Disproofs of two conjectures concerning nondeficient numbers

तकनीकी सारांश: गैर-अभाज्य (Nondeficient) संख्याओं से संबंधित दो अनुमानों का खंडन

समस्या विवरण
यह शोध पत्र रॉस (Ross) द्वारा 2024 में गैर-अभाज्य संख्याओं और $\{-1, 1\}$-पूर्ण संख्याओं के बीच संबंध के संबंध में प्रस्तावित दो अनुमानों को संबोधित करता है।

• एक धनात्मक पूर्णांक $n$ गैर-अभाज्य (nondeficient) है यदि $\sigma(n) \ge 2n$ है, जहाँ $\sigma(n)$ विभाजकों का योग है।
• एक धनात्मक पूर्णांक $n$ $\{-1, 1\}$-पूर्ण (perfect) है यदि इसके विभाजक $1 = d_0 < d_1 < \dots < d_k < d_{k+1} = n$ इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: $1 + \sum_{j=1}^k \lambda_j d_j = n$, जहाँ $\lambda_j \in \{-1, 1\}$ गुणांक हैं।

रॉस ने अनुमान लगाया था:

1. $\{-1, 1\}$-पूर्ण संख्याओं के समुच्चय की प्राकृतिक घनत्व (natural density), गैर-अभाज्य संख्याओं के समुच्चय के समान है।
2. प्रत्येक विषम, गैर-अभाज्य संख्या जो पूर्ण वर्ग नहीं है, वह $\{-1, 1\}$-पूर्ण है।

यह शोध पत्र विशिष्ट प्रति-उदाहरणों (counterexamples) के सेट का निर्माण करके दोनों अनुमानों का खंडन करने का लक्ष्य रखता है (पहले अनुमान के लिए धनात्मक निम्न अनंत घनत्व (lower asymptotic density) के साथ, और दूसरे के लिए स्पष्ट प्रति-उदाहरणों के परिवारों के साथ)।

कार्यप्रणाली
लेखक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत तकनीकों का उपयोग करता है, विशेष रूप से विभाजकों के वितरण और विभाजक योग फलन $\sigma(n)$ के गुणों पर ध्यान केंद्रित करता है।

• $\{-1, 1\}$-पूर्णता का पुनर्गठन: शोध पत्र एक महत्वपूर्ण लेम्मा (Lemma 2.1) स्थापित करता है कि $n$, $\{-1, 1\}$-पूर्ण है यदि और केवल यदि $\frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ को $n$ के विशिष्ट उचित विभाजकों (1 और $n$ को छोड़कर) के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह समस्या को विभाजकों के 'सबसेट सम' (subset sum) समस्या में परिवर्तित करता है।
• घनत्व विश्लेषण (अनुमान 1): पहले अनुमान को गलत सिद्ध करने के लिए, लेखक गैर-अभाज्य संख्याओं का एक सेट $E$ निर्मित करता है जो $\{-1, 1\}$-पूर्ण नहीं हैं।
  • रणनीति में ऐसे पूर्णांक $m$ की पहचान करना शामिल है जो 6 के सह-अभाज्य (coprime) हैं और $\frac{\sigma(m)}{m}$ पर्याप्त रूप से 1 के करीब है (विशेष रूप से, $\frac{\sigma(m)}{m} < 1 + \frac{1}{78}$)।
  • लेम्मा 2.2 का उपयोग करते हुए, लेखक सिद्ध करता है कि ऐसे पूर्णांक $m$ का एक सेट है जिसका धनात्मक निम्न अनंत घनत्व है। यह मार्कोव की असमानता (Markov's inequality) और प्रिमोरियल (primorials) के सह-अभाज्य पूर्णांकों के घनत्व के अनुमानों पर निर्भर करता है।
  • लेखक फिर $n = 18m$ के रूप में संख्याओं पर विचार करता है। यह दिखाया गया है कि यदि $m$ घनत्व की स्थिति को संतुष्ट करता है, तो $18m$ सख्त रूप से प्रचुर (strictly abundant/nondeficient) है लेकिन $\{-1, 1\}$-पूर्णता के लिए आवश्यक 'सबसेट सम' की स्थिति को विफल करता है।
• स्पष्ट प्रति-उदाहरण (अनुमान 2): दूसरे अनुमान को गलत सिद्ध करने के लिए, लेखक विषम, गैर-वर्ग, प्रचुर संख्याओं का एक परिवार निर्मित करता है जो $\{-1, 1\}$-पूर्ण नहीं हैं।
  • मान लीजिए $a$ एक विषम प्रचुर वर्ग (odd abundant square) है और $p$ एक अभाज्य संख्या है जिससे $p > \sigma(a)$ है।
  • यह दिखाया गया है कि संख्या $n = ap$ विषम, गैर-वर्ग और प्रचुर है।
  • $H(n) = \frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ की मात्रा का विश्लेषण करके, लेखक प्रदर्शित करता है कि $H(n)$, $n$ के उचित विभाजकों के दो संभावित योगों के बीच स्थित है, जिससे $n$ का $\{-1, 1\}$-पूर्ण होना असंभव हो जाता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

