Disproofs of two conjectures concerning nondeficient numbers

技术摘要：关于非亏数两个猜想的反驳

问题陈述
本文针对 Ross 在 2024 年提出的关于**非亏数（nondeficient numbers）**与 **$\{-1, 1\}$-完全数（$\{-1, 1\}$-perfect numbers）**之间关系的两个猜想进行了讨论。

• 一个正整数 $n$ 是非亏数，如果 $\sigma(n) \ge 2n$，其中 $\sigma(n)$ 是 $n$ 的约数之和。
• 一个正整数 $n$ 是 $\{-1, 1\}$-完全数，如果其约数 $1 = d_0 < d_1 < \dots < d_k < d_{k+1} = n$ 满足方程 $1 + \sum_{j=1}^k \lambda_j d_j = n$，其中系数 $\lambda_j \in \{-1, 1\}$。
  Ross 猜想：

1. $\{-1, 1\}$-完全数的集合与非亏数的集合具有相同的自然密度。
2. 每个非平方的奇非亏数都是 $\{-1, 1\}$-完全数。
   本文旨在通过构建具有正下渐近密度（针对第一个猜想）的特定反例集以及显式的反例族（针对第二个猜想），来反驳这两个猜想。

研究方法
作者采用了解析数论技术，特别侧重于约数的分布以及约数和函数 $\sigma(n)$ 的性质。

• $\{-1, 1\}$-完全性的重新表述： 本文建立了一个关键引理（引理 2.1），指出 $n$ 是 $\{-1, 1\}$-完全数，当且仅当 $\frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ 可以表示为 $n$ 的若干个互不相同的真约数（排除 $1$和$n$）之和。这将被问题转化为了关于约数的子集和问题。
• 密度分析（猜想 1）： 为了反驳密度猜想，作者构建了一个非亏数但不属于 $\{-1, 1\}$-完全数的集合 $E$。
  • 策略涉及识别与 6 互素的整数 $m$，使得 $\frac{\sigma(m)}{m}$ 足够接近 1（具体而言，$\frac{\sigma(m)}{m} < 1 + \frac{1}{78}$）。
  • 利用引理 2.2，作者证明了满足此类条件的整数 $m$ 具有正的下渐近密度。这依赖于马尔可夫不等式以及与素数积相关的整数密度的估计。
  • 作者随后考虑形式为 $n = 18m$ 的数。研究表明，如果 $m$ 满足密度条件，则 $18m$ 是严格丰盈数（非亏数），但无法满足 $\{-1, 1\}$-完全性所需的子集和条件。
• 显式反例（猜想 2）： 为了反驳第二个猜想，作者构建了一个奇非平方丰盈数的族。
  • 令 $a$ 为一个奇丰盈平方数，$p$ 为一个满足 $p > \sigma(a)$ 的素数。
  • 数值 $n = ap$ 被证明是奇数、非平方且丰盈的。
  • 通过分析量 $H(n) = \frac{\sigma(n) - 2n}{2}$，作者证明了 $H(n)$ 严格介于 $n$ 的两个可能的真约数之和之间，从而使得 $n$ 不可能成为 $\{-1, 1\}$-完全数。

主要贡献与结果

1. 对猜想 1（密度）的反驳：
   本文证明了定理 2.4，确立了存在一个集合 $E \subseteq A \setminus P$（其中 $A$ 是非亏数集合，$P$ 是 $\{-1, 1\}$-完全数集合），使得其下渐近密度 $d(E) > 0$。

   • 结果： 由于 $P \subseteq A$ 且 $E$ 是 $A$ 的一个具有正密度的不相交子集，因此可以得出 $d(P) < d(A)$。这明确反驳了 Ross 关于两者密度相等的猜想。

2. 对猜想 2（奇非平方数）的反驳：
   本文通过定理 3.1 提供了显式的反例构造。

   • 结果： 对于任何奇丰盈平方数 $a$ 和素数 $p > \sigma(a)$，数字 $n = ap$是一个奇数、非平方、丰盈数，但不是${-1, 1}$-完全数。这反驳了所有此类数均为${-1, 1}$-完全数的猜想。

意义
本文的主要意义在于纠正了对 $\{-1, 1\}$-完全数相对于非亏数在分布和结构性质上的理解。

• 它阐明了从自然密度角度来看，$\{-1, 1\}$-完全数类是非亏数的一个“稀疏”子集，这与 Ross 第一猜想所暗示的直觉相反。
• 它证明了即使对于奇非平方丰盈数，$\{-1, 1\}$-完全性的性质也无法得到保证，从而驳斥了第二个猜想。
• 该工作通过提供严谨的密度论证和显式的算术构造，限制了这些广义完全数定义的适用范围，为完全数变体的广泛研究做出了贡献。

作者指出，这些证明的发展过程得到了 GPT-5.5 Pro 在探索阶段的辅助，但所有的数学内容均由作者独立进行验证和修订。研究结果依赖于标准的数论工具，包括欧拉函数、素数积以及具有特定约数和性质的整数分布。