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Disproofs of two conjectures concerning nondeficient numbers

Diese Arbeit widerlegt zwei aus dem Jahr 2024 stammende Vermutungen von Ross bezüglich der Beziehung zwischen nichtdefizienten Zahlen und $\{-1, 1\}$ -perfekten Zahlen.

Ursprüngliche Autoren: John M. Campbell

Veröffentlicht 2026-07-14

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: John M. Campbell

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich die Welt der Zahlen als eine riesige, geschäftige Stadt vor, in der jedes Gebäude (eine Zahl) über einen einzigartigen Satz von Schlüsseln (ihre Teiler) verfügt. Einige Gebäude sind „perfekt ausbalanciert“, was bedeutet, dass die Summe ihrer Schlüssel genau dem Doppelten des Wertes des Gebäudes entspricht. Andere sind „nicht defizitär“, was bedeutet, dass sie mindestens diese viel Schlüsselkraft besitzen, vielleicht sogar ein kleines bisschen mehr.

Im Jahr 2024 betrachtete ein Mathematiker namens Ross diese Stadt und stellte zwei große Vermutungen darüber auf, wie diese Gebäude verteilt sind. Er glaubte, dass die „perfekt ausbalancierten“ Gebäude (speziell eine spezielle Art namens $\{-1, 1\}$ -perfekte Zahlen) genauso häufig vorkommen wie die „nicht defizitären“. Er vermutete auch, dass wenn man ein seltsames, ungleichmäßiges Gebäude fände, das keine Quadratzahl ist, aber dennoch übermäßige Schlüsselkraft besitzt, es sich um eine jener speziellen, ausbalancierten Typen handeln muss.

John M. Campbell, der Autor dieser Arbeit, beschloss, diese Vermutungen zu testen. Unter Verwendung einiger schwergewichtiger mathematischer Werkzeuge und mit viel Hilfe eines KI-Assistenten (den er sorgfältig prüfte und korrigierte), bewies er, dass beide von Rosss Vermutungen falsch waren.

So zertrümmert er diese Mythen:

Mythos #1: Die „perfekte“ Menge ist genauso groß wie die „nicht defizitäre“ Menge

Ross glaubte, dass wenn man alle nicht defizitären Zahlen zählt, die speziellen $\{-1, 1\}$ -perfekten Zahlen genau denselben Platz auf der Zahlenlinie einnehmen würden.

Campbell zeigte, dass dies nicht wahr ist. Er fand ein ganzes Viertel von Zahlen, die nicht defizitär sind (sie haben reichlich Schlüsselkraft), aber nicht $\{-1, 1\}$ -perfekt sind. Um dies zu beweisen, betrachtete er ein spezifisches Rezept: Nimm eine Zahl $m$ , die keine gemeinsamen Faktoren mit 6 teilt (also nicht durch 2 oder 3 teilbar ist) und eine sehr spezifische, etwas niedrige Schlüsselkraft-Ratio hat (weniger als $1 + \frac{1}{78}$ ).

Wenn man diese speziellen $m$ -Zahlen mit 18 multipliziert, erhält man eine neue Menge von Zahlen. Diese neuen Zahlen sind definitiv nicht defizitär (sie sind abundant), aber sie bestehen den Test, um $\{-1, 1\}$ -perfekt zu sein, nicht. Campbell bewies, dass diese neue Menge so groß ist, dass sie eine „positive Dichte“ besitzt. Auf Deutsch gesagt: Diese „unperfekten“ nicht defizitären Zahlen sind nicht nur ein paar seltene Fehler; sie bilden ein ganzes, messbares Stück der Welt der Zahlen. Das bedeutet, dass die Menge der $\{-1, 1\}$ -perfekten Zahlen strikt kleiner ist als die Menge aller nicht defizitären Zahlen.

Mythos #2: Jede ungerade, Nicht-Quadrat-„abundante“ Zahl ist besonders

Rosss zweite Vermutung bezog sich auf ungerade Zahlen. Er bemerkte, dass wenn man eine ungerade, nicht defizitäre Zahl quadriert, das Ergebnis zwar immer noch nicht defizitär ist, aber nicht $\{-1, 1\}$ -perfekt sein kann. Er vermutete daraufhin, dass jede ungerade, nicht defizitäre Zahl, die keine perfekte Quadratzahl ist, auch $\{-1, 1\}$ -perfekt sein muss.

Campbell zertrümmerte diese Idee mit einem einfachen Gegenbeispiel-Rezept. Er begann mit einer ungeraden, abundanten Quadratzahl (nennen wir sie $a$ ). Dann wählte er eine Primzahl $p$ , die größer ist als die gesamte Schlüsselkraft von $a$ (speziell $p > \sigma(a)$ ).

