🔢 mathematics

Cullen and Woodall numbers in Padovan and Perrin sequences

Este artículo identifica todas las intersecciones entre los números de Cullen y Woodall y las sucesiones de Padovan y Perrin, demostrando que 1 y 7 son los únicos números de Woodall en la sucesión de Padovan, mientras que 3 es el único número de Cullen en la sucesión de Perrin.

Autores originales: Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

Publicado 2026-05-25

📖 4 min de lectura🧠 Análisis profundo

CC BY 4.0

Autores originales: Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que eres un detective tratando de encontrar tesoros ocultos en dos líneas numéricas muy largas y misteriosas. Estas líneas numéricas se llaman la sucesión de Padovan y la sucesión de Perrin. Se generan mediante una regla simple: para obtener el siguiente número, sumas el número de dos pasos atrás al número de tres pasos atrás. Es como un juego de sillas musicales donde los números se van reorganizando según un ritmo estricto.

Al otro lado de la habitación, tienes dos bolsas especiales de "monedas de tesoro".

Las monedas de Woodall tienen la forma $m \cdot 2^m - 1$ .
Las monedas de Cullen tienen la forma $m \cdot 2^m + 1$ .

Estas monedas crecen increíblemente rápido, duplicando y duplicando su tamaño. La gran pregunta que se plantearon los autores de este artículo fue: "¿Alguna vez alguna de estas monedas especiales cae exactamente en un punto de las líneas numéricas de Padovan o de Perrin?"

El misterio resuelto

Los autores, actuando como detectives matemáticos, salieron a cazar para encontrar cada coincidencia individual. Esto es lo que descubrieron:

En la sucesión de Padovan (La caza de Woodall):
Buscaron monedas de Woodall ( $m \cdot 2^m - 1$ ) escondidas en la línea de Padovan.
- El resultado: Solo encontraron dos coincidencias. El número 1 (que es un número de Woodall cuando $m=1$ ) y el número 7 (que es un número de Woodall cuando $m=2$ ).
- La conclusión: Ninguna otra moneda de Woodall encaja en la línea de Padovan. Si sigues contando para siempre, nunca encontrarás otra.
En la sucesión de Perrin (La caza de Cullen):
Buscaron monedas de Cullen ( $m \cdot 2^m + 1$ ) escondidas en la línea de Perrin.
- El resultado: Solo encontraron una coincidencia. El número 3 (que es un número de Cullen cuando $m=1$ ).
- La conclusión: Ninguna otra moneda de Cullen encaja en la línea de Perrin.

¿Cómo lo resolvieron?

Podrías preguntarte: "¿Cómo se verifica una línea numérica infinita?". No puedes simplemente contar para siempre. Los autores utilizaron una estrategia astuta de dos pasos, como un detective que reduce una lista de sospechosos.

Paso 1: La "lupa" (Formas lineales en logaritmos)
Primero, utilizaron una poderosa herramienta matemática (la teoría de Baker) que actúa como una superlupa. Esta herramienta les permitió demostrar que, si existiera una coincidencia, no podría estar demasiado lejos. Estableció un "techo" sobre lo grandes que podían ser los números.

Analogía: Imagina que demostraron que, si existe un tesoro, debe estar enterrado en algún lugar dentro de las primeras 500 millones de millas de la línea numérica, en lugar de estar perdido en el universo infinito. Esto redujo el problema de "infinito" a "muy grande pero finito".

Paso 2: El "escáner de huellas dactilares" (Valoración 2-ádica)
Incluso con el techo establecido, 500 millones sigue siendo demasiado para verificar a mano. Así que utilizaron una segunda herramienta llamada valoración 2-ádica. Piensa en esto como un escáner de huellas dactilares que observa cuántas veces un número puede ser dividido por 2.

