On the digits of the sum of proper divisors

Technische Zusammenfassung: Über die Ziffern der Summe der echten Teiler

Problemstellung
Diese Arbeit untersucht das probabilistische Verhalten der Dezimalziffern (und allgemeiner Basis-$g$-Ziffern) von $s(n)$, der Summe der echten Teiler einer positiven ganzen Zahl $n$. Die Autoren behandeln drei primäre Fragen:

1. Ziffernvorkommen: Wie häufig treten alle möglichen Ziffern in den führenden und abschließenden Positionen von $s(n)$ auf?
2. Verteilung der führenden Ziffer: Folgen die führenden Ziffern von $s(n)$ dem Benfordschen Gesetz?
3. Dünnbesetzte Präbilder: Wie viele zusammengesetzte ganze Zahlen $n$ existieren, sodass $s(n)$ „elliptisch“ ist (d. h. mindestens eine Ziffer in seiner Basis-$g$-Expansion fehlt)?

Die Studie wird durch den Kontrast zwischen dem Verhalten von $s(n)$ auf allen ganzen Zahlen im Vergleich zu seinem Verhalten bei Beschränkung auf zusammengesetzte ganze Zahlen motiviert, insbesondere hinsichtlich der Präbilder von Mengen mit fehlenden Ziffern.

Methodik
Die Autoren verwenden eine Kombination aus analytischer Zahlentheorie, probabilistischen Methoden und Siebtechniken.

• Ziffernvorkommen (Theoreme 1.1, 2.2, 2.5): Um zu beweisen, dass fast alle ganzen Zahlen $n \le x$ haben, dass $s(n)$ alle Ziffern in den ersten und letzten $k(x)$ Positionen enthält (wobei $k(x) \to \infty$), nutzen die Autoren:

  • Modulare Beschränkungen: Sie analysieren $s(n) \pmod{g^k}$ und setzen dies in Beziehung zu $\sigma(n) \pmod{g^k}$.
  • Glatte Zahlen: Sie zerlegen $n$ in einen glatten Teil und einen rauen Teil, wobei sie den Primzahlsatz verwenden, um den Beitrag außergewöhnlicher Fälle zu begrenzen.
  • Verteilung von $\sigma(n)/n$: Sie stützen sich auf die Stetigkeit der Verteilungsfunktion von $\sigma(n)/n$ (Davenports Ergebnisse), um zu zeigen, dass sich $s(n)$ hinsichtlich der Ziffernverteilung wie eine zufällige ganze Zahl vergleichbarer Größe verhält.

• Benfordsches Gesetz (Theoreme 1.2, 3.5, 3.6):

  • Logarithmische Dichte: Die Autoren beweisen, dass $s(n)$ in Bezug auf die logarithmische Dichte dem Benfordschen Gesetz folgt. Sie wenden das Weyl-Kriterium für die Gleichverteilung modulo 1 auf die Folge $\{\log_g s(n)\}$ an.
  • Halász-Theorem: Da $s(n)$ nicht multiplativ ist, drücken sie $s(n)^{i\alpha}$ mittels einer Binomialentwicklung von $\sigma(n)^{i\alpha}(1 - n/\sigma(n))^{i\alpha}$ aus. Sie trunkieren diese Reihe und wenden eine gewichtete Version des Halász-Theorems (Proposition 3.3) an, um zu zeigen, dass das logarithmische Mittel der resultierenden multiplikativen Funktionen Null ist.
  • Natürliche Dichte: Umgekehrt beweisen sie, dass $s(n)$ in Bezug auf die natürliche Dichte dem Benfordschen Gesetz nicht folgt. Sie konstruieren eine spezifische Menge „praktikabler“ ganzer Zahlen (Vielfache von 6 mit großen Primfaktoren), bei denen $s(n)$ eng um $n$ gruppiert ist, was eine Verzerrung in den Bruchteilen von $\log_g s(n)$ erzeugt, die die für das Verhalten der natürlichen Dichte erforderliche Gleichverteilung verletzt.

