Disproofs of two conjectures concerning nondeficient numbers

Résumé technique : Réfutations de deux conjectures concernant les nombres non déficients

Énoncé du problème
L'article traite de deux conjectures proposées par Ross en 2024 concernant la relation entre les nombres non déficients et les nombres $\{-1, 1\}$-parfaits.

• Un entier positif $n$ est non déficient si $\sigma(n) \ge 2n$, où $\sigma(n)$ est la somme des diviseurs de $n$.
• Un entier positif $n$ est $\{-1, 1\}$-parfait si ses diviseurs $1 = d_0 < d_1 < \dots < d_k < d_{k+1} = n$ satisfont l'équation $1 + \sum_{j=1}^k \lambda_j d_j = n$ pour certains coefficients $\lambda_j \in \{-1, 1\}$.

Ross a conjecturé que :

1. L'ensemble des nombres $\{-1, 1\}$-parfaits a la même densité naturelle que l'ensemble des nombres non déficients.
2. Tout nombre impair, non déficient et n'étant pas un carré parfait est $\{-1, 1\}$-parfait.

L'article vise à réfuter ces deux conjectures en construisant des ensembles spécifiques de contre-exemples avec une densité asymptotique inférieure positive (pour la première conjecture) et des familles explicites de contre-exemples (pour la seconde).

Méthodologie
L'auteur emploie des techniques de théorie analytique des nombres, se concentrant spécifiquement sur la distribution des diviseurs et les propriétés de la fonction somme des diviseurs $\sigma(n)$.

• Reformulation de la $\{-1, 1\}$-parfaitesse : L'article établit un lemme crucial (Lemme 2.1) stipulant que $n$ est $\{-1, 1\}$-parfait si et seulement si $\frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ peut être exprimé comme une somme de diviseurs propres distincts de $n$ (excluant $1$ et $n$). Cela transforme le problème en un problème de somme de sous-ensembles concernant les diviseurs.
• Analyse de la densité (Conjecture 1) : Pour réfuter la conjecture de densité, l'auteur construit un ensemble $E$ de nombres non déficients qui ne sont pas $\{-1, 1\}$-parfaits.
  • La stratégie consiste à identifier des entiers $m$ premiers avec 6 tels que $\frac{\sigma(m)}{m}$ soit suffisamment proche de 1 (spécifiquement, $\frac{\sigma(m)}{m} < 1 + \frac{1}{78}$).
  • En utilisant le Lemme 2.2, l'auteur prouve que l'ensemble de ces entiers $m$ possède une densité asymptotique inférieure positive. Cela repose sur l'inégalité de Markov et les estimations de la densité des entiers premiers avec les primoriaux.
  • L'auteur considère ensuite les nombres de la forme $n = 18m$. Il est démontré que si $m$ satisfait la condition de densité, $18m$ est strictement abondant (non déficient) mais échoue à la condition de somme de sous-ensemble requise pour être $\{-1, 1\}$-parfait.
• Contre-exemples explicites (Conjecture 2) : Pour réfuter la seconde conjecture, l'auteur construit une famille de nombres impairs, non carrés et abondants qui ne sont pas $\{-1, 1\}$-parfaits.
  • Soit $a$ un carré abondant impair et $p$ un nombre premier tel que $p > \sigma(a)$.
  • Le nombre $n = ap$ est montré comme étant impair, non carré et abondant.
  • En analysant la quantité $H(n) = \frac{\sigma(n) - 2n}{2}$, l'auteur démontre que $H(n)$ se situe strictement entre deux sommes possibles de diviseurs propres de $n$, rendant impossible le fait que $n$ soit $\{-1, 1\}$-parfait.

Contributions clés et résultats

1. Réfutation de la Conjecture 1 (Densité) :
   L'article prouve le Théorème 2.4, établissant l'existence d'un ensemble $E \subseteq A \setminus P$ (où $A$ est l'ensemble des nombres non déficients et $P$ est l'ensemble des nombres $\{-1, 1\}$-parfaits) tel que la densité asymptotique inférieure $d(E) > 0$.

   • Résultat : Puisque $P \subseteq A$ et que $E$ est un sous-ensemble disjoint de $A$ avec une densité positive, il s'ensuit que $d(P) < d(A)$. Cela réfute définitivement la conjecture de Ross selon laquelle les densités sont égales.

2. Réfutation de la Conjecture 2 (Impairs non carrés) :
   L'article prouve le Théorème 3.1, fournissant une construction explicite de contre-exemples.

   • Résultat : Pour tout carré abondant impair $a$ et tout nombre premier $p > \sigma(a)$, le nombre $n = ap$ est un nombre impair, non carré et abondant qui n'est pas $\{-1, 1\}$-parfait. Cela réfute la conjecture selon laquelle tous ces nombres sont $\{-1, 1\}$-parfaits.

Signification
La principale signification de l'article réside dans la correction de la compréhension de la distribution et des propriétés structurelles des nombres $\{-1, 1\}$-parfaits par rapport aux nombres non déficients.

• Il clarifie que la classe des nombres $\{-1, 1\}$-parfaits est un sous-ensemble « mince » des nombres non déficients en termes de densité naturelle, contrairement à l'intuition suggérée par la première conjecture de Ross.
• Il démontre que la propriété d'être $\{-1, 1\}$-parfait n'est pas garantie, même pour les nombres abondants impairs et non carrés, réfutant ainsi la seconde conjecture.
• Ce travail contribue à l'étude plus large des variantes des nombres parfaits en fournissant des arguments de densité rigoureux et des constructions arithmétiques explicites qui limitent la portée de ces définitions généralisées des nombres parfaits.

L'auteur note que le développement de ces preuves a été soutenu par des interactions avec GPT-5.5 Pro lors des étapes exploratoires, bien que tout le contenu mathématique ait été vérifié et révisé de manière indépendante par l'auteur. Les résultats reposent sur des outils de théorie des nombres standards, incluant les propriétés de la fonction indicatrice d'Euler, des primoriaux et de la distribution des entiers ayant des propriétés spécifiques de somme de diviseurs.