Los números de Padovan y Perrin tienen "huellas dactilares" muy específicas y predecibles en cuanto a cuántas veces pueden ser divididos por 2.
Los números de Woodall y Cullen tienen sus propias huellas dactilares únicas.
Los autores se dieron cuenta de que, para que ocurra una coincidencia, las huellas dactilares debían alinearse perfectamente. Al analizar estos patrones, se dieron cuenta de que, para la mayoría de los números, las huellas dactilares simplemente no coinciden.
Analogía: Es como intentar encajar un clavo cuadrado en un agujero redondo. Demostraron que, para casi todos los números, el "clavo cuadrado" (el número de Woodall/Cullen) tiene la forma incorrecta para encajar en el "agujero redondo" (el número de Padovan/Perrin).

Paso 3: El barrido final (Verificación por computadora)
Después de usar las matemáticas para reducir el área de búsqueda a un tamaño pequeño y manejable (verificando números hasta aproximadamente 56 para Woodall y 51 para Cullen), dejaron que una computadora hiciera el trabajo final. La computadora verificó cada posibilidad restante y confirmó: No existen otras coincidencias.

La conclusión

El artículo es un "caso cerrado" definitivo.

Números de Woodall en Padovan: Solo 1 y 7.
Números de Cullen en Perrin: Solo 3.

Los autores no solo adivinaron; utilizaron una profunda teoría matemática para descartar las posibilidades infinitas y luego usaron una computadora para verificar los pequeños restos. Demostraron que estas sucesiones son como dos idiomas diferentes que rara vez, si es que alguna vez, hablan la misma palabra.

Resumen Técnico: Números de Cullen y Woodall en las Sucesiones de Padovan y Perrin

Enunciado del Problema
Este artículo aborda la intersección de dos clases específicas de números diofánticos exponenciales con sucesiones de recurrencia lineal. Específicamente, los autores investigan la presencia de números de Woodall (enteros de la forma $W_m = m \cdot 2^m - 1$ ) dentro de la sucesión de Padovan $\{P_n\}$ , y de números de Cullen (enteros de la forma $C_m = m \cdot 2^m + 1$ ) dentro de la sucesión de Perrin $\{R_n\}$ .

Las sucesiones de Padovan y Perrin están definidas ambas por la relación de recurrencia $U_{n+3} = U_{n+1} + U_n$ , pero con condiciones iniciales distintas:

Padovan: $P_0 = P_1 = P_2 = 1$ .
Perrin: $R_0 = 3, R_1 = 0, R_2 = 2$ .

Mientras que trabajos anteriores de Bravo e Irmak [4] habían determinado los números de Cullen en la sucesión de Padovan y los números de Woodall en la sucesión de Perrin, los casos complementarios (Woodall en Padovan, Cullen en Perrin) permanecían abiertos. Los autores tienen como objetivo resolver completamente estos casos restantes.

Metodología
La estrategia de prueba sigue un marco estándar para resolver ecuaciones diofánticas en sucesiones de recurrencia lineal, combinando la teoría de números analítica con la verificación computacional:

