On the digits of the sum of proper divisors

तकनीकी सारांश: उचित भाजकों के योग के अंकों पर

समस्या विवरण
यह शोध पत्र एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के उचित भाजकों के योग $s(n)$ के दशमलव (और सामान्य आधार-$g$) अंकों के संभावabilistic व्यवहार की जांच करता है। लेखक तीन प्राथमिक प्रश्नों को संबोधित करते हैं:

1. अंकों की उपस्थिति (Digit Occurrence): $s(n)$ के प्रथम और अंतिम स्थानों में सभी संभावित अंक कितनी बार दिखाई देते हैं?
2. प्रथम अंक वितरण (Leading Digit Distribution): क्या $s(n)$ के प्रथम अंक बेनफोर्ड के नियम (Benford's law) का पालन करते हैं?
3. विरल पूर्व-प्रतिरूप (Sparse Preimages): कितने भाज्य पूर्णांक $n$ ऐसे हैं कि $s(n)$ "एलिप्सिफिक" (ellipsephic) है (अर्थात, इसके आधार-$g$ विस्तार में कम से कम एक अंक गायब है)?

यह अध्ययन सभी पूर्णांकों पर $s(n)$ के व्यवहार और विशेष रूप से भाज्य पूर्णांकों पर इसके व्यवहार के बीच के अंतर के संदर्भ में किया गया है, विशेष रूप से लुप्त अंकों वाले सेट के पूर्व-प्रतिरूपों के संबंध में।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत (analytic number theory), संभाव्यता विधियों (probabilistic methods) और छँटनी तकनीकों (sieve techniques) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

• अंकों की उपस्थिति (प्रमेय 1.1, 2.2, 2.5): यह सिद्ध करने के लिए कि $x$ तक के लगभग सभी पूर्णांक $n \le x$ में $s(n)$ में पहले और अंतिम $k(x)$ स्थानों में सभी अंक मौजूद हैं (जहाँ $k(x) \to \infty$), लेखक निम्नलिखित का उपयोग करते हैं:

  • माड्यूलर बाधाएं (Modular Constraints): वे $s(n) \pmod{g^k}$ का विश्लेषण करते हैं और इसे $\sigma(n) \pmod{g^k}$ से जोड़ते हैं।
  • स्मूथ संख्याएं (Smooth Numbers): वे $n$ को एक स्मूथ भाग और एक रफ (rough) भाग में विभाजित करते हैं, और अपवादों के योगदान को सीमित करने के लिए अभाज्य संख्या प्रमेय (Prime Number Theorem) का उपयोग करते हैं।
  • $\sigma(n)/n$ का वितरण: वे $\sigma(n)/n$ के वितरण फलन की निरंतरता (डेवनपोर्ट के परिणाम) पर निर्भर करते हैं ताकि यह दिखाया जा सके कि $s(n)$, अंक वितरण के संबंध में तुलनीय आकार के एक यादृच्छिक पूर्णांक की तरह व्यवहार करता है।

• बेनफोर्ड का नियम (प्रमेय 1.2, 3.5, 3.6):

  • लघुगणकीय घनत्व (Logarithmic Density): लेखक सिद्ध करते हैं कि $s(n)$ लघुगणकीय घनत्व के संबंध में बेनफोर्ड के नियम का पालन करता है। वे $\{\log_g s(n)\}$ के लिए 1 के मॉड्यूल पर यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन के लिए वेइल के मानदंड (Weyl's criterion) को लागू करते हैं।
  • हलाज़ का प्रमेय (Halász's Theorem): चूंकि $s(n)$ गुणत्मक (multiplicative) नहीं है, इसलिए वे $s(n)^{i\alpha}$ को $\sigma(n)^{i\alpha}(1 - n/\sigma(n))^{i\alpha}$ के द्विपद विस्तार का उपयोग करके व्यक्त करते हैं। वे इस श्रृंखला को काटते हैं (truncate) और यह दिखाने के लिए हलाज़ के प्रमेय के एक भारित संस्करण (प्रस्ताव 3.3) को लागू करते हैं कि परिणामी गुणत्मक फलनों का लघुगणकीय माध्य शून्य है।
  • प्राकृतिक घनत्व (Natural Density): इसके विपरीत, वे सिद्ध करते हैं कि $s(n)$ प्राकृतिक घनत्व के संबंध में बेफोर्ड के नियम का पालन नहीं करता है। वे "सुविधाजनक" पूर्णांकों (बड़े अभाज्य गुणनखंडों वाले 6 के गुणज) का एक विशिष्ट सेट निर्मित करते हैं, जहाँ $s(n)$, $n$ के निकट केंद्रित होता है, जो $\log_g s(n)$ के भिन्नात्मक भागों में एक पूर्वाग्रह (bias) पैदा करता है जो प्राकृतिक घनत्व बेफोर्ड व्यवहार के लिए आवश्यक यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन का उल्लंघन करता है।

• भाज्य पूर्णांक और लुप्त अंक (प्रमेय 1.5):

