प्रेरित एक विशिष्ट असमानता का एक प्रारंभिक अंकगणितीय प्रमाण प्रस्तुत करता है, जो स्वयं प्रमेया के एक पूर्णतः अंकगणितीय प्रमाण को स्थापित करने के व्यापक प्रयास का हिस्सा है।
यह शोध पत्र एक अभाज्य संख्या और एक वास्तविक घात के पूर्णांक भाग के योग के रूप में निरूपित होने वाले पूर्णांकों के घनत्व के लिए एक मात्रात्मक मीट्रिक निचली सीमा को सिद्ध करके और एक वास्तविक घात प्लस वर्ग-मुक्त पूर्णांकों के लिए घनत्व-एक (density-one) अनुरूप स्थापित करके तथा यह प्रदर्शित करके कि स्वर्ण अनुपात जैसे विशिष्ट आधारों के लिए अपवादों का धनात्मक निचला घनत्व बना रहता है, दो एर्दोश-प्रकार की योगात्मक समस्याओं का समाधान करता है।
यह शोधपत्र मैट्रिक्स-ट्री प्रमेय का सामान्यीकरण करके और -टावरों के लिए इवासावा-प्रकार और किडा-प्रकार के सूत्रों को स्थापित करने हेतु अपघटन सूत्रों को परिष्कृत करके, वर्टेक्स-वेटेड ग्राफों के लिए इवासावा सिद्धांत की शुरुआत करता है, जिससे भारित जटिलताओं (weighted complexities) में रूट-वाइज विकास का अनुमान लगाना सक्षम होता है।
यह शोध पत्र अनिश्चित क्वाटरनियन बीजगणित (indefinite quaternion algebras) के पूर्णांक ऑर्डर्स (integral orders) के माध्यम से बियान्की समूह के भीतर अधिकतम गैर-तत्ववत (maximal nonelementary) फक्सियन उपसमूहों के संयुग्मन वर्गों (conjugacy classes) का एक स्पष्ट वर्गीकरण प्रदान करता है, उनके कोवॉल्यूम (covolumes) निर्धारित करता है, और इन परिणामों को संबद्ध हाइपरबोलिक 3-ऑर्बीफोल्ड में आदिम पूर्णतः जियोडेसिक अंतर्निहित सतहों (primitive totally geodesic immersed surfaces) के स्पर्शोन्मुख घनत्व (asymptotic density) की गणना करने के लिए लागू करता है।
यह शोधपत्र एक एफ़ाइन हाइपरसरफेस (affine hypersurface) में विरूपण (deformation) के माध्यम से समस्या को हाइपरसरफेस के मामले में घटाकर, आर्टिन के वेनिशिंग प्रमेय (Artin's vanishing theorem) और पर्वर्स शीव्स (perverse sheaves) के गुणों का उपयोग करते हुए, परिमित क्षेत्रों पर चिकने प्रोंपर वैराइटीज़ (smooth proper varieties) के लिए डेलिग्न के रीमैन परिकल्पना (Deligne's theorem on the Riemann hypothesis) के एक वैकल्पिक प्रमाण को प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र हाइपरजियोमेट्रिक-मॉड्यूलर सर्वसमिकाओं और आवर्तों (periods) तथा -इनवेरियंट्स के ट्रांसेंडेंस परिणामों का उपयोग करते हुए, उन परिमेय मापदंडों के अपवाद स्वरूप समुच्चयों को स्पष्ट रूप से निर्धारित करता है जिनके लिए अंकगणितीय त्रिकोणीय मोनोड्रॉमी समूहों वाले गॉस हाइपरजियोमेट्रिक फलन बीजगणितीय मान प्रदान करते हैं।