Disproofs of two conjectures concerning nondeficient numbers

Technische Samenvatting: Weerlegging van twee vermoedens betreffende niet-tekortschietende getallen

Probleemstelling
Het artikel behandelt twee vermoedens die in 2024 door Ross zijn voorgesteld over de relatie tussen niet-tekortschietende getallen en $\{-1, 1\}$-perfecte getallen.

• Een positief geheel getal $n$ is niet-tekortschietend als $\sigma(n) \ge 2n$, waarbij $\sigma(n)$ de som van de delers van $n$ is.
• Een positief geheel getal $n$ is $\{-1, 1\}$-perfect als zijn delers $1 = d_0 < d_1 < \dots < d_k < d_{k+1} = n$ voldoen aan de vergelijking $1 + \sum_{j=1}^k \lambda_j d_j = n$ voor bepaalde coëfficiënten $\lambda_j \in \{-1, 1\}$.
  Ross vermoedde:

1. De verzameling $\{-1, 1\}$-perfecte getallen heeft dezelfde natuurlijke dichtheid als de verzameling niet-tekortschietende getallen.
2. Elk oneven, niet-kwadraat niet-tekortschattend getal is $\{-1, 1\}$-perfect.

Het artikel beoogt beide vermoedens te weerleggen door specifieke verzamelingen tegenvoorbeelden te construeren met een positieve lagere asymptotische dichtheid (voor het eerste vermoeden) en expliciete families van tegenvoorbeelden (voor het tweede).

Methodologie
De auteur maakt gebruik van technieken uit de analytische getaltheorie, met name gericht op de distributie van delers en de eigenschappen van de som-van-delers functie $\sigma(n)$.

• Herformulering van $\{-1, 1\}$-perfectheid: Het artikel stelt een cruciaal lemma vast (Lemma 2.1) dat stelt dat $n$ $\{-1, 1\}$-perfect is dan en slechts als $\frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ kan worden uitgedrukt als een som van verschillende strikte delers van $n$ (exclusief $1$ en $n$). Dit transformeert het probleem in een deelverzameling-somprobleem met betrekking tot delers.
• Dichtheidsanalyse (Vermoeden 1): Om het dichtheidsvermoeden te weerleggen, construeert de auteur een verzameling $E$ van niet-tekortschietende getallen die niet $\{-1, 1\}$-perfect zijn.
  • De strategie houdt in: het identificeren van gehele getallen $m$ die copriem zijn met 6 waarvoor $\frac{\sigma(m)}{m}$ voldoende dicht bij 1 ligt (specifiek $\frac{\sigma(m)}{m} < 1 + \frac{1}{78}$).
  • Met behulp van Lemma 2.2 bewijst de auteur dat de verzameling van dergelijke getallen $m$ een positieve lagere asymptotische dichtheid heeft. Dit berust op de Markov-ongelijkheid en schattingen van de dichtheid van gehele getallen die copriem zijn met primoriële getallen.
  • De auteur beschouwt vervolgens getallen van de vorm $n = 18m$. Er wordt aangetoond dat als $m$ aan de dichtheidsconditie voldoet, $18m$ strikt overvloedig (niet-tekortschietend) is maar faalt voor de deelverzameling-somconditie die vereist is voor $\{-1, 1\}$-perfectheid.
• Expliciete Tegenvoorbeelden (Vermoeden 2): Om het tweede vermoeden te weerleggen, construeert de auteur een familie van oneven, niet-kwadraat overvloedige getallen die niet $\{-1, 1\}$-perfect zijn.
  • Laat $a$ een oneven abundant kwadraat zijn en $p$ een priemgetal zodanig dat $p > \sigma(a)$.
  • Het getal $n = ap$ blijkt oneven, niet-kwadraat en abundant te zijn.
  • Door de hoeveelheid $H(n) = \frac{\sigma(n) - 2n}{2}$ te analyseren, toont de auteur aan dat $H(n)$ strikt tussen twee mogelijke sommen van strikte delers van $n$ ligt, waardoor het onmogelijk is dat $n$ $\{-1, 1\}$-perfect is.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Weerlegging van Vermoeden 1 (Dichtheid):
   Het artikel bewijst Stelling 2.4, waarmee het bestaan wordt vastgesteld van een verzameling $E \subseteq A \setminus P$ (waarbij $A$ de verzameling niet-tekortschietende getallen is en $P$ de verzameling $\{-1, 1\}$-perfecte getallen) zodanig dat de lagere asymptotische dichtheid $d(E) > 0$.

   • Resultaat: Omdat $P \subseteq A$ en $E$ een disjuncte deelverzameling van $A$ is met een positieve dichtheid, volgt daaruit dat $d(P) < d(A)$. Dit weerlegt definitief Ross' vermoeden dat de dichtheden gelijk zijn.

2. Weerlegging van Vermoeden 2 (Oneven Kwadraten):
   Het artikel bewijst Stelling 3.1, die een expliciete constructie van tegenvoorbeelden biedt.

   • Resultaat: Voor elk oneven abundant kwadraat $a$ en een priemgetal $p > \sigma(a)$, is het getal $n = ap$ een oneven, niet-kwadraat, abundant getal dat niet $\{-1, 1\}$-perfect is. Dit weerlegt het vermoeden dat alle dergelijke getallen $\{-1, 1\}$-perfect zijn.

Betekenis
De primaire betekenis van het artikel ligt in het corrigeren van het begrip van de distributie en de structurele eigenschappen van $\{-1, 1\}$-perfecte getallen ten opzichte van niet-tekortschietende getallen.

• Het verheldert dat de klasse van $\{-1, 1\}$-perfecte getallen een "dunne" deelverzameling is van niet-tekortschietende getallen in termen van natuurlijke dichtheid, in tegenstelling tot de intuïtie gesuggereerd door Ross' eerste vermoeden.
• Het toont aan dat de eigenschap van $\{-1, 1\}$-perfect te zijn niet gegarandeerd is, zelfs niet voor oneven, niet-kwadraat abundante getallen, wat het tweede vermoeden weerlegt.
• Het werk draagt bij aan de bredere studie van varianten van perfecte getallen door rigoureuze dichtheidsargumenten en expliciete rekenkundige constructies te bieden die de reikwijdte van deze gegeneraliseerde definities van perfecte getallen beperken.

De auteur merkt op dat de ontwikkeling van deze bewijzen werd ondersteund door interacties met GPT-5.5 Pro tijdens de verkennende fasen, hoewel alle wiskundige inhoud onafhankelijk is geverifieerd en herzien door de auteur. De resultaten berusten op standaard getaltheoretische instrumenten, waaronder eigenschappen van de Euler totient functie, primoriële getallen en de distributie van gehele getallen met specifieke delersommen.