  • अभाज्य संख्याओं का निष्कासन: यह शोध पत्र पिछले कार्य (बेन्ली आदि, 2026) के एक अंतराल को संबोधित करता, जिसने लुप्त अंकों वाले $s(n)$ के लिए एक ऊपरी सीमा स्थापित की थी लेकिन यह नोट किया था कि अभाज्य इनपुट ($s(p)=1$) गणना पर हावी हैं।
  • विघटन (Decomposition): भाज्य $n$ के लिए, वे $n = Pm$लिखते हैं जहाँ$P = P^+(n)$सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड है। वे$s(n) = P s(m) + \sigma(m)$ का विश्लेषण करते हैं।
  • छँटनी और स्मूथनेस (Sieve and Smoothness): वे $m$ और $P$ के आकार के आधार पर विश्लेषण को विभाजित करते हैं। बड़े $P$ के लिए, वे ब्रुन-टिचमार्श प्रमेय (Brun-Titchmarsh theorem) और लुप्त अंकों वाले पूर्णांकों की संख्या की सीमाओं का उपयोग करते हुए यह दिखाते हैं कि गणना सामान्य मामले की तुलना में काफी कम है।
  • माड्यूलर अंकगणित: वे यह नियंत्रित करने के लिए कि $s(m)$ विशिष्ट मॉड्युली द्वारा विभाज्य है, लेम्मा 4.3 का उपयोग करते हैं कि $s(n)$ का $s(m) \pmod{g^k}$ के विरुद्ध वितरण कैसा है।

मुख्य परिणाम

1. सार्वभौमिक अंक उपस्थिति: किसी भी आधार $g \ge 2$ और किसी भी फलन $k(x) \to \infty$ के लिए, $n \le x$ के लगभग 100% पूर्णांकों में $s(n)$ के पहले $k(x)$ और अंतिम $k(x)$ दोनों स्थानों में सभी $g$ अंक मौजूद होते हैं (प्रमेय 1.1)।
2. बेनफोर्ड का नियम (लघुगणकीय घनत्व): फलन $s(n)$ लघुगणकीय घनत्व के संबंध में बेनफोर्ड के नियम को संतुष्ट करता है। विशेष रूप से, $n$ के लिए जिसकी अग्रणी संख्याएँ (leading digits) $s(n)$ का एक ब्लॉक $D$ बनाती हैं, उसका लघुगणकीय घनत्व $\log_g(1 + 1/D)$ है (प्रमेय 1.2)।
3. बेनफोर्ड के नियम की विफलता (प्राकृतिक घनत्व): $s(n)$ प्राकृतिक घनत्व के संबंध में बेफोर्ड के नियम को संतुष्ट नहीं करता है (प्रस्ताव 3.6)।
4. लुप्त सेटों के भाज्य पूर्व-प्रतिरूप: जब $n$ को भाज्य संख्याओं तक सीमित किया जाता है, तो $n \le x$ ऐसे पूर्णांकों की संख्या है कि $s(n)$ आधार $g$ में एक विशिष्ट अंक $a_0$ को मिस करता है, जिसे $O(x \exp(-c\sqrt{\log x \text{}})$ द्वारा सीमित किया गया है, जहाँ $c > 0$ एक स्थिरांक है (प्रमेय 1.5)। यह सभी पूर्णांकों के लिए $O(x \exp(-(\log \log x)^\gamma))$ के बराबर की तुलना में काफी मजबूत सीमा है, जो यह उजागर करती है कि अभाज्य इनपुट $s(n)$ के लिए "लुप्त अंक" मानों का प्राथमिक स्रोत हैं।

महत्व और दावे

शोध पत्र का दावा है कि वह यह स्थापित करता है कि $s(n)$ के अंक उच्च स्तर की यादृच्छिकता प्रदर्शित करते हैं, जो अंक उपस्थिति और अग्रणी अंक वितरण (लघुगणकीय घनत्व के तहत) के मामले में यादृच्छिक पूर्णांकों के समान व्यवहार करते हैं।

एक केंद्रीय योगदान लुप्त अंकों वाले सेटों के पूर्व-प्रतिरूप में अभाज्य संख्याओं की भूमिका को स्पष्ट करना है। लेखक यह प्रदर्शित करते हैं कि जबकि लुप्त अंकों वाले $s(n)$ का सेट (मामूली केस $s(p)=1$ के कारण) अपेक्षाकृत बड़ा है, लुप्त अंकों वाले गुणों वाला भाज्य पूर्णांकों का उपसमुच्चय बहुत छोटा है। यह परिणाम एर्डोस-ग्रैनविले-पोमेरेंस-स्पायरो (EGPS) अनुमान को परिष्कृत करता, जो यह प्रस्तावित करता है कि शून्य अनंत घनत्व (zero asymptotic density) वाले सेट का पूर्व-प्रतिरूप भी शून्य अनंत घनत्व वाला होता है। लेखक दिखाते हैं कि लुप्त अंकों के विशिष्ट मामले के लिए, पूर्व-प्रतिरूप का "घनत्व" लगभग पूरी तरह से अभाजों द्वारा संचालित होता है, और उन्हें बाहर करने पर एक बहुत ही विरल सेट प्राप्त होता है।

यह कार्य विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के मानक उपकरणों (हलाज़ का प्रमेय, ब्रुन-टिचमार्श, $\sigma(n)/n$ का वितरण) पर निर्भर करता है और स्थापित सैद्धांतिक सीमाओं के अलावा कोई नया प्रयोगात्मक अनुप्रयोग या भविष्य के निहितार्थ प्रस्तावित नहीं करता है।