On the digits of the sum of proper divisors

技术摘要：论真因子和的数字特性

问题陈述
本文研究了正整数 $n$ 的真因子和 $s(n)$ 在十进制（及一般进制 $g$）下的数字概率行为。作者探讨了三个主要问题：

1. 数字出现情况： 在 $s(n)$ 的首位和末位，所有可能的数字出现的频率如何？
2. 首位数字分布： $s(n)$ 的首位数字是否遵循本福德定律（Benford's law）？
3. 稀疏原像： 存在多少个合数 $n$，使得 $s(n)$ 是“椭圆型”的（即在 $g$ 进制展开中至少缺失一个数字）？

本研究的动机在于对比 $s(n)$ 在全体整数上的行为与在限制为合数时的行为，特别是在缺失数字集合的原像方面。

方法论
作者结合了解析数论、概率方法和筛法进行研究。

• 数字出现情况（定理 1.1, 2.2, 2.5）： 为了证明几乎所有 $n \le x$ 的整数 $n$ 其 $s(n)$ 在前 $k(x)$ 位和后 $k(x)$ 位都包含所有数字（其中 $k(x) \to \infty$），作者利用了：

  • 模约束： 他们分析了 $s(n) \pmod{g^k}$ 并将其与 $\sigma(n) \pmod{g^k}$ 联系起来。
  • 光滑数： 他们将 $n$ 分解为光滑部分和粗糙部分，利用素数定理来限制异常情况的贡献。
  • $\sigma(n)/n$ 的分布： 他们依赖于 $\sigma(n)/n$ 分布函数的连续性（Davenport 的结果），以证明 $s(n)$ 在数字分布方面表现得像与其规模相当的随机整数。

• 本福德定律（定理 1.2, 3.5, 3.6）：

  • 对数密度： 作者证明了 $s(n)$ 关于对数密度服从本福德定律。他们将 Weyl 判据应用于序列 $\{\log_g s(n)\}$ 关于模 1 的均匀分布。
  • Halász 定理： 由于 $s(n)$ 不是乘性函数，他们利用二项式展开式 $s(n)^{i\alpha} = \sigma(n)^{i\alpha}(1 - n/\sigma(n))^{i\alpha}$ 来表示 $s(n)^{i\alpha}$。他们对该级数进行截断，并应用加权版本的 Halász 定理（命题 3.3）来证明所得乘性函数的对数平均值为零。
  • 自然密度： 相反，他们证明了 $s(n)$ 关于自然密度并不服从本福德定律。他们构造了一个特定的“便利”整数集（具有大素因子的 6 的倍数），其中 $s(n)$ 紧密聚集在 $n$ 附近，这导致 $\log_g s(n)$ 的分数部分产生偏差，从而违反了实现自然密度本福德行为所需的均匀分布。

• 合数与缺失数字（定理 1.5）：

  • 排除素数： 本文解决了 Benli 等人（2026）此前工作中的一个空白，该工作虽然建立了 $s(n)$ 缺失数字的上界，但指出素数输入（$s(p)=1$）主导了计数。
  • 分解： 对于合数 $n$，他们令 $n = Pm$，其中$P = P^+(n)$是最大素因子。他们分析$s(n) = P s(m) + \sigma(m)$。
  • 筛法与光滑性： 他们根据 $m$ 和 $P$ 的大小进行分析。对于较大的 $P$，他们使用 Brun-Titchmarsh 定理以及关于缺失数字整数（椭圆型数）数量的界限，以证明其计数显著小于一般情况。
  • 模算术： 他们利用引理 4.3 来界定使得 $s(m)$ 被特定模数整除的 $m$ 的数量，从而控制 $s(n)$ 模 $g^k$ 的分布。

核心结果

1. 通用数字出现： 对于任何基数 $g \ge 2$ 和任何函数 $k(x) \to \infty$，渐近而言，100% 的整数 $n \le x$ 其 $s(n)$ 在前 $k(x)$ 位和后 $k(x)$ 位都包含所有 $g$ 个数字（定理 1.1）。
2. 本福德定律（对数密度）： 函数 $s(n)$ 关于对数密度满足本福德定律。具体而言，$n$ 的对数密度满足首位数字形成区块 $D$ 的条件为 $\log_g(1 + 1/D)$（定理 1.2）。
3. 本福德定律的失效（自然密度）： $s(n)$ 关于自然密度不满足本福德定律（命题 3.6）。
4. 稀疏集合的合数原像： 当将 $n$ 限制为合数时，满足 $s(n)$ 在基数 $g$ 下缺失特定数字 $a_0$ 的 $n \le x$ 的数量被界定为 $O(x \exp(-c\sqrt{\log x}))$，其中 $c > 0$ 为常数（定理 1.5）。这比全体整数的 $O(x \exp(-(\log \log x)^\gamma))$ 界限要强得多，凸显了素数输入是 $s(n)$ 产生“缺失数字”值的核心来源。

意义与主张

本文声称确立了 $s(n)$ 的数字具有高度的随机性，在数字出现情况和首位数字分布（在对数密度下）方面表现得类似于随机整数。

一个核心贡献是澄清了素数在缺失数字集合的原像中所扮演的角色。作者证明，虽然 $s(n)$ 具有缺失数字的整数集合相对较大（由于平凡情况 $s(p)=1$），但其中的合数子集要稀疏得多。这一结果完善了对 Erdős–Granville–Pomerance–Spiro (EGPS) 猜想的理解，该猜想认为具有零渐近密度的集合的原像也具有零渐近密度。作者表明，对于缺失数字这一特定情况，原像的“密度”几乎完全由素数驱动，排除它们后会得到一个更加稀疏的集合。

这项工作依赖于解析数论的标准工具（Halász 定理、Brun-Titchmarsh、$\sigma(n)/n$ 的分布），并未提出超出所建立理论界限之外的新实验应用或未来影响。