1. अनुमान 1 (घनत्व) का खंडन:
   शोध पत्र प्रमेय 2.4 को सिद्ध करता है, जो $E \subseteq A \setminus P$ (जहाँ $A$ गैर-अभाज्य संख्याओं का सेट है और $P$ $\{-1, 1\}$-पूर्ण संख्याओं का सेट है) के अस्तित्व को स्थापित करता है, ताकि निम्न अनंत घनत्व $d(E) > 0$ हो।

   • परिणाम: चूंकि $P \subseteq A$ है और $E$, $A$ का एक विलगित (disjoint) उपसमुच्चय है जिसका धनात्मक घनत्व है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $d(P) < d(A)$। यह निश्चित रूप से रॉस के इस अनुमान को गलत सिद्ध करता है कि घनत्व समान हैं।

2. अनुमान 2 (विषम गैर-वर्ग) का खंडन:
   शोध पत्र प्रमेय 3.1 को सिद्ध करता है, जो प्रति-उदाहरणों का एक स्पष्ट निर्माण प्रदान करता है।

   • परिणाम: किसी भी विषम प्रचुर वर्ग $a$ और अभाज्य $p > \sigma(a)$ के लिए, संख्या $n = ap$एक विषम, गैर-वर्ग, प्रचुर संख्या है जो${-1, 1}$-पूर्ण *नहीं* है। यह इस अनुमान को गलत सिद्ध करता है कि ऐसे सभी संख्याएँ${-1, 1}$-पूर्ण होती हैं।

महत्व
इस शोध पत्र का प्राथमिक महत्व $\{-1, 1\}$-पूर्ण संख्याओं के वितरण और संरचनात्मक गुणों के संबंध में गैर-अभाज्य संख्याओं की समझ को स्पष्ट करना है।

• यह स्पष्ट करता है कि $\{-1, 1\}$-पूर्ण संख्याओं का वर्ग, गैर-अभाज्य संख्याओं के सापेक्ष, प्राकृतिक घनत्व के मामले में एक "पतला" (thin) उपसमुच्चय है, जो रॉस के पहले अनुमान द्वारा सुझाए गए अंतर्ज्ञान के विपरीत है।
• यह प्रदर्शित करता है कि $\{-1, 1\}$-पूर्ण होने का गुण विषम, गैर-वर्ग प्रचुर संख्याओं के लिए भी गारंटीकृत नहीं है, जो दूसरे अनुमान को खारिज करता है।
• यह कार्य इन सामान्यीकृत पूर्ण संख्या परिभाषाओं के दायरे को सीमित करने वाले कठोर घनत्व तर्क और स्पष्ट अंकगणितीय निर्माण प्रदान करके 'परफेक्ट नंबर' के विविध रूपों के व्यापक अध्ययन में योगदान देता है।

लेखक नोट करता है कि इन प्रमाणों के विकास को अन्वेषण चरणों के दौरान GPT-5.5 Pro के साथ बातचीत द्वारा समर्थन प्राप्त था, हालांकि सभी गणितीय सामग्री को लेखक द्वारा स्वतंत्र रूप से सत्यापित और संशोधित किया गया है। परिणाम मानक संख्या-सिद्धांत उपकरणों पर आधारित हैं, जिनमें ऑयलर टोंटिएंट फलन (Euler totient function), प्रिमोरियल और विशिष्ट विभाजक योग गुणों वाले पूर्णांकों का वितरण शामिल है।