On the digits of the sum of proper divisors

技術要約：真の約数の和の桁に関する研究

問題提起
本論文は、正の整数 $n$ の真の約数の和である $s(n)$ の、十進法（および一般の基数 $g$）における桁の確率的挙動を調査するものである。著者らは、主に以下の3つの問いに取り組んでいる：

1. 桁の出現： $s(n)$ の先頭および末尾の桁において、あらゆる可能な数字がどの程度の頻度で現れるか？
2. 先頭桁の分布： $s(n)$ の先頭桁はベンフォードの法則に従うか？
3. 疎な逆像： $s(n)$ が「楕円的（ellipsephic）」（すなわち、基数 $g$ の展開において少なくとも1つの数字が欠落している状態）となるような合成整数 $n$ はいくつ存在するか？

本研究は、すべての整数における $s(n)$ の挙動と、合成整数に限定した場合の挙動（欠落した桁を持つ集合の逆像に関する挙動）との対比に着目している。

手法
著者らは、解析的数論、確率論的手法、および篩（ふるい）法を組み合わせて用いている。

• 桁の出現（定理 1.1, 2.2, 2.5）： $n \le x$ であるほとんどすべての整数 $n$ について、$s(n)$ が最初の $k(x)$ 桁および最後の $k(x)$ 桁においてすべての数字を含む（ここで $k(x) \to \infty$）ことを証明するために、以下の手法を用いている：

  • 剰余による制約： $s(n) \pmod{g^k}$ を分析し、これを $\sigma(n) \pmod{g^k}$ と関連付ける。
  • 滑らかな数（Smooth Numbers）： $n$ を滑らかな部分と粗い部分に分解し、素数定理を用いて例外的なケースの寄与を抑え込む。
  • $\sigma(n)/n$ の分布： $\sigma(n)/n$ の分布関数の連続性（ダベンポートの結果）を利用し、$s(n)$ が桁の分布に関して、同程度の大きさを持つランダムな整数と同様に振る舞うことを示す。

• ベンフォードの法則（定理 1.2, 3.5, 3.6）：

  • 対数密度： 著者らは、$s(n)$ が対数密度に関してベンフォードの法則に従うことを証明する。これには、数列 $\{\log_g s(n)\}$ に対するモジュロ 1 での一様分布に関するワイルの判定法を適用する。
  • ハラスの定理（Halász's Theorem）： $s(n)$ は乗法的ではないため、$\sigma(n)^{i\alpha}(1 - n/\sigma(n))^{i\alpha}$ の二項展開を用いて $s(n)^{i\alpha}$ を表現する。この級数を打ち切り、重み付きのハラスの定理（命題 3.3）を適用することで、得られる乗法的関数の対数平均がゼロであることを示す。
  • 自然密度： 逆に、$s(n)$ は自然密度に関してはベンフォードの法則に従わないことを証明する。著者らは、$s(n)$ が $n$ の近くに密集する特定の「都合の良い」整数（大きな素因数を持つ6の倍数）の集合を構成し、これにより $\log_g s(n)$ の小数部分に偏りが生じ、自然密度におけるベンフォードの挙動に必要な一様分布が崩れることを示す。

• 合成整数と欠落した桁（定理 1.5）：

  • 素数の除外： 本論文は、欠落した桁を持つ $s(n)$ の上界を確立したが、素数入力（$s(p)=1$）がカウントを支配していると指摘した先行研究（Benli et al., 2026）の空白を埋めるものである。
  • 分解： 合成数 $n$ に対して、$n = Pm$（ここで$P = P^+(n)$は最大の素因数）と書く。そして$s(n) = P s(m) + \sigma(m)$ と分析する。
  • 篩と滑らかさ： $m$ と $P$ のサイズに基づいて分析を分割する。$P$ が大きい場合、ブルン・ティッチマーズの定理と、欠落した桁を持つ整数（楕円的数）の個数の上界を用いて、$n \le x$ かつ $s(n)$ が特定の剰余を持つ $n$ の数が、全整数の場合よりも大幅に小さいことを示す。
  • 剰余演算： 補題 4.3 を用いて、$s(m)$ が特定の法で割り切れる $m$ の個数を抑え、$s(n)$ の $s(n) \pmod{g^k}$ の分布を制御する。

主要な結果

1. 普遍的な桁の出現： 任意の基数 $g \ge 2$ および任意の関数 $k(x) \to \infty$ に対して、漸近的に 100% の整数 $n \le x$ は、$s(n)$ の最初および最後の $k(x)$ 桁の両方にすべての $g$ 個の数字を含む（定理 1.1）。
2. ベンフォードの法則（対数密度）： 関数 $s(n)$ は対数密度に関してベンフォードの法則を満たす。具体的には、先頭桁がブロック $D$ を形成する $n$ の対数密度は $\log_g(1 + 1/D)$ である（定理 1.2）。
3. ベンフォードの法則の不成立（自然密度）： $s(n)$ は自然密度に関してベンフォードの法則を満たさない（命題 3.6）。
4. 疎な集合の合成数逆像： $n$ を合成数に限定した場合、基数 $g$ において特定の数字 $a_0$ を欠く $s(n)$ の個数 $n \le x$ は、$O(x \exp(-c\sqrt{\log x}))$ （$c > 0$ は定数）で抑えられる（定理 1.5）。これは、すべての整数に対する $O(x \exp(-(\log \log x)^\gamma))$ という境界よりも有意に強く、素数入力が $s(n)$ の「欠落した桁」を持つ値の主要な原因であることを浮き彫りにしている。

意義と主張
本論文は、$s(n)$ の桁が高度なランダム性を示し、桁の出現や先頭桁の分布（対数密度において）に関して、ランダムな整数と同様に振る舞うことを確立したと主張している。

中心的な貢献は、欠落した桁を持つ集合の逆像における素数の役割を明確にしたことにある。著者らは、欠落した桁を持つ $s(n)$ の集合（全整数の集合）は比較的大きいが（$s(p)=1$ という自明なケースにより）、そのうちの合成数の部分集合は非常に小さいことを示している。この結果は、ある集合の漸近密度がゼロであれば、その逆像の漸近密度もゼロであるとするエルデシュ・グランヴィル・ポマレンツェ・スピロ（EGPS）予想を精緻化するものである。著者らは、欠落した桁という特定のケースにおいて、逆像の「密度」はほぼすべて素数によって駆動されており、これらを除外すると極めて疎な集合になることを示している。

本研究は、解析的数論の標準的な道具（ハラスの定理、ブルン・ティッチマーズ、$\sigma(n)/n$ の分布）に依拠しており、確立された理論的境界を超えた新しい実験的応用や将来的な示唆を提案するものではない。