• Zusammengesetzte ganze Zahlen und fehlende Ziffern (Theorem 1.5):

  • Ausschluss von Primzahlen: Die Arbeit adressiert eine Lücke in vorangegangener Arbeit (Benli et al., 2026), die eine obere Schranke für $s(n)$ mit fehlenden Ziffern etablierte, aber feststellte, dass Primzahl-Inputs ($s(p)=1$) die Zählung dominieren.
  • Zerlegung: Für zusammengesetzte $n$ schreiben sie $n = Pm$, wobei $P = P^+(n)$ der größte Primfaktor ist. Sie analysieren $s(n) = P s(m) + \sigma(m)$.
  • Sieb und Glattheit: Sie unterteilen die Analyse basierend auf der Größe von $m$ und $P$. Für große $P$ verwenden sie das Brun-Titchmarsh-Theorem und Schranken für die Anzahl der ganzen Zahlen mit fehlenden Ziffern (elliptische Zahlen), um zu zeigen, dass die Anzahl signifikant kleiner ist als im allgemeinen Fall.
  • Modulare Arithmetik: Sie nutzen Lemma 4.3, um die Anzahl der $m$ zu begrenzen, für die $s(m)$ durch spezifische Moduli teilbar ist, um die Verteilung von $s(n)$ modulo $g^k$ zu kontrollieren.

Schlüsselergebnisse

1. Universelles Ziffernvorkommen: Für jede Basis $g \ge 2$ und jede Funktion $k(x) \to \infty$ enthalten asymptotisch 100 % der ganzen Zahlen $n \le x$ alle $g$ Ziffern sowohl in den ersten als auch in den letzten $k(x)$ Positionen (Theorem 1.1).
2. Benfordsches Gesetz (Logarithmische Dichte): Die Funktion $s(n)$ erfüllt das Benfordsche Gesetz bezüglich der logarithmischen Dichte. Speziell ist die logarithmische Dichte von $n$, für die die führenden Ziffern von $s(n)$ einen Block $D$ bilden, $\log_g(1 + 1/D)$ (Theorem 1.2).
3. Versagen des Benfordschen Gesetzes (Natürliche Dichte): $s(n)$ erfüllt das Benfordsche Gesetz in Bezug auf die natürliche Dichte nicht (Proposition 3.6).
4. Präbilder zusammengesetzter Zahlen für dünnbesetzte Mengen: Wenn man die Analyse auf zusammengesetzte Zahlen beschränkt, ist die Anzahl der $n \le x$, sodass $s(n)$ eine spezifische Ziffer $a_0$ in Basis $g$ vermisst, durch $O(x \exp(-c\sqrt{\log x}))$ für eine Konstante $c > 0$ beschränkt (Theorem 1.5). Dies ist eine signifikant stärkere Schranke als die $O(x \exp(-(\log \log x)^\gamma))$ Schranke für alle ganzen Zahlen, was hervorhebt, dass Primzahl-Inputs die primäre Quelle für „fehlende Ziffer“-Werte für $s(n)$ sind.

Bedeutung und Behauptungen
Die Arbeit behauptet, zu etablieren, dass die Ziffern von $s(n)$ ein hohes Maß an Zufälligkeit aufweisen und sich hinsichtlich des Ziffernvorkommens und der Verteilung der führenden Ziffer (unter logarithmischer Dichte) ähnlich wie zufällige ganze Zahlen verhalten.

Ein zentraler Beitrag ist die Klärung der Rolle von Primzahlen im Präbild von Mengen mit fehlenden Ziffern. Die Autoren zeigen, dass während die Menge aller ganzen Zahlen $n$, bei denen $s(n)$ fehlende Ziffern aufweist, relativ groß ist (aufgrund des trivialen Falles $s(p)=1$), die Teilmenge der zusammengesetzten ganzen Zahlen mit dieser Eigenschaft viel kleiner ist. Dieses Ergebnis präzisiert das Verständnis der Erdős–Granville–Pomerance–Spiro (EGPS) Vermutung, die besagt, dass das Präbild einer Menge mit asymptotischer Dichte Null auch eine asymptotische Dichte von Null hat. Die Autoren zeigen, dass die „Dichte“ des Präbildes für den spezifischen Fall fehlender Ziffern fast ausschließlich durch Primzahlen getrieben wird, und dass das Ausschließen dieser zu einer wesentlich dünner besetzten Menge führt.

Die Arbeit stützt sich auf Standardwerkzeuge der analytischen Zahlentheorie (Halász-Theorem, Brun-Titchmarsh, Verteilung von $\sigma(n)/n$) und schlägt keine neuen experimentellen Anwendungen oder zukünftigen Implikationen über die etablierten theoretischen Schranken hinaus vor.