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Cullen and Woodall numbers in Padovan and Perrin sequences

यह शोध पत्र कलन (Cullen) और वुडाल (Woodall) संख्याओं तथा पाडोवन (Padovan) और पेरिन (Perrin) अनुक्रमों के बीच के सभी प्रतिच्छेदों की पहचान करता है, यह सिद्ध करते हुए कि पाडोवन अनुक्रम में 1 और 7 ही एकमात्र वुडाल संख्याएँ हैं जबकि पेरिन अनुक्रम में 3 एकमात्र कलन संख्या है।

मूल लेखक: Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

प्रकाशित 2026-05-25

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप दो बहुत लंबी, रहस्यमयी संख्या रेखाओं में छिपे हुए खजानों को खोजने की कोशिश कर रहे हैं एक जासूस हैं। इन संख्या रेखाओं को पाडोवन अनुक्रम (Padovan sequence) और पेरिन अनुक्रम (Perrin sequence) कहा जाता है, जो एक सरल नियम से बनती हैं: अगला नंबर प्राप्त करने के लिए, आप दो कदम पीछे वाले नंबर और तीन कदम पीछे वाले नंबर को जोड़ते हैं। यह संगीत वाली कुर्सियों (musical chairs) के खेल जैसा है जहाँ संख्याएँ एक सख्त लय के अनुसार खुद को बार-बार व्यवस्थित करती रहती हैं।

कमरे के दूसरी ओर, आपके पास "खजाने के सिक्कों" के दो विशेष बैग हैं।

वुडाल सिक्के (Woodall coins) का आकार $m \cdot 2^m - 1$ जैसा है।
कुलन सिक्के (Cullen coins) का आकार $m \cdot 2^m + 1$ जैसा है।

ये सिक्के अविश्वसनीय रूप से तेजी से बढ़ते हैं, आकार में दोगुना और फिर से दोगुना होते जाते हैं। मुख्य सवाल जो इस शोध पत्र के लेखकों ने पूछा था, वह था: "क्या इनमें से कोई भी विशेष सिक्के कभी पाडोवन या पेरिन संख्या रेखाओं के किसी स्थान पर सटीक रूप से उतरते हैं?"

रहस्य सुलझ गया

लेखक, गणितीय जासूसों के रूप में, एक खोज पर निकले। यहाँ उन्हें क्या मिला:

पाडोवन अनुक्रम में (वुडाल की खोज):
उन्होंने पाडोवन रेखा में छिपे वुडाल सिक्कों ( $m \cdot 2^m - 1$ ) को खोजा।
- परिणाम: उन्हें केवल दो मिलान मिले। संख्या 1 (जो $m=1$ के लिए एक वुडाल संख्या है) और संख्या 7 (जो $m=2$ के लिए एक वुडाल संख्या है)।
- निष्कर्ष: कोई अन्य वुडाल सिक्का पाडोवन रेखा में फिट नहीं बैठता। यदि आप अनंत काल तक गिनती जारी रखते हैं, तो आपको दूसरा एक भी नहीं मिलेगा।
पेरिन अनुक्रम में (कुलन की खोज):
उन्होंने पेरिन रेखा में छिपे कुलन सिक्कों ( $m \cdot 2^m + 1$ ) को खोजा।
- परिणाम: उन्हें केवल एक मिलान मिला। संख्या 3 (जो $m=1$ के लिए एक कुलन संख्या है)।
- निष्कर्ष: कोई अन्य कुलन सिक्का पेरिन रेखा में नहीं समाता।

उन्होंने इसे कैसे हल किया?

आप सोच सकते हैं, "आप एक अनंत संख्या रेखा की जाँच कैसे कर सकते हैं?" आप बस गिनती नहीं कर सकते। लेखों ने एक चतुर दो-चरणीय रणनीति का उपयोग किया, जैसे कि एक जासूस संदिग्धों की सूची को कम करता है।