Als er sie multiplizierte, um $n = a \times p$ zu erhalten, erschuf er eine Zahl, die:

Ungerade ist (da sowohl $a$ als auch $p$ ungerade sind).
Abundant ist (sie hat reichlich Schlüsselkraft).
Keine perfekte Quadratzahl ist (da $p$ nur einmal in der Mischung vorkommt).

Campbell bewies jedoch, dass diese neue Zahl $n$ nicht $\{-1, 1\}$ -perfekt sein kann. Warum? Weil die „Zielsumme“, die nötig ist, um perfekt zu sein, in eine Lücke fällt. Die Mathematik zeigt, dass jede Kombination ihrer Teiler entweder unter das Ziel zurückfällt oder es überschießt, aber niemals exakt das Ziel trifft.

Das Urteil

Die Arbeit legt nicht nur nahe, dass diese Ideen falsch sein könnten; sie beweist, dass sie falsch sind. Campbell hat nicht nur eine Simulation durchgeführt oder geraten; er baute ein logisches Argument auf, das zeigt, dass es unendliche Familien von Zahlen gibt, die Rosss Regeln brechen.

Das Bild der Zahlenstadt ist also etwas chaotischer, als Ross dachte. Die „speziellen“ $\{-1, 1\}$ -perfekten Zahlen sind ein kleinerer Club als die allgemeine „nicht defizitäre“ Menge, und es gibt viele ungerade Nicht-Quadrat-Zahlen, die abundant sind, aber sich weigern, nach den speziellen Regeln zu spielen. Rosss zwei Vermutungen? Widerlegt.

Technisches Resümee: Widerlegungen zweier Vermutungen über nicht-defiziente Zahlen

Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit zwei im Jahr 2024 von Ross aufgestellten Vermutungen über die Beziehung zwischen nicht-defizienten Zahlen und $\{-1, 1\}$ -perfekten Zahlen.

Eine positive Ganzzahl $n$ ist nicht-defizient, wenn $\sigma(n) \ge 2n$ gilt, wobei $\sigma(n)$ die Summe der Teiler von $n$ ist.
Eine positive Ganzzahl $n$ ist $\{-1, 1\}$ -perfekt, wenn ihre Teiler $1 = d_0 < d_1 < \dots < d_k < d_{k+1} = n$ die Gleichung $1 + \sum_{j=1}^k \lambda_j d_j = n$ für einige Koeffizienten $\lambda_j \in \{-1, 1\}$ erfüllen.

Ross vermutete:

Die Menge der $\{-1, 1\}$ -perfekten Zahlen hat dieselbe natürlichen Dichte wie die Menge der nicht-defizienten Zahlen.
Jede ungerade, nicht-defiziente Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist $\{-1, 1\}$ -perfekt.

Die Arbeit zielt darauf ab, beide Vermutungen durch die Konstruktion spezifischer Mengen von Gegenbeispielen mit positiver unterer asymptotischer Dichte (für die erste Vermutung) und expliziter Familien von Gegenbeispielen (für die zweite) zu widerlegen.

Methodik
Der Autor verwendet Techniken der analytischen Zahlentheorie, wobei der Schwerpunkt auf der Verteilung von Teilern und den Eigenschaften der Summe der Teilerfunktion $\sigma(n)$ liegt.

