Disproofs of two conjectures concerning nondeficient numbers

기술 요약: 비결핍 수에 관한 두 가지 추측에 대한 반증

문제 정의
본 논문은 2024년 Ross가 제안한 **비결핍 수(nondeficient numbers)**와 $\{-1, 1\}$-완전 수($\{-1, 1\}$-perfect numbers) 사이의 관계에 관한 두 가지 추측을 다룬다.

• 양의 정수 $n$이 비결핍이라는 것은 $\sigma(n) \ge 2n$을 만족함을 의미한다 (여기서 $\sigma(n)$은 $n$의 약수의 합이다).
• 양의 정수 $n$이 $\{-1, 1\}$-완전하다는 것은 그 약수들 $1 = d_0 < d_1 < \dots < d_k < d_{k+1} = n$이 어떤 계수 $\lambda_j \in \{-1, 1\}$에 대하여 $1 + \sum_{j=1}^k \lambda_j d_j = n$을 만족함을 의미한다.

Ross는 다음과 같이 추측했다:

1. $\{-1, 1\}$-완전 수의 집합은 비결핍 수의 집합과 동일한 자연 밀도를 갖는다.
2. 완전 제곱수가 아닌 모든 홀수 비결핍 수는 $\{-1, 1\}$-완전하다.

본 논문은 특정 반례 집합을 구성함으로써(첫 번째 추측에 대해 양의 하한 점근 밀도를 가짐) 및 명시적인 반례 가족을 제시함으로써 두 추측을 모두 반증하는 것을 목표로 한다.

방법론
저자는 해석적 정수론 기법, 특히 약수의 분포와 약수의 합 함수 $\sigma(n)$의 성질에 초점을 맞춘다.

• $\{-1, 1\}$-완전성의 재정의: 본 논문은 $n$이 $\{-1, 1\}$-완전할 필요충분조건이 $\frac{\sigma(n) - 2n}{2}$가 $n$의 서로 다른 진약수들(1과 $n$을 제외)의 합으로 표현될 수 있다는 것임을 나타내는 결정적인 보조정리(보조정리 2.1)를 확립한다. 이는 문제를 약수에 관한 부분 집합 합(subset sum) 문제로 변환시킨다.
• 밀도 분석 (추측 1): 밀도 추측을 반증하기 위해, 저자는 비결핍 수가 아니면서 $\{-1, 1\}$-완전하지 않은 비결핍 수들의 집합 $E$를 구성한다.
  • 전략은 $\frac{\sigma(m)}{m}$이 1에 충분히 가까운(구체적으로 $\frac{\sigma(m)}{m} < 1 + \frac{1}{78}$) 6과 서로소인 정수 $m$을 식별하는 것이다.
  • 저자는 보조정리 2.2를 사용하여 이러한 정수 $m$의 집합이 양의 하한 점근 밀도를 가짐을 증명한다. 이는 마르코프 부등식과 프리모리얼(primorials)에 대해 서로소인 정수들의 밀도 추정치에 의존한다.
  • 그 후, $n = 18m$ 형태의 숫자들을 고려한다. $m$이 밀도 조건을 만족하면, $18m$은 엄격한 과잉수(비결핍 수)이지만 $\{-1, 1\}$-완전성을 위해 요구되는 부분 집합 합 조건을 만족하지 못함을 보인다.
• 명시적 반례 (추측 2): 저자는 홀수이면서 완전 제곱수가 아닌 과잉수들의 가족을 구성하여 두 번째 추측을 반증한다.
  • $a$를 홀수 과잉 완전 제곱수라 하고, $p$를 $p > \sigma(a)$를 만족하는 소수라고 하자.
  • 숫자 $n = ap$는 홀수, 비제곱, 과잉수임을 보인다.
  • $H(n) = \frac{\sigma(n) - 2n}{2}$라는 양을 분석함으로써, 저자는 $H(n)$이 $n$의 진약수들의 가능한 두 합 사이에 엄격하게 위치하여 $n$이 $\{-1, 1\}$-완전이 되는 것을 불가능하게 함을 입증한다.

주요 기여 및 결과

1. 추측 1(밀도)의 반증:
   본 논문은 $E \subseteq A \setminus P$ (여기서 $A$는 비결핍 수의 집합, $P$는 $\{-1, 1\}$-완전 수의 집합)인 집합 $E$가 존재함을 확립하는 정리 2.4를 증명한다.

   • 결과: $P \subseteq A$이고 $E$가 양의 밀도를 가진 $A$의 서로소인 부분집합이므로, $d(P) < d(A)$임이 성립한다. 이는 두 밀도가 같다는 Ross의 추측을 결정적으로 반증한다.

2. 추측 2(홀수 비제곱)의 반증:
   본 논문은 명시적인 반례 구성을 제공하는 정리 3.1을 증명한다.

   • 결과: 임의의 홀수 과잉 완전 제곱수 $a$와 $p > \sigma(a)$인 소수 $p$에 대하여, $n = ap$는 홀수, 비제곱, 과잉수이지만${-1, 1}$-완전은 아니다. 이는 모든 그러한 숫자가${-1, 1}$-완전하다는 추측을 반증한다.

의의
본 논문의 주요 의의는 $\{-1, 1\}$-완전 수의 분포 및 구조적 성질을 비결핍 수와 관련하여 바로잡는 데 있다.

• 이는 $\{-1, 1\}$-완전 수의 부류가 Ross의 첫 번째 추측이 시사한 직관과는 달리, 비결핍 수의 "희박한(thin)" 부분집합임을 명확히 한다.
• 또한, $\{-1, 1\}$-완전성이라는 성질이 홀수 비제곱 과잉수에서도 보장되지 않음을 보여줌으로써 두 번째 추측을 반박한다.
• 본 연구는 일반화된 완전수 정의의 범위를 제한하는 엄격한 밀도 논증과 명시적인 산술적 구성을 제공함으로써, 완전수의 변형들에 관한 광범위한 연구에 기여한다.

저자는 이 증명들의 전개 과정에서 탐색 단계 동안 GPT-5.5 Pro와의 상호작용으로부터 지원을 받았으나, 모든 수학적 내용은 저자에 의해 독립적으로 검증되고 수정되었음을 밝힌다. 결과는 오일러 피 함수, 프리모리얼, 그리고 특정 약수 합 성질을 가진 정수의 분포를 포함한 표준적인 정수론적 도구들에 기반한다.