चरण 1: "आवर्धक लेंस" (लॉगारिदम में रैखिक रूप - Linear Forms in Logarithms)
सबसे पहले, उन्होंने बेकर के सिद्धांत (Baker's theory) नामक एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण का उपयोग किया जो एक सुपर-आवर्धक लेंस की तरह काम करता है। इस उपकरण ने यह सिद्ध करने में मदद की कि यदि कोई मिलान मौजूद है, तो वह बहुत अधिक दूर नहीं हो सकता। इसने एक "छत" निर्धारित कर दी कि संख्याएँ कितनी बड़ी हो सकती हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि उन्होंने यह सिद्ध कर दिया कि यदि कोई खजाना मौजूद है, तो वह संख्या रेखा के पहले 500 मिलियन मील के भीतर ही कहीं दबा होना चाहिए, न कि अनंत ब्रह्मांड में खोया हुआ। इसने समस्या को "अनंत" से बदलकर "बहुत बड़ी लेकिन परिमित" में बदल दिया।

चरण 2: "फिंगरप्रिंट स्कैनर" (2-adic वैल्युएशन - 2-adic Valuation)
एक छत निर्धारित होने के बाद भी, 500 मिलियन हाथ से जाँचने के लिए बहुत अधिक है। इसलिए, उन्होंने 2-adic वैल्युएशन नामक दूसरे उपकरण का उपयोग किया। इसे फिंगरप्रिंट स्कैनर की तरह समझें जो यह देखता है कि एक संख्या को कितनी बार 2 से विभाजित किया जा सकता है।

पाडोवन और पेरिन संख्याओं के बहुत विशिष्ट, अनुमानित "फिंगरप्रिंट" होते हैं (इस बारे में कि उन्हें कितनी बार 2 से विभाजित किया जा सकता है)।
वुडाल और कुलन संख्याओं के अपने अनूठे फिंगरप्रिंट होते हैं।
लेखकों ने महसूस किया कि एक मिलान होने के लिए, फिंगरप्रिंटों का पूरी तरह से मेल खाना आवश्यक था। इन पैटर्नों का विश्लेषण करके, उन्होंने महसूस किया कि अधिकांश संख्याओं के लिए, फिंगरप्रिंट मेल नहीं खाते हैं।
उपमा: यह एक चौकोर लकड़ी के टुकड़े को गोल छेद में फिट करने की कोशिश करने जैसा है। उन्होंने सिद्ध किया कि लगभग सभी संख्याओं के लिए, "चौकोर टुकड़ा" (वुडाल/कुलन संख्या) "गोल छेद" (पाडोवन/पेरिन संख्या) में फिट होने के लिए सही आकार का नहीं है।

चरण 3: अंतिम जांच (कंप्यूटर चेक)
गणित का उपयोग करके खोज क्षेत्र को एक बहुत ही छोटे, प्रबंधनीय आकार तक सिकोड़ने के बाद (वुडाल के लिए लगभग 56 और कुलन के लिए 51 तक की संख्याएं जाँचना), उन्होंने अंतिम काम कंप्यूटर को सौंप दिया। कंप्यूटर ने हर एक शेष संभावना की जाँच की और पुष्टि की: कोई अन्य मिलान मौजूद नहीं है।

निचोड़

यह शोध पत्र एक निर्णायक "बंद मामला" है।

पाडोवन में वुडाल संख्याएं: केवल 1 और 7।
पेरिन में कुलन संख्याएं: केवल 3।

लेखकों ने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने अनंत संभावनाओं को खारिज करने के लिए गहन गणितीय सिद्धांत का उपयोग किया और फिर बचे हुए छोटे हिस्से को सत्यापित करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग किया। उन्होंने सिद्ध किया कि ये अनुक्रम ऐसे दो अलग-अलग भाषाओं की तरह हैं जो शायद ही कभी, या कभी भी, एक ही शब्द बोलते हैं।

तकनीकी सारांश: पाडोवन और पेरिन अनुक्रमों में कलन और वुडाल संख्याएँ

समस्या विवरण
यह शोध पत्र दो विशिष्ट घातांकीय डायोफेंटाइन (Diophantine) संख्याओं और रैखिक पुनरावृत्ति अनुक्रमों (linear recurrence sequences) के प्रतिच्छेदन को संबोधित करता है। विशेष रूप से, लेखक पाडोवन अनुक्रम $\{P_n\}$ में वुडाल संख्याओं (संख्याओं का रूप $W_m = m \cdot 2^m - 1$ ) की उपस्थिति की जांच करते हैं और पेरिन अनुक्रम $\{R_n\}$ में कलन संख्याओं (संख्याओं का रूप $C_m = m \cdot 2^m + 1$ ) की जांच करते हैं।

