Disproofs of two conjectures concerning nondeficient numbers

Resumo Técnico: Refutações de Duas Conjecturas Relativas a Números Não Deficientes

Enunciado do Problema
O artigo aborda duas conjecturas propostas por Ross em 2024 relativas à relação entre números não deficientes e números $\{-1, 1\}$-perfeitos.

• Um inteiro positivo $n$ é não deficiente se $\sigma(n) \ge 2n$, onde $\sigma(n)$ é a soma dos divisores de $n$.
• Um inteiro positivo $n$ é $\{-1, 1\}$-perfeito se seus divisores $1 = d_0 < d_1 < \dots < d_k < d_{k+1} = n$ satisfazem a equação $1 + \sum_{j=1}^k \lambda_j d_j = n$ para alguns coeficientes $\lambda_j \in \{-1, 1\}$.

Ross conjecturou:

1. O conjunto de números $\{-1, 1\}$-perfeitos possui a mesma densidade natural que o conjunto de números não deficientes.
2. Todo número ímpar, não deficiente que não seja um quadrado perfeito é $\{-1, 1\}$-perfeito.

O artigo visa refutar ambas as conjecturas construindo conjuntos específicos de contraexemplos com densidade assintótica inferior positiva (para a primeira conjectura) e famílias explícitas de contraexemplos (para a segunda).

Metodologia
O autor emprega técnicas de teoria analítica dos números, focando especificamente na distribuição de divisores e nas propriedades da função soma dos divisores $\sigma(n)$.

• Reformulação da $\{-1, 1\}$-perfeição: O artigo estabelece um lema crucial (Lema 2.1) afirmando que $n$ é $\{-1, 1\}$-perfeito se, e somente se, $\frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ puder ser expresso como uma soma de divisores próprios distintos de $n$ (excluindo $1$e$n$). Isso transforma o problema em um problema de soma de subconjuntos (subset sum problem) em relação aos divisores.
• Análise de Densidade (Conjectura 1): Para refutar a conjectura de densidade, o autor constrói um conjunto $E$ de números não deficientes que não são $\{-1, 1\}$-perfeitos.
  • A estratégia envolve identificar inteiros $m$ coprimos a 6 tais que $\frac{\sigma(m)}{m}$ seja suficientemente próximo de 1 (especificamente, $\frac{\sigma(m)}{m} < 1 + \frac{1}{78}$).
  • Usando o Lema 2.2, o autor prova que o conjunto de tais inteiros $m$ possui densidade assintótica inferior positiva. Isso baseia-se na desigualdade de Markov e em estimativas da densidade de inteiros coprimos a primoriais.
  • O autor então considera números da forma $n = 18m$. Demonstra-se que, se $m$ satisfaz a condição de densidade, $18m$ é estritamente abundante (não deficiente), mas falha na condição de soma de subconjuntos exigida para ser $\{-1, 1\}$-perfeito.
• Contraexemplos Explícitos (Conjectura 2): Para refutar a segunda conjectura, o autor constrói uma família de números ímpares, não quadrados e abundantes que não são $\{-1, 1\}$-perfeitos.
  • Seja $a$ um quadrado ímpar abundante e $p$ um primo tal que $p > \sigma(a)$.
  • Mostra-se que o número $n = ap$ é ímpar, não quadrado e abundante.
  • Ao analisar a quantidade $H(n) = \frac{\sigma(n) - 2n}{2}$, o autor demonstra que $H(n)$ situa-se estritamente entre duas somas possíveis de divisores próprios de $n$, tornando impossível que $n$ seja $\{-1, 1\}$-perfeito.

Principais Contribuições e Resultados

1. Refutação da Conjectura 1 (Densidade):
   O artigo prova o Teorema 2.4, estabelecendo a existência de um conjunto $E \subseteq A \setminus P$ (onde $A$ é o conjunto de números não deficientes e $P$ é o conjunto de números $\{-1, 1\}$-perfeitos) tal que a densidade assintótica inferior $d(E) > 0$.

   • Resultado: Como $P \subseteq A$ e $E$ é um subconjunto disjunto de $A$ com densidade positiva, segue que $d(P) < d(A)$. Isso refuta definitivamente a conjectura de Ross de que as densidades são iguais.

2. Refutação da Conjectura 2 (Ímpares Não Quadrados):
   O artigo prova o Teorema 3.1, fornecendo uma construção explícita de contraexemplos.

   • Resultado: Para qualquer quadrado ímpar abundante $a$ e um primo $p > \sigma(a)$, o número $n = ap$ é um número ímpar, não quadrado e abundante que não é $\{-1, 1\}$-perfeito. Isso refuta a conjectura de que todos esses números são $\{-1, 1\}$-perfeitos.

Significância
A principal significância do artigo reside em corrigir a compreensão da distribuição e das propriedades estruturais dos números $\{-1, 1\}$-perfeitos em relação aos números não deficientes.

• Ele esclarece que a classe dos números $\{-1, 1\}$-perfeitos é um subconjunto "fino" dos números não deficientes em termos de densidade natural, contrariamente à intuição sugerida pela primeira conjectura de Ross.
• Demonstra que a propriedade de ser $\{-1, 1\}$-perfeito não é garantida mesmo para números abundantes ímpares e não quadrados, refutando a segunda conjectura.
• O trabalho contribui para o estudo mais amplo de variantes de números perfeitos ao fornecer argumentos de densidade rigorosos e construções aritméticas explícitas que limitam o escopo dessas definições de números perfeitos generalizados.

O autor observa que o desenvolvimento destas provas foi apoiado por interações com o GPT-5.5 Pro durante as fases exploratórias, embora todo o conteúdo matemático tenha sido independentemente verificado e revisado pelo autor. Os resultados dependem de ferramentas padrão da teoria dos números, incluindo propriedades da função totiente de Euler, primoriais e a distribuição de inteiros com propriedades específicas de soma de divisores.