Análisis de Forma Cerrada: Los autores utilizan fórmulas de tipo Binet para ambas sucesiones, expresando los términos como combinaciones lineales de potencias de las raíces del polinomio característico $\phi(X) = X^3 - X - 1$ . Esto permite estimaciones de crecimiento y la derivación de desigualdades que acotan los índices $n$ y $m$ .
Formas Lineales en Logaritmos: Para establecer una cota superior absoluta para la variable $m$ , los autores aplican el teorema de Matveev sobre formas lineales en tres logaritmos de números algebraicos. Mediante la construcción de una forma lineal $\Lambda$ que involucra $\log 2$ , $\log \alpha$ (donde $\alpha$ es la raíz real de $\phi(X)$ ) y $\log m$ , derivan una cota inferior para $|\Lambda|$ . Al comparar esta con una cota superior derivada del crecimiento de la recurrencia, obtienen una cota superior inicial, aunque grande, para $m$ (aproximadamente $5.6 \times 10^{14}$ para el caso de Padovan y $5.4 \times 10^{14}$ para el caso de Perrin).
Análisis de la Valoración 2-ádica: Para reducir las masivas cotas obtenidas del teorema de Matveev a un rango computacionalmente factible, los autores realizan un análisis detallado de la valoración 2-ádica ( $\nu_2$ $ν_{2}$ ) de las sucesiones desplazadas $\{P_n + 1\}$ ${P_{n} + 1}$ y $\{R_n - 1\}$ ${R_{n} - 1}$ .
- Establecen fórmulas explícitas para $\nu_2(P_n + 1)$ y $\nu_2(R_n - 1)$ basadas en el residuo de $n$ módulo enteros específicos (por ejemplo, 112 para Padovan, 14 para Perrin).
- Para las clases de residuos "excepcionales" donde no existe una expresión cerrada uniforme, emplean un algoritmo voraz basado en recurrencias de duplicación (Lemas 2.10 y 2.11) para calcular la valoración máxima posible para $n$ dentro de las cotas previamente establecidas.
- Este análisis produce la desigualdad $m \leq \nu_2(\text{término desplazado})$ , lo que reduce drásticamente el espacio de búsqueda para $m$ .
Verificación Computacional: Una vez que las cotas para $m$ se reducen a constantes pequeñas (específicamente $m \leq 56$ para Padovan y $m \leq 51$ para Perrin), los autores realizan una búsqueda computacional exhaustiva utilizando SageMath para verificar la existencia de soluciones dentro de los rangos reducidos.

Contribuciones y Resultados Clave
El artículo proporciona soluciones completas a los dos problemas abiertos relativos a los números de Woodall y Cullen en estas sucesiones específicas:

Teorema 1.1: Los únicos números de Woodall en la sucesión de Padovan son 1 y 7.
- Corolario 1.2: En consecuencia, el único número primo de Woodall en la sucesión de Padovan es 7.
Teorema 1.3: El único número de Cullen en la sucesión de Perrin es 3.
- Corolario 1.4: En consecuencia, el único número primo de Cullen en la sucesión de Perrin es 3.

Las pruebas se basan en las propiedades específicas de las valoraciones 2-ádicas de $P_n + 1$ y $R_n - 1$ . Cabe destacar que los autores identifican ceros 2-ádicos no racionales para estas sucesiones desplazadas, lo que requirió un enfoque algorítmico para las clases de residuos excepcionales.

Significado y Afirmaciones
Los autores presentan este trabajo como la conclusión natural de la investigación iniciada por Bravo e Irmak [4]. Al determinar los conjuntos complementarios de números, el artículo caracteriza completamente la intersección de los números de Woodall y Cullen con las sucesiones de Padovan y Perrin.

El significado radica en:

Completitud: Resuelve los casos abiertos restantes para estas sucesiones de recurrencia lineal de orden 3 específicas.
Refinamiento Metodológico: El artículo demuestra la necesidad de analizar las valoraciones 2-ádicas de las sucesiones desplazadas ( $P_n+1$ y $R_n-1$ ) en lugar de las sucesiones mismas, destacando la complejidad introducida por las condiciones iniciales específicas y la forma de los números objetivo ( $m \cdot 2^m \pm 1$ ).
Aplicación Algorítmica: El trabajo utiliza y refina algoritmos para calcular valoraciones 2-ádicas en clases de residuos excepcionales, proporcionando aproximaciones explícitas de ceros 2-ádicos no racionales para estas sucesiones.

El artículo no afirma aplicaciones más amplias más allá de los problemas diofánticos específicos abordados, pero contribuye al creciente cuerpo de literatura sobre la intersección de ecuaciones diofánticas exponenciales y sucesiones de recurrencia lineal.

El misterio resuelto

¿Cómo lo resolvieron?

La conclusión

Más como este