पाडोवन और पेरिन दोनों अनुक्रमों को एक ही पुनरावृत्ति संबंध $U_{n+3} = U_{n+1} + U_n$ द्वारा परिभाषित किया गया है, लेकिन उनके प्रारंभिक मान भिन्न हैं:

पाडोवन: $P_0 = P_1 = P_2 = 1$ ।
पेरिन: $R_0 = 3, R_1 = 0, R_2 = 2$ ।

ब्रैवो और इर्माक [4] के पिछले कार्य ने पाडोवन अनुक्रम में कलन संख्याओं और पेरिन अनुक्रम में वुडाल संख्याओं को निर्धारित किया था, जबकि पूरक मामले (पाडोवन में वुडाल, पेरिन में कलन) खुले रह गए थे। लेखक इन शेष मामलों को पूरी तरह से हल करने का लक्ष्य रखते हैं।

कार्यप्रणाली
प्रमाण रणनीति रैखिक पुनरावृत्ति अनुक्रमों में डायोफेंटाइन समीकरणों को हलने के लिए एक मानक ढांचे का अनुसरण करती है, जो विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत को कम्प्यूटेशनल सत्यापन के साथ जोड़ती है:

बंद-रूप विश्लेषण (Closed-Form Analysis): लेखक दोनों अनुक्रमों के लिए बाइनेट-प्रकार के सूत्रों का उपयोग करते हैं, जिसमें पदों को विशेषता बहुपद $\phi(X) = X^3 - X - 1$ के मूलों की घातों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह सूचकांकों $n$ और $m$ को बांधने वाले असमानता अनुमानों और सीमाओं के व्युत्पन्न की अनुमति देता है।
लघुगणक के रैखिक रूप (Linear Forms in Logarithms): चर $m$ के लिए एक पूर्ण ऊपरी सीमा स्थापित करने के लिए, लेखक बीजगणिक संख्याओं के तीन लघुगणकों के लघुगणक के लिए मैटव के प्रमेय (Matveev's theorem) का अनुप्रयोग करते हैं। $\log 2$ , $\log \alpha$ (जहाँ $\alpha$ , $\phi(X)$ का वास्तविक मूल है), और $\log m$ वाले एक रैखिक रूप $\Lambda$ का निर्माण करके, वे $|\Lambda|$ के लिए एक निचली सीमा प्राप्त करते हैं। पुनरावृत्ति वृद्धि से प्राप्त ऊपरी सीमा के साथ तुलना करने पर, उन्हें $m$ के लिए एक प्रारंभिक, हालांकि बड़ी, ऊपरी सीमा प्राप्त होती है (पाडोवन मामले के लिए लगभग $5.6 \times 10^{14}$ और पेरिन मामले के लिए $5.4 \times 10^{14}$ )।
2-एडिक मूल्यांकन (2-adic Valuation Analysis): मैटव के प्रमेय से प्राप्त विशाल सीमाओं को कम्प्यूटेशनल रूप से व्यवहार्य सीमा तक कम करने के लिए, लेखक विस्थापित अनुक्रमों $\{P_n + 1\}$ ${P_{n} + 1}$ और $\{R_n - 1\}$ ${R_{n} - 1}$ के 2-एडिक मूल्यांकन ( $\nu_2$ $ν_{2}$ ) का विस्तृत विश्लेषण करते हैं।
- वे विशिष्ट पूर्णांकों (जैसे पाडोवन के लिए 112, पेरिन के लिए 14) के सापेक्ष $n$ के अवशेष (residue) के आधार पर $\nu_2(P_n + 1)$ और $\nu_2(R_n - 1)$ के स्पष्ट सूत्र स्थापित करते हैं।
- उन "अपवाद संबंधी" अवशेष वर्गों के लिए जहाँ एक समान बंद-रूप अभिव्यक्ति मौजूद नहीं है, वे दोहरी पुनरावृत्तियों (लेम्मा 2.10 और 2.11) पर आधारित एक 'ग्रीडी एल्गोरिदम' का उपयोग करके $n$ के लिए अधिकतम संभव मूल्यांकन की गणना करते हैं।
- यह विश्लेषण $m \leq \nu_2(\text{विस्थापित पद})$ वाली असमानता प्रदान करता है, जो $m$ के खोज स्थान को नाटकीय रूप से कम कर देता है।
कम्प्यूटेशनल सत्यापन (Computational Verification): एक बार जब $m$ के लिए सीमाएं छोटे स्थिरांकों (विशेष रूप से पाडोवन के लिए $m \leq 56$ और पेरिन के लिए $m \leq 51$ ) तक कम हो जाती हैं, तो लेखक कम किए गए क्षेत्रों के भीतर समाधानों की जाँच करने के लिए SageMath का उपयोग करके एक व्यापक कम्प्यूटेशनल खोज करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम
यह शोध पत्र इन विशिष्ट अनुक्रमों में वुडाल और कलन संख्याओं से संबंधित दो खुले प्रश्नों का पूर्ण समाधान प्रदान करता है:

