Disproofs of two conjectures concerning nondeficient numbers

Sintesi Tecnica: Confutazioni di due congetture riguardanti i numeri non deficienti

Enunciato del problema
Il documento affronta due congetture proposte da Ross nel 2024 riguardanti la relazione tra i numeri non deficienti e i numeri $\{-1, 1\}$-perfetti.

• Un intero positivo $n$ è non deficiente se $\sigma(n) \ge 2n$, dove $\sigma(n)$ è la somma dei divisori di $n$.
• Un intero positivo $n$ è $\{-1, 1\}$-perfetto se i suoi divisori $1 = d_0 < d_1 < \dots < d_k < d_{k+1} = n$ soddisfano l'equazione $1 + \sum_{j=1}^k \lambda_j d_j = n$ per alcuni coefficienti $\lambda_j \in \{-1, 1\}$.
  Ross ha congetturato:

1. L'insieme dei numeri $\{-1, 1\}$-perfetti ha la stessa densità naturale dell'insieme dei numeri non deficienti.
2. Ogni numero dispari, non deficiente che non sia un quadrato perfetto, è $\{-1, 1\}$-perfetto.

Il documento mira a confutare entrambe le congetture costruendo specifici insiemi di controesempi con densità asintotica inferiore positiva (per la prima congettura) e famiglie esplicite di controesempi (per la seconda).

Metodologia
L'autore utilizza tecniche di teoria analitica dei numeri, concentrandosi in particolare sulla distribuzione dei divisori e sulle proprietà della funzione somma dei divisori $\sigma(n)$.

• Riformulazione della $\{-1, 1\}$-perfezione: Il documento stabilisce un lemma cruciale (Lemma 2.1) secondo cui $n$ è $\{-1, 1\}$-perfetto se e solo se $\frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ può essere espresso come somma di divisori propri distinti di $n$ (escludendo $1$e$n$). Ciò trasforma il problema in un problema di subset sum (somma di un sottoinsieme) relativo ai divisori.
• Analisi della densità (Congettura 1): Per confutare la congettura sulla densità, l'autore costruisce un insieme $E$ di numeri non deficienti che non sono $\{-1, 1\}$-perfetti.
  • La strategia consiste nell'identificare interi $m$ coprimi con 6 tali che $\frac{\sigma(m)}{m}$ sia sufficientemente vicino a 1 (specificamente, $\frac{\sigma(m)}{m} < 1 + \frac{1}{78}$).
  • Utilizzando il Lemma 2.2, l'autore dimostra che l'insieme di tali interi $m$ ha una densità asintotica inferiore positiva. Ciò si basa sulla disuguaglianza di Markov e sulle stime della densità degli interi coprimi con i primoriali.
  • L'autore considera quindi numeri della forma $n = 18m$. Si dimostra che se $m$ soddisfa la condizione di densità, $18m$ è strettamente abbondante (non deficiente) ma fallisce la condizione di subset sum richiesta per la $\{-1, 1\}$-perfezione.
• Controesempi espliciti (Congettura 2): Per confutare la seconda congettura, l'autore costruisce una famiglia di numeri dispari, non quadrati, abbondanti che non sono $\{-1, 1\}$-perfetti.
  • Sia $a$ un quadrato dispari abbondante e $p$ un numero primo tale che $p > \sigma(a)$.
  • Si dimostra che il numero $n = ap$ è dispari, non quadrato e abbondante.
  • Analizzando la quantità $H(n) = \frac{\sigma(n) - 2n}{2}$, l'autore dimostra che $H(n)$ si trova strettamente tra due possibili somme di divisori propri di $n$, rendendo impossibile che $n$ sia $\{-1, 1\}$-perfetto.

Contributi chiave e risultati

1. Confutazione della Congettura 1 (Densità):
   Il documento dimostra il Teorema 2.4, stabilendo l'esistenza di un insieme $E \subseteq A \setminus P$ (dove $A$ è l'insieme dei numeri non deficienti e $P$ è l'insieme dei numeri $\{-1, 1\}$-perfetti) tale che la densità asintotica inferiore $d(E) > 0$.

   • Risultato: Poiché $P \subseteq A$ ed $E$ è un sottoinsieme disgiunto di $A$ con densità positiva, ne consegue che $d(P) < d(A)$. Ciò confuta definitivamente la congettura di Ross secondo cui le densità siano uguali.

2. Confutazione della Congettura 2 (Dispari non quadrati):
   Il documento dimostra il Teorema 3.1, fornendo una costruzione esplicita di controesempi.

   • Risultato: Per ogni quadrato dispari abbondante $a$ e un numero primo $p > \sigma(a)$, il numero $n = ap$ è un numero dispari, non quadrato, abbondante che non è $\{-1, 1\}$-perfetto. Questo confuta la congettura che tutti tali numeri siano $\{-1, 1\}$-perfetti.

Significatività
La principale significatività del documento risiede nel correggere la comprensione della distribuzione e delle proprietà strutturali dei numeri $\{-1, 1\}$-perfetti rispetto ai numeri non deficienti.

• Esso chiarisce che la classe dei numeri $\{-1, 1\}$-perfetti è un sottoinsieme "esile" dei numeri non deficienti in termini di densità naturale, contrariamente all'intuizione suggerita dalla prima congettura di Ross.
• Dimostra che la proprietà di essere $\{-1, 1\}$-perfetti non è garantita nemmeno per i numeri abbondanti dispari e non quadrati, smentendo la seconda congettura.
• Il lavoro contribuisce allo studio più ampio delle varianti dei numeri perfetti fornendo argomenti rigorosi sulla densità e costruzioni aritmetiche esplicite che limitano l'ambito di queste definizioni generalizzate di numeri perfetti.

L'autore nota che lo sviluppo di queste prove è stato supportato dalle interazioni con GPT-5.5 Pro durante le fasi esplorative, sebbene tutto il contenuto matematico sia stato indipendentamente verificato e revisionato dall'autore. I risultati si basano su standard della teoria dei numeri, incluse le proprietà della funzione totiente di Eulero, i primoriali e la distribuzione degli interi con specifiche proprietà della somma dei divisori.