On the digits of the sum of proper divisors

Résumé Technique : Sur les chiffres de la somme des diviseurs propres

Énoncé du Problème
Cet article étudie le comportement probabiliste des chiffres décimaux (et de la base générale $g$) de $s(n)$, la somme des diviseurs propres d'un entier positif $n$. Les auteurs abordent trois questions principales :

1. Occurrence des chiffres : À quelle fréquence tous les chiffres possibles apparaissent-ils dans les positions de tête et de queue de $s(n)$ ?
2. Distribution du premier chiffre : Les premiers chiffres de $s(n)$ suivent-ils la loi de Benford ?
3. Préimages éparses : Combien d'entiers composés $n$ existent-ils tels que $s(n)$ soit « ellipsephique » (c'est-à-dire qu'il manque au moins un chiffre dans son expansion en base $g$) ?

L'étude est motivée par le contraste entre le comportement de $s(n)$ sur l'ensemble des entiers versus son comportement lorsqu'il est restreint aux entiers composés, notamment concernant les préimages de ensembles avec des chiffres manquants.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de théorie analytique des nombres, de méthodes probabilistes et de techniques de crible.

• Occurrence des chiffres (Théorèmes 1.1, 2.2, 2.5) : Pour prouver que presque tous les entiers $n \le x$ ont un $s(n)$ contenant tous les chiffres dans les $k(x)$ premières et dernières positions (où $k(x) \to \infty$), les auteurs utilisent :

  • Contraintes modulaires : Ils analysent $s(n) \pmod{g^k}$ et le relient à $\sigma(n) \pmod{g^k}$.
  • Nombres lisses (Smooth Numbers) : Ils décomposent $n$ en une partie lisse et une partie rugueuse, utilisant le théorème des nombres premiers pour borner la contribution des cas exceptionnels.
  • Distribution de $\sigma(n)/n$ : Ils s'appuient sur la continuité de la fonction de répartition de $\sigma(n)/n$ (résultats de Davenport) pour montrer que $s(n)$ se comporte comme un entier aléatoire de taille comparable concernant la distribution des chiffres.

• Loi de Benford :

  • Densité logarithmique : Les auteurs prouvent que $s(n)$ obéit à la loi de Benford par rapport à la densité logarithmique. Ils appliquent le critère de Weyl pour la distribution uniforme modulo 1 à la suite $\{\log_g s(n)\}$.
  • Théorème de Halász : Puisque $s(n)$ n'est pas multiplicative, ils expriment $s(n)^{i\alpha}$ à l'aide d'un développement binomial de $\sigma(n)^{i\alpha}(1 - n/\sigma(n))^{i\alpha}$. Ils tronquent cette série et appliquent une version pondérée du théorème de Halász (Proposition 3.3) pour montrer que la moyenne logarithmique de ces fonctions multiplicatives est nulle.
  • Densité naturelle : Inversement, ils prouvent que $s(n)$ ne suit pas la loi de Benford par rapport à la densité naturelle. Ils construisent un ensemble spécifique d'entiers « commodes » (multiples de 6 avec de grands facteurs premiers) où $s(n)$ est étroitement regroupé près de $n$, créant un biais dans les parties fractionnaires de $\log_g s(n)$ qui viole la distribution uniforme requise pour un comportement de Benford en densité naturelle.

• Entiers composés et chiffres manquants (Théorème 1.5) :

  • Exclusion des nombres premiers : L'article traite une lacune dans les travaux précédents (Benli et al., 2026) qui établissaient une borne supérieure pour $s(n)$ manquant des chiffres mais notaient que les entrées premières ($s(p)=1$) dominent le décompte.
  • Décomposition : Pour un composé $n$, ils écrivent $n = Pm$où$P = P^+(n)$ est le plus grand facteur premier. Ils analysent $s(n) = P s(m) + \sigma(m)$.
  • Crible et lissité : Ils divisent l'analyse selon la taille de $m$ et $P$. Pour de grands $P$, ils utilisent le théorème de Brun-Titchmarsh et des bornes sur le nombre d'entiers avec des chiffres manquants (nombres ellipsephiques) pour montrer que le décompte est significativement plus petit que dans le cas général.
  • Arithmétique modulaire : Ils utilisent le Lemme 4.3 pour borner le nombre de $m$ tels que $s(m)$ est divisible par des moduli spécifiques, contrôlant la distribution de $s(n)$ modulo $g^k$.

Résultats Clés

1. Occurrence Universelle des Chiffres : Pour toute base $g \ge 2$ et toute fonction $k(x) \to \infty$, asymptotiquement 100 % des entiers $n \le x$ ont un $s(n)$ contenant les $g$ chiffres tant dans les $k(x)$ premières que dans les $k(x)$ dernières positions (Théorème 1.1).
2. Loi de Benford (Densité Logarithmique) : La fonction $s(n)$ satisfait la loi de Benford par rapport à la densité logarithmique. Plus précisément, la densité logarithmique de $n$ pour lesquels les chiffres de tête de $s(n)$ forment un bloc $D$ est $\log_g(1 + 1/D)$ (Théorème 1.2).
3. Échec de la Loi de Benford (Densité Naturelle) : $s(n)$ ne satisfait pas la loi de Benford par rapport à la densité naturelle (Proposition 3.6).
4. Préimages Composées d'Ensembles Épars : En restreignant $n$ aux nombres composés, le nombre de $n \le x$ tels que $s(n)$ manque un chiffre spécifique $a_0$ en base $g$ est borné par $O(x \exp(-c\sqrt{\log x}))$ pour une certaine constante $c > 0$ (Théorème 1.5). C'est une borne nettement plus forte que la borne $O(x \exp(-(\log \log x)^\gamma))$ pour tous les entiers, soulignant que les entrées premières sont la principale source de valeurs de $s(n)$ avec des chiffres manquants.

Signification et Revendications
L'article prétend établir que les chiffres de $s(n)$ présentent un haut degré de hasard, se comportant de manière similaire aux entiers aléatoires en termes d'occurrence de chiffres et de distribution des chiffres de tête (sous densité logarithmique).

Une contribution centrale est la clarification du rôle des nombres premiers dans la préimage des ensembles avec des chiffres manquants. Les auteurs démontrent que si l'ensemble de tous les entiers $n$ où $s(n)$ présente des chiffres manquants est relativement grand (en raison du cas trivial $s(p)=1$), le sous-ensemble des entiers composés possédant cette propriété est beaucoup plus petit. Ce résultat affine la compréhension de la conjecture Erdős–Granville–Pomerance–Spiro (EGPS), qui postule que la préimage d'un ensemble de densité asymptotique nulle a également une densité asymptotique nulle. Les auteurs montrent que pour le cas spécifique des chiffres manquants, la « densité » de la préimage est principalement pilotée par les nombres premiers, et qu'en les excluant, on obtient un ensemble beaucoup plus épars.

Le travail repose sur des outils standards de la théorie analytique des nombres (théorème de Halász, Brun-Titchmarsh, distribution de $\sigma(n)/n$) et ne propose pas de nouvelles applications expérimentales ou d'implications futures au-delà des bornes théoriques établies.