प्रमेय 1.1: पाडोवन अनुक्रम में एकमात्र वुडाल संख्याएँ 1 और 7 हैं।
- उपप्रमेय 1.2: फलस्वरूप, पाडोवन अनुक्रम में एकमात्र वुडाल अभाज्य (prime) 7 है।
प्रमेय 1.3: पेरिन अनुक्रम में एकमात्र कलन संख्या 3 है।
- उपप्रमेय 1.4: फलस्वरूप, पेरिन अनुक्रम में एकमात्र कलन अभाज्य 3 है।

प्रमाण विस्थापित अनुक्रमों $P_n + 1$ और $R_n - 1$ के 2-एडिक मूल्यांकनों के विशिष्ट गुणों पर निर्भर करते हैं। उल्लेखनीय रूप से, लेखकों ने इन विस्थापित अनुक्रमों के लिए गैर-तर्कसंगत (non-rational) 2-एडिक शून्य की पहचान की, जिसने अपवाद संबंधी अवशेष वर्गों के लिए एल्गोरिथम दृष्टिकोण को आवश्यक बना दिया।

महत्व और दावे
लेखक इस कार्य को ब्रेवो और इर्माक [4] द्वारा शुरू किए गए अनुसंधान के स्वाभाविक पूर्णता के रूप में प्रस्तुत करते हैं। इन विशिष्ट मामलों के पूरक सेटों को निर्धारित करके, यह शोध पत्र वुडाल और कलन संख्याओं का इन पाडोवन और पेरिन अनुक्रमों के साथ प्रतिच्छेदन को पूरी तरह से चित्रित करता है।

इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

पूर्णता: यह इन विशिष्ट क्रम-3 रैखिक पुनरावृत्ति अनुक्रमों के लिए शेष खुले मामलों को हल करता है।
कार्यप्रणाली का परिशोधन: यह शोध पत्र केवल अनुक्रमों के बजाय विस्थापित अनुक्रमों ( $P_n+1$ और $R_n-1$ ) के 2-एडिक मूल्यांकनों के विश्लेषण की आवश्यकता को प्रदर्शित करता है, जो विशिष्ट प्रारंभिक स्थितियों और लक्षित संख्याओं के रूप ( $m \cdot 2^m \pm 1$ ) द्वारा उत्पन्न जटिलता को उजागर करता है।
एल्गोरिथम अनुप्रयोग: यह कार्य अपवाद संबंधी अवशेष वर्गों में 2-एडिक मूल्यांकनों की गणना के लिए एल्गोरिदम का उपयोग और परिशोधन करता है, जो इन अनुक्रमों के लिए गैर-तर्कसंगत 2-एडिक शून्य के स्पष्ट सन्निकटन प्रदान करता है।

यह शोध पत्र इन विशिष्ट डायोफेंटाइन समस्याओं से परे व्यापक अनुप्रयोगों का दावा नहीं करता है, बल्कि घातांकीय डायोफेंटाइन समीकरणों और रैखिक पुनरावृत्ति अनुक्रमों के प्रतिच्छेदन पर बढ़ते साहित्य में योगदान देता है।

रहस्य सुलझ गया

उन्होंने इसे कैसे हल किया?

निचोड़

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