Disproofs of two conjectures concerning nondeficient numbers

技術的要約：非不足数に関する2つの予想に対する反証

問題提起
本論文は、2024年にロス（Ross）によって提案された、**非不足数（nondeficient numbers）と$\{-1, 1\}$-完全数（$\{-1, 1\}$-perfect numbers）**の関係に関する2つの予想を取り上げるものである。

• 正の整数 $n$ が非不足数であるとは、$\sigma(n) \ge 2n$ であることである（ここで $\sigma(n)$ は $n$ の約数の和を表す）。
• 正の整数 $n$ が$\{-1, 1\}$-完全数であるとは、その約数 $1 = d_0 < d_1 < \dots < d_k < d_{k+1} = n$ が、ある係数 $\lambda_j \in \{-1, 1\}$ に対して方程式 $1 + \sum_{j=1}^k \lambda_j d_j = n$ を満たすことである。

ロスは以下のことを予想した：

1. $\{-1, 1\}$-完全数の集合は、非不足数の集合と同じ自然密度を持つ。
2. 完全平方数ではないすべての奇数の非不足数は、$\{-1, 1\}$-完全数である。

本論文の目的は、特定の反例の集合を構成すること（第1の予想に対して）および明示的な反例の族を提示すること（第2の予想に対して）により、これら両方の予想を論破することである。

手法
著者は、解析的数論の手法、特に約数の分布および約数和関数 $\sigma(n)$ の性質に焦点を当てて用いる。

• $\{-1, 1\}$-完全性の再定式化： 本論文は、$n$ が $\{-1, 1\}$-完全数であるための必要十分条件は、$\frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ が $n$ の（$1$と$n$ を除いた）相異なる真の約数の和として表せることである、という重要な補題（補題2.1）を確立している。これにより、問題は約数に関する部分和問題へと変換される。
• 密度解析（予想1）： 密度に関する予想を論破するために、著者は非不足数であるが $\{-1, 1\}$-完全数ではない整数の集合 $E$ を構成する。
  • 戦略としては、$\frac{\sigma(m)}{m}$ が十分に 1 に近い（具体的には $\frac{\sigma(m)}{m} < 1 + \frac{1}{78}$）ような、6と互いに素な整数 $m$ を特定することである。
  • 補題2.2を用いることで、このような整数 $m$ の集合が正の下漸近密度を持つことを証明する。これは、マルコフの不等式および素数階乗（primorials）と互いに素な整数の密度の推定に基づいている。
  • 次に、$n = 18m$ という形の数について考察する。$m$ が密度の条件を満たす場合、$18m$ は厳密に過剰（nondeficient）であるが、$\{-1, 1\}$-完全数に必要とされる部分和の条件を満たさないことが示される。
• 明示的な反例（予想2）： 著者は、$\{-1, 1\}$-完全数ではない奇数の非平方過剰数（odd, non-square, abundant numbers）の族を構成することで、第2の予想を論破する。
  • $a$ を奇数の過剰な平方数とし、$p$ を $p > \sigma(a)$ を満たす素数とする。
  • 数 $n = ap$ は、奇数であり、非平方であり、かつ過剰であることが示される。
  • 量 $H(n) = \frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ を分析することにより、著者は $H(n)$ が $n$ の真の約数のあり得る和の間の値をとることを示し、それゆえ $n$ が $\{-1, 1\}$-完全数になることは不可能であることを立証する。

主要な貢献および結果

1. 予想1（密度）の論破：
   本論文は定理2.4を証明し、$E \subseteq A \setminus P$（ここで $A$ は非不足数の集合、$P$ は $\{-1, 1\}$-完全数の集合）を満たす集合 $E$ が存在することを確立している。

   • 結果： $P \subseteq A$ であり、$E$ は $A$ の正の密度を持つ $A$ の互いに素な部分集合であるため、$d(P) < d(A)$ であることが従う。これは、密度の等価性を主張したロスの予想を決定的に覆すものである。

2. 予想2（奇数の非平方数）の論破：
   本論文は定理3.1を証明し、明示的な反例の構成法を提示している。

   • 結果： 任意の奇数の過剰な平方数 $a$ と $p > \sigma(a)$ を満たす素数 $p$ に対して、数 $n = ap$は、奇数、非平方、かつ過剰な数であるが、${-1, 1}$-完全数ではない。これは、そのような数はすべて${-1, 1}$-完全数であるという予想を論破するものである。

意義
本論文の主な意義は、非不足数に対する $\{-1, 1\}$-完全数の分布および構造的性質に関する理解を修正することにある。

• これは、$\{-1, 1\}$-完全数のクラスが、ロスの第1の予想が示唆した直感に反して、非不足数の中では密度において「薄い」部分集合であることを明らかにしている。
• また、$\{-1, 1\}$-完全数であるという性質は、奇数の非平方過剰数においてさえ保証されないことを示し、第2の予想を否定している。
• 本研究は、これらの一般化された完全数の定義の範囲を制限する厳密な密度引数および明示的な算術的構成を提供することで、完全数の変種に関する広範な研究に寄与している。

著者は、探索段階における議論において GPT-5.5 Pro との交流によって本証明の開発が支援されたことを記しているが、すべての数学的内容は著者によって独立して検証および修正されている。結果は、オイラーのファイ関数、素数階乗、および特定の約数和の性質を持つ整数の分布を含む、標準的な数論的手法に基づいている。