Umformulierung der $\{-1, 1\}$ -Perfektheit: Die Arbeit etabliert ein entscheidendes Lemma (Lemma 2.1), das besagt, dass $n$ genau dann $\{-1, 1\}$ -perfekt ist, wenn $\frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ als Summe distinkter echter Teiler von $n$ (unter Ausschluss von $1$ und $n$ ) dargestellt werden kann. Dies transformiert das Problem in ein Teilsummenproblem bezüglich der Teiler.
Dichteanalyse (Vermutung 1): Um die Dichtevermutung zu widerlegen, konstruiert der Autor eine Menge $E$ $E$ von nicht-defizienten Zahlen, die nicht $\{-1, 1\}$ ${- 1, 1}$ -perfekt sind.
- Die Strategie besteht darin, Ganzzahlen $m$ zu identifizieren, die teilerfremd zu 6 sind und für die $\frac{\sigma(m)}{m}$ hinreichend nahe bei 1 liegt (speziell $\frac{\sigma(m)}{m} < 1 + \frac{1}{78}$ ).
- Unter Verwendung von Lemma 2.2 beweist der Autor, dass die Menge solcher Ganzzahlen $m$ eine positive untere asymptotische Dichte besitzt. Dies stützt sich auf die Markov-Ungleichung und Abschätzungen der Dichte von Ganzzahlen, die teilerfremd zu Primorialen sind.
- Der Autor betrachtet dann Zahlen der Form $n = 18m$ . Es wird gezeigt, dass, falls $m$ die Dichtebedingung erfüllt, $18m$ streng abundant (nicht-defizient) ist, aber die erforderliche Teilsummenbedingung für $\{-1, 1\}$ -Perfektheit verletzt.
Explizite Gegenbeispiele (Vermutung 2): Um die zweite Vermutung zu widerlegen, konstruiert der Autor eine Familie von ungeraden, nicht-quadratischen, abundanten Zahlen, die nicht $\{-1, 1\}$ ${- 1, 1}$ -perfekt sind.
- Sei $a$ eine ungerade abundante Quadratzahl und $p$ eine Primzahl mit $p > \sigma(a)$ .
- Es wird gezeigt, dass die Zahl $n = ap$ ungerade, nicht-quadratisch und abundant ist.
- Durch Analyse der Größe $H(n) = \frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ zeigt der Autor, dass $H(n)$ strikt zwischen zwei möglichen Summen der echten Teiler von $n$ liegt, was es unmöglich macht, dass $n$ $\{-1, 1\}$ -perfekt ist.

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse

Widerlegung von Vermutung 1 (Dichte):
Die Arbeit beweist Theorem 2.4 und stellt die Existenz einer Menge $E \subseteq A \setminus P$ fest (wobei $A$ die Menge der nicht-defizienten Zahlen und $P$ die Menge der $\{-1, 1\}$ -perfekten Zahlen ist), sodass die untere asymptotische Dichte $d(E) > 0$ ist.
- Ergebnis: Da $P \subseteq A$ gilt und $E$ eine disjunkte Teilmenge von $A$ mit positiver Dichte ist, folgt daraus $d(P) < d(A)$ . Dies widerlegt Ross' Vermutung, dass die Dichten gleich sind, definitiv.
Widerlegung von Vermutung 2 (Ungerade Nicht-Quadrate):
Die Arbeit beweist Theorem 3.1 und liefert eine explizite Konstruktion von Gegenbeispielen.
- Ergebnis: Für jede ungerade abundante Quadratzahl $a$ und eine Primzahl $p > \sigma(a)$ ist die Zahl $n = ap$ eine ungerade, nicht-quadratische, abundante Zahl, die nicht $\{-1, 1\}$ -perfekt ist. Dies widerlegt die Vermutung, dass alle solche Zahlen $\{-1, 1\}$ -perfekt sind.

Bedeutung
Die primäre Bedeutung der Arbeit liegt in der Korrektur des Verständnisses der Verteilung und der strukturellen Eigenschaften von $\{-1, 1\}$ -perfekten Zahlen im Verhältnis zu nicht-defizienten Zahlen.

Sie klärt, dass die Klasse der $\{-1, 1\}$ -perfekten Zahlen eine „dünne“ Teilmenge der nicht-defizienten Zahlen hinsichtlich der natürlichen Dichte ist, entgegen der Intuition, die durch Ross' erste Vermutung suggeriert wurde.
Sie zeigt auf, dass die Eigenschaft, $\{-1, 1\}$ -perfekt zu sein, selbst für ungerade, nicht-quadratische abundante Zahlen nicht garantiert ist, was die zweite Vermutung widerlegt.
Die Arbeit trägt zur breiteren Untersuchung von Varianten perfekter Zahlen bei, indem sie rigorose Dichteargumente und explizite arithmetische Konstruktionen liefert, die den Umfang dieser verallgemeinerten Definitionen perfekter Zahlen einschränken.

Der Autor merkt an, dass die Entwicklung dieser Beweise durch Interaktionen mit GPT-5.5 Pro während der explorativen Phasen unterstützt wurde, obwohl alle mathematischen Inhalte unabhängig vom Autor verifiziert und überarbeitet wurden. Die Ergebnisse stützen sich auf Standardwerkzeuge der Zahlentheorie, einschließlich der Eigenschaften der Eulerschen Totientfunktion, Primorialen und der Verteilung von Ganzzahlen mit spezifischen Teilersummen-Eigenschaften.

Mythos #1: Die „perfekte“ Menge ist genauso groß wie die „nicht defizitäre“ Menge

Mythos #2: Jede ungerade, Nicht-Quadrat-„abundante“ Zahl ist besonders

Das Urteil

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