Disproofs of two conjectures concerning nondeficient numbers

Resumen Técnico: Refutaciones de dos conjeturas relativas a los números no deficientes

Planteamiento del problema
El artículo aborda dos conjeturas propuestas por Ross en 2024 con respecto a la relación entre los números no deficientes y los números $\{-1, 1\}$-perfectos.

• Un entero positivo $n$ es no deficiente si $\sigma(n) \ge 2n$, donde $\sigma(n)$ es la suma de los divisores de $n$.
• Un entero positivo $n$ es $\{-1, 1\}$-perfecto si sus divisores $1 = d_0 < d_1 < \dots < d_k < d_{k+1} = n$ satisfacen la ecuación $1 + \sum_{j=1}^k \lambda_j d_j = n$ para algunos coeficientes $\lambda_j \in \{-1, 1\}$.

Ross conjeturó:

1. El conjunto de los números $\{-1, 1\}$-perfectos tiene la misma densidad natural que el conjunto de los números no deficientes.
2. Todo número impar, no deficiente y que no es un cuadrado perfecto es $\{-1, 1\}$-perfecto.

El artículo tiene como objetivo refutar ambas conjeturas mediante la construcción de conjuntos específicos de contraejemplos con una densidad asintótica inferior positiva (para la primera conjetura) y familias explícitas de contraejemplos (para la segunda).

Metodología
El autor emplea técnicas de la teoría analítica de números, centrándose específicamente en la distribución de los divisores y las propiedades de la función suma de divisores $\sigma(n)$.

• Reformulación de la perfección $\{-1, 1\}$: El artículo establece un lema crucial (Lema 2.1) que establece que $n$ es $\{-1, 1\}$-perfecto si y solo si $\frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ puede expresarse como una suma de divisores propios distintos de $n$ (excluyendo $1$y$n$). Esto transforma el problema en un problema de suma de subconjuntos de divisores.
• Análisis de densidad (Conjetura 1): Para refutar la conjetura de densidad, el autor construye un conjunto $E$ de números no deficientes que no son $\{-1, 1\}$-perfectos.
  • La estrategia consiste en identificar enteros $m$ coprimos con 6 tales que $\frac{\sigma(m)}{m}$ esté suficientemente cerca de 1 (específicamente, $\frac{\sigma(m)}{m} < 1 + \frac{1}{78}$).
  • Utilizando el Lema 2.2, el autor demuestra que el conjunto de tales enteros $m$ tiene una densidad asintótica inferior positiva. Esto se basa en la desigualdad de Markov y en estimaciones de la densidad de enteros coprimos con primoriales.
  • El autor considera entonces números de la forma $n = 18m$. Se demuestra que si $m$ satisface la condición de densidad, $18m$ es estrictamente abundante (no deficiente) pero falla la condición de suma de subconjuntos requerida para ser $\{-1, 1\}$-perfecto.
• Contraejemplos explícitos (Conjetura 2): Para refutar la segunda conjetura, el autor construye una familia de números impares, no cuadrados y abundantes que no son $\{-1, 1\}$-perfectos.
  • Sea $a$ un cuadrado impar abundante y $p$ un primo tal que $p > \sigma(a)$.
  • Se demuestra que el número $n = ap$ es impar, no cuadrado y abundante.
  • Al analizar la cantidad $H(n) = \frac{\sigma(n) - 2n}{2}$, el autor demuestra que $H(n)$ se encuentra estrictamente entre dos posibles sumas de divisores propios de $n$, lo que hace imposible que $n$ sea $\{-1, 1\}$-perfecto.

Contribuciones clave y resultados

1. Refutación de la Conjetura 1 (Densidad):
   El artículo demuestra el Teorema 2.4, estableciendo la existencia de un conjunto $E \subseteq A \setminus P$ (donde $A$ es el conjunto de los números no deficientes y $P$ es el conjunto de los números $\{-1, 1\}$-perfectos) tal que la densidad asintótica inferior $d(E) > 0$.

   • Resultado: Dado que $P \subseteq A$ y $E$ es un subconjunto disjunto de $A$ con densidad positiva, se sigue que $d(P) < d(A)$. Esto refuta definitivamente la conjetura de Ross de que las densidades son iguales.

2. Refutación de la Conjetura 2 (Impares no cuadrados):
   El artículo demuestra el Teorema 3.1, proporcionando una construcción explícita de contraejemplos.

   • Resultado: Para cualquier cuadrado impar abundante $a$ y un primo $p > \sigma(a)$, el número $n = ap$ es un número impar, no cuadrado y abundante que no es $\{-1, 1\}$-perfecto. Esto refuta la conjetura de que todos tales números son $\{-1, 1\}$-perfectos.

Significado
La principal significación del artículo reside en corregir la comprensión de la distribución y las propiedades estructurales de los números $\{-1, 1\}$-perfectos en relación con los números no deficientes.

• Clarifica que la clase de los números $\{-1, 1\}$-perfectos es un subconjunto "delgado" de los números no deficientes en términos de densidad natural, contrariamente a la intuición sugerida por la primera conjetura de Ross.
• Demuestra que la propiedad de ser $\{-1, 1\}$-perfecto no está garantizada incluso para números abundantes impares y no cuadrados, refutando la segunda conjetura.
• El trabajo contribuye al estudio más amplio de las variantes de los números perfectos al proporcionar argumentos de densidad rigurosos y construcciones aritméticas explícitas que limitan el alcance de estas definiciones de números perfectos generalizados.

El autor señala que el desarrollo de estas demostraciones contó con el apoyo de interacciones con GPT-5.5 Pro durante las etapas exploratorias, aunque todo el contenido matemático fue verificado y revisado de forma independiente por el autor. Los resultados se basan en herramientas estándar de la teoría de números, incluyendo las propiedades de la función de Euler, los primoriales y la distribución de enteros con propiedades específicas de suma de divisores.