On the digits of the sum of proper divisors

Resumen Técnico: Sobre los Dígitos de la Suma de los Divisores Propios

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga el comportamiento probabilístico de los dígitos decimales (y en una base general $g$) de $s(n)$, la suma de los divisores propios de un entero positivo $n$. Los autores abordan tres preguntas primordiales:

1. Ocurrencia de Dígitos: ¿Con qué frecuencia aparecen todos los dígitos posibles en las posiciones iniciales y finales de $s(n)$?
2. Distribución del Dígito Inicial: ¿Siguen los dígitos iniciales de $s(n)$ la ley de Benford?
3. Preimágenes Dispersas: ¿Cuántos enteros compuestos existen tales que $s(n)$ es "elíptico" (es decir, carece de al menos un dígito en su expansión en base $g$)?

El estudio está motivado por el contraste entre el comportamiento de $s(n)$ en todos los enteros frente a su comportamiento cuando se restringe a enteros compuestos, específicamente respecto a las preimágenes de conjuntos con dígitos faltantes.

Metodología
Los autores emplean una combinación de teoría analítica de números, métodos probabilísticos y técnicas de cribado.

• Ocurrencia de Dígitos (Teoremas 1.1, 2.2, 2.5): Para demostrar que casi todos los enteros $n \le x$ tienen un $s(n)$ que contiene todos los dígitos en las primeras y últimas $k(x)$ posiciones (donde $k(x) \to \infty$), los autores utilizan:

  • Restricciones Modulares: Analizan $s(n) \pmod{g^k}$ y lo relacionan con $\sigma(n) \pmod{g^k}$.
  • Números Suaves (Smooth Numbers): Descomponen $n$ en una parte suave y una parte rugosa, utilizando el Teorema de los Números Primos para acotar la contribución de los casos excepcionales.
  • Distribución de $\sigma(n)/n$: Se apoyan en la continuidad de la función de distribución de $\sigma(n)/n$ (los resultados de Davenport) para mostrar que $s(n)$ se comporta como un entero aleatorio de tamaño comparable en cuanto a la distribución de dígitos.

• Ley de Benford (Teoremas 1.2, 3.5, 3.6):

  • Densidad Logarítmica: Los autores demuestran que $s(n)$ obedece la ley de Benford con respecto a la densidad logarítmica. Aplican el criterio de Weyl para la distribución uniforme módulo 1 a la sucesión $\{\log_g s(n)\}$.
  • Teorema de Halász: Dado que $s(n)$ no es multiplicativa, expresan $s(n)^{i\alpha}$ mediante una expansión binomial de $\sigma(n)^{i\alpha}(1 - n/\sigma(n))^{i\alpha}$. Truncan esta serie y aplican una versión ponderada del Teorema de Halász (Proposición 3.3) para mostrar que la media logarítmica de estas funciones multiplicativas es cero.
  • Densidad Natural: Por el contrario, demuestran que $s(n)$ no obedece la ley de Benford con respecto a la densidad natural. Construyen un conjunto específico de enteros "convenientes" (múltiplos de 6 con factores primos grandes) donde $s(n)$ se agrupa estrechamente cerca de $n$, creando un sesgo en las partes fraccionarias de $\log_g s(n)$ que viola la distribución uniforme requerida para el comportamiento de Benford de densidad natural.

• Enteros Compuestos y Dígitos Faltantes (Teorema 1.5):

  • Exclusión de Primos: El artículo aborda una laguna en el trabajo previo (Benli et al., 2026) que estableció un límite superior para $s(n)$ con dígitos faltantes, pero señaló que los valores de entrada primos ($s(p)=1$) dominan el conteo.
  • Descomposición: Para un compuesto $n$, escriben $n = Pm$ donde $P = P^+(n)$ es el factor primo más grande. Analizan $s(n) = P s(m) + \sigma(m)$.
  • Cribado y Suavidad: Dividen el análisis basándose en el tamaño de $m$ y $P$. Para un $P$ grande, utilizan el teorema de Brun-Titchmarsh y cotas sobre el número de enteros con dígitos faltantes (números elípticos) para mostrar que el conteo es significativamente menor que en el caso general.
  • Aritmética Modular: Utilizan el Lema 4.3 para acotar el número de $m$ tales que $s(m)$ es divisible por módulos específicos, controlando la distribución de $s(n)$ módulo $g^k$.

Resultados Clave

1. Ocurrencia Universal de Dígitos: Para cualquier base $g \ge 2$ y cualquier función $k(x) \to \infty$, asintóticamente el 100% de los enteros $n \le x$ tienen un $s(n)$ que contiene los $g$ dígitos tanto en las primeras como en las últimas $k(x)$ posiciones (Teorema 1.1).
2. Ley de Benford (Densidad Logarítmica): La función $s(n)$ satisface la ley de Benford con respecto a la densidad logarítmica. Específicamente, la densidad logarítmica de $n$ para los cuales los dígitos iniciales de $s(n)$ forman un bloque $D$ es $\log_g(1 + 1/D)$ (Teorema 1.2).
3. Fallo de la Ley de Benford (Densidad Natural): $s(n)$ no satisface la ley de Benford con respecto a la densidad natural (Proposición 3.6).
4. Preimágenes Compuestas de Conjuntos Dispersos: Al restringir $n$ a números compuestos, el número de $n \le x$ tales que $s(n)$ carece de un dígito específico $a_0$ en base $g$ está acotado por $O(x \exp(-c\sqrt{\log x}))$ para alguna constante $c > 0$ (Teorema 1.5). Este es un límite significativamente más fuerte que el límite $O(x \exp(-(\log \log x)^\gamma))$ para todos los enteros, resaltando que los valores de entrada primos son la fuente principal de los valores de $s(n)$ con "dígitos faltantes".

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma haber establecido que los dígitos de $s(n)$ exhiben un alto grado de aleatoriedad, comportándose de manera similar a los enteros aleatorios en términos de ocurrencia de dígitos y distribución de dígitos iniciales (bajo densidad logarítmica).

Una contribución central es la aclaración del papel de los números primos en la preimagen de conjuntos con dígitos faltantes. Los autores demuestran que, si bien el conjunto de todos los enteros $n$ donde $s(n)$ tiene dígitos faltantes es relativamente grande (debido al caso trivial $s(p)=1$), el subconjunto de enteros compuestos con esta propiedad es mucho más pequeño. Este resultado refina la comprensión de la conjetura de Erdős–Granville–Pomerance–Spiro (EGPS), que postula que la preimagen de un conjunto con densidad asintótica cero también tiene densidad asintótica cero. Los autores muestran que, para el caso específico de los dígitos faltantes, la "densidad" de la preimagen es impulsada casi enteramente por los primos, y al excluirlos, se obtiene un conjunto mucho más disperso.

El trabajo se apoya en herramientas estándar de la teoría analítica de números (teorema de Halász, Brun-Titchmarsh, distribución de $\sigma(n)/n$) y no propone nuevas aplicaciones experimentales o implicaciones futuras más allá de los límites teóricos establecidos.