1754 पेपर
यह शोध पत्र के मौलिक डोमेन (fundamental domain) की सीमा पर CM बिंदुओं के समविभाजन (equidistribution) की जांच करता है, उन विविक्तताओं (discriminants) का अभिलक्षण करता है जिनके लिए ऐसे सभी बिंदु सीमा पर स्थित होते हैं, और लघु घातांक वर्ग समूहों (small exponent class groups) वाले ऋणात्मक विविक्तताओं का एक सशर्त वर्गीकरण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र पॉइसन समेशन (Poisson summation) और ऑसिलेटरी इंटीग्रल (oscillatory integral) तकनीकों का उपयोग करते हुए, हाइजेनबर्ग समूहों के पिछले परिणामों का सामान्यीकरण और मात्रात्मक सुधार करते हुए, अनिश्चित केंद्र वाले स्टेप-टू (step-two) निलपोटेंट ली ग्रुप्स (nilpotent Lie groups) पर होमोजेनियस नॉर्म्स (homogeneous norms) द्वारा परिभाषित बॉल्स के लिए शार्प लैटिस पॉइंट काउंटिंग डिसक्रेपेंसी (lattice point counting discrepancy) अनुमान स्थापित करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि रीमैन ज़ेटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य (non-trivial zeros) पर इसके वें अवकलज (derivative) का योग वास्तविक है और माध्य में एक विशिष्ट चिह्न पैटर्न (विषम के लिए धनात्मक, सम के लिए ऋणात्मक) प्रदर्शित करता है, जो इन योगों के पूर्ण अनंत प्रसार (asymptotic expansion) को व्युत्पन्न करके प्राप्त किया गया है।
यह शोध पत्र यह सिद्ध करके कि दो की पृथक्करणीय (separable) और गैर-पृथक्करणीय (non-separable) घातों का निचला घनत्व धनात्मक है, और प्रथम अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के बराबर गुणनफल वाले इंटरलॉकिंग युग्मों की संख्या परिमित है, एर्दोश और हॉल के दो अनुमानों को हल करता है।
यह शोध पत्र दो रंगों (लाल और नीला) में पूर्णांक विभाजनों की जांच करता है जहाँ सम भागों को नीले रंग तक ही सीमित रखा गया है, विशिष्ट उप-अनुक्रमों के लिए स्पष्ट सूत्र व्युत्पन्न करता है और समता एवं रंग संबंधी बाधाओं के आधार पर नई विभाजन पहचान स्थापित करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि बहुपद बहु-सहसंबंध फलनों (polynomial multi-correlation functions) के लिए बड़े प्रतिफल (large returns) के सेट सिंडेटिक (syndetic) हैं और A-IP* गुण रखते हैं यदि और केवल यदि अंतर्निहित बहुपद रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, जिससे फ्रैंटज़िकिनाकिस-कुका (Frantzikinakis-Kuca) का एक प्रश्न हल होता है और डेंसिटी पॉलिनोमियल हेल्स-ज्वेट अनुमान (Density Polynomial Hales-Jewett conjecture) से नए संयोजन संबंधी परिणाम प्राप्त होते हैं।
यह शोध पत्र कलन (Cullen) और वुडाल (Woodall) संख्याओं तथा पाडोवन (Padovan) और पेरिन (Perrin) अनुक्रमों के बीच के सभी प्रतिच्छेदों की पहचान करता है, यह सिद्ध करते हुए कि पाडोवन अनुक्रम में 1 और 7 ही एकमात्र वुडाल संख्याएँ हैं जबकि पेरिन अनुक्रम में 3 एकमात्र कलन संख्या है।
यह शोध पत्र के परिवर्तन के साथ सुपर्सिंगुलर -आइसोजेनी ग्राफों पर कॉन्स्टेंट -टावर्स के लिए इवासावा (Iwasawa) -इनवेरिएंट्स के वितरण की जांच करता है, जिससे ग्राफ सिद्धांत, इवासावा सिद्धांत, एलिप्टिक कर्व्स और न्यूफॉर्म्स के गैलॉइस रिप्रेजेंटेशन्स के बीच नवीन संबंध स्थापित होते हैं, और साथ ही इन न्यूफॉर्म्स के गैलॉइस ऑर्बिट्स पर एक अनुमान (conjecture) प्रस्तावित किया जाता है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि हेन्सेलियन वैल्युएशन्स (henselian valuations) की अंकगणितीय परिभाषितता (arithmetic definability) टिल्टिंग पत्राचार (tilting correspondence) के अंतर्गत संरक्षित रहती है, यह स्थापित करता है कि परफेक्टॉइड वैल्युएशन्स (perfectoid valuations) को ऐसे परिभाषाओं के लिए किसी मापदंडों की आवश्यकता नहीं होती है, और इन परिभाषाओं की एकरूपता (uniformity) तथा क्वांटिफायर जटिलता (quantifier complexity) की जांच करता है।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि क्रम के एक प्रक्षेपिक तल (projective plane) में, किसी भी बिंदु समुच्चय (point set) के लिए समान सिकेंट आकार (secant size) साझा करने वाली रेखाओं की न्यूनतम संभव अधिकतम संख्या है, जो एक परिणाम है जो वास्तविक प्रक्षेपिक तलों के विपरीत है और चरित्र-योग अनुमानों (character-sum estimates) से जुड़े स्पष्ट निर्माणों तथा वैध रंगन (legitimate colorings) के साथ संबंधों द्वारा समर्थित है।