1730 पेपर
यह शोध पत्र एटा-सामान्यीकृत टू-कलर पार्टीशन कंपैनियन सीरीज़ के लिए एंड्रयूज-अल बक्राउई साइन अनुमान (Andrews–El Bachraoui sign conjecture) को इसके गुणांकों के अनंत रूप से दोलन करने को सिद्ध करके और एक फ्रैंकलिन-प्रकार के इनवोल्यूशन (Franklin-type involution) के माध्यम से उनके 4 के मॉड्युलो (modulo 4) के लिए एक कॉम्बिनेटरियल स्पष्टीकरण प्रदान करके हल करता है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि विशेषता वाले वैश्विक फलन क्षेत्रों (global function fields) पर lisse -शीव्स (lisse -sheaves) के लिए (जहाँ ), एक -विस्तार (extension) पर सेल्मर समूह (Selmer group) का पोंट्र्यागिन द्वैत (Pontryagin dual), शून्य -इनवेरिएंट (vanishing -invariant) वाला एक परिमित रूप से जनित टॉर्शन मॉड्यूल (finitely generated torsion module) है, जिससे ग्रीनबर्ग के अनुमान (Greenberg's conjecture) का धनात्मक-विशेषता तुलिका (positive-characteristic analogue) स्थापित होता है और यह निष्कर्ष निकलता है कि संबद्ध विरूपण वलय (deformation rings) औपचारिक घात श्रृंखला वलय (formal power series rings) हैं।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि दुर्बल विजातीय पॉइसोनियन युग्म सहसंबंध (weak inhomogeneous Poissonian pair correlation) अपने सुदृढ़ समकक्ष की तुलना में एक स्पष्ट रूप से दुर्बल स्थिति है, सम-वितरण (equidistribution) की गारंटी नहीं देता है, और चुने गए विशिष्ट विजातीय पैरामीटर के आधार पर परस्पर स्वतंत्र धारणाएं प्रस्तुत करता है।
यह शोधपत्र टौबेरियन विधियों (Tauberian methods) का उपयोग करके संबंधित रामानुजन योगों (Ramanujan sums) के लिए अनुमान स्थापित करने, प्रतिच्छेदन परिणामों को सिद्ध करने के लिए एक सजातीय ज़ेटा फलन (zeta function) का निर्माण करने और उनके शास्त्रीय क्लोस्टर्मन योगों से स्वतंत्रता के लिए संख्यात्मक साक्ष्य प्रदान करने तथा लिनिक के अनुमान (Linnik's conjecture) का एक अनुरूप रूप तैयार करने के माध्यम से मॉड्यूलर प्रतीकों द्वारा निर्मित क्लोस्टर्मन योगों के योगों की जांच करता है।
यह शोध पत्र लैंडौ के सूत्र और वैन डेर कॉर्पस के डेरिवेटिव परीक्षणों का उपयोग करके हीजनबर्ग समूह (जहाँ ) पर साइगन-कोरान्योई बॉल्स (Cygan–Korányi balls) के लिए लैटिस पॉइंट काउंटिंग समस्या में त्रुटि पद (error term) के ज्ञात ऊपरी बाउंड को तक सुधारता है, जो गैथ के इष्टतम बाउंड के अनुमान की दिशा में पहली प्रगति है।
यह शोध पत्र गैर-अपूर्ण (nondeficient) संख्याओं और -पूर्ण संख्याओं के बीच के संबंध के संबंध में रॉस द्वारा की गई 2024 की दो कयासों (conjectures) को गलत सिद्ध करता है।
यह शोधपत्र विषम कोटि के व्युत्क्रम घात योगों (reciprocal power sums) के लिए समान उच्च-कोटि की सर्वांगसमताओं (uniform high-order congruences) को स्थापित करता है और सामान्य लेहमर-प्रकार के उत्पादों (generalized Lehmer-type products) के लिए पूर्ण घातीय बेल बहुपदों (complete exponential Bell polynomials) से युक्त एक स्पष्ट खंडित विस्तार (explicit truncated expansion) व्युत्पन्न करता है, जिससे इन उच्च-कोटि की सर्वांगसमताओं की गणना और सत्यापन के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान होता है।
यह शोधपत्र वर्गमुक्त स्तर (squarefree level) और निश्चित एटकिन-लेहनेर संकेतों (Atkin-Lehner signs) वाले भार 2 के न्यूफॉर्म्स (newforms) के सभी शून्य-आयामी स्थानों को वर्गीकृत करता है, और इस वर्गीकरण का उपयोग मॉड्यूलर और शिमुरा वक्रों के एटकिन-लेहनेर कोटिएंट्स के लिए अच्छे न्यूनीकरण (good reduction) के अप्रत्याशित अभाज्य संख्याओं की पहचान करने के लिए करता है।
यह शोध पत्र आयाम 36 में कोह्न-एल्कीज़ लीनियर प्रोग्राम के लिए एक स्पष्ट द्वैत-व्यवहार्य बिंदु (dual-feasible point) का निर्माण करता है, जो यह सिद्ध करता है कि गोलाकार पैकिंग घनत्व (sphere packing density) के लिए सैद्धांतिक ऊपरी सीमा सर्वोत्तम ज्ञात पैकिंग (Kschischang-Pasupathy) से कम से कम 32.91 के कारक से अधिक है, जिससे यह प्रदर्शित होता है कि वर्तमान सर्वोत्तम ज्ञात पैकिंग इष्टतम नहीं है और पहली बार 32 से ऊपर के आयामों के लिए द्वैत सीमाओं (dual bounds) का विस्तार किया गया है।
यह शोध पत्र संख्या क्षेत्रों (number fields) में -मुक्त उपशिफ्ट (subshifts) की अंतर्निहित एर्गोडिसिटी (intrinsic ergodicity) को अधिकतम एंट्रॉपी के एक अद्वितीय माप के अस्तित्व को सिद्ध करके स्थापित करता है, जो एक आयामी सीमा से परे पहला ऐसा परिणाम है और अंतर्निहित कठोरता (rigidity) के दो स्वतंत्र प्रमाणों के माध्यम से -मुक्त लैटिस-पॉइंट और संख्या-क्षेत्र मामलों तक विस्तार करता है।