🔢 mathematics

Cullen and Woodall numbers in Padovan and Perrin sequences

Dit artikel identificeert alle snijpunten tussen Cullen- en Woodall-getallen en de Padovan- en Perrin-rijen, en bewijst dat 1 en 7 de enige Woodall-getallen in de Padovan-rij zijn, terwijl 3 het enige Cullen-getal in de Perrin-rij is.

Oorspronkelijke auteurs: Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

Gepubliceerd 2026-05-25

📖 4 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een detective bent die probeert verborgen schatten te vinden in twee zeer lange, mysterieuze getallenlijnen. Deze getallenlijnen heten het Padovan-rij en het Perrin-rij. Ze worden gegenereerd door een eenvoudige regel: om het volgende getal te krijgen, tel je het getal van twee stappen terug op bij het getal van drie stappen terug. Het is als een spelletje stoelendans waarbij de getallen zich volgens een strikt ritme blijven herschikken.

Aan de andere kant van de kamer heb je twee speciale zakken met "schattengeld".

Woodall-munten hebben de vorm $m \cdot 2^m - 1$ .
Cullen-munten hebben de vorm $m \cdot 2^m + 1$ .

Deze munten groeien ongelooflijk snel, verdubbelend en verdubbelend in grootte. De grote vraag die de auteurs van dit artikel stelden, was: "Valt er ooit een van deze speciale munten precies op een plek in de Padovan- of Perrin-getallenlijnen?"

De mysterie opgelost

De auteurs, optredend als wiskundige detectives, gingen op jacht om elke enkele match te vinden. Dit is wat ze vonden:

In de Padovan-rij (De Woodall-jacht):
Ze zochten naar Woodall-munten ( $m \cdot 2^m - 1$ ) die zich verstopten in de Padovan-lijn.
- Het resultaat: Ze vonden slechts twee matches. Het getal 1 (wat een Woodall-getal is wanneer $m=1$ ) en het getal 7 (wat een Woodall-getal is wanneer $m=2$ ).
- De conclusie: Geen enkele andere Woodall-munt past in de Padovan-lijn. Als je blijft tellen tot in het oneindige, zul je er nooit nog een vinden.
In de Perrin-rij (De Cullen-jacht):
Ze zochten naar Cullen-munten ( $m \cdot 2^m + 1$ ) die zich verstopten in de Perrin-lijn.
- Het resultaat: Ze vonden slechts één match. Het getal 3 (wat een Cullen-getal is wanneer $m=1$ ).
- De conclusie: Geen enkele andere Cullen-munt past in de Perrin-lijn.

Hoe hebben ze het opgelost?

Je zou je kunnen afvragen: "Hoe controleer je een oneindige getallenlijn?" Je kunt niet eindeloos blijven tellen. De auteurs gebruikten een slimme tweestapsstrategie, als een detective die een lijst met verdachten inperkt.

Stap 1: De "loep" (Lineaire vormen in logaritmen)
Eerst gebruikten ze een krachtig wiskundig hulpmiddel (Bakers theorie) dat fungeert als een super-loep. Dit hulpmiddel stelde hen in staat om te bewijzen dat, als er een match bestond, deze niet te ver weg kon liggen. Het bepaalde een "plafond" voor hoe groot de getallen konden zijn.

Vergelijking: Stel je voor dat ze bewezen hebben dat als er een schat bestaat, deze ergens begraven moet liggen binnen de eerste 500 miljoen mijl van de getallenlijn, in plaats van verloren te zijn in het oneindige universum. Dit reduceerde het probleem van "oneindig" naar "zeer groot maar eindig".

Stap 2: De "vingerafdrukscanner" (2-adische waardering)
Zelfs met het ingestelde plafond is 500 miljoen nog steeds te veel om met de hand te controleren. Daarom gebruikten ze een tweede hulpmiddel genaamd 2-adische waardering. Denk hierbij aan een vingerafdrukscanner die kijkt hoe vaak een getal door 2 kan worden gedeeld.

De Padovan- en Perrin-getallen hebben zeer specifieke, voorspelbare "vingerafdrukken" met betrekking tot hoe vaak ze door 2 kunnen worden gedeeld.
De Woodall- en Cullen-getallen hebben hun eigen unieke vingerafdrukken.
De auteurs realiseerden zich dat voor een match de vingerafdrukken perfect op elkaar moesten aansluiten. Door deze patronen te analyseren, beseften ze dat voor de meeste getallen de vingerafdrukken simpelweg niet overeenkomen.
Vergelijking: Het is als proberen een vierkante pen in een rond gat te steken. Ze bewezen dat voor bijna alle getallen de "vierkante pen" (het Woodall/Cullen-getal) de verkeerde vorm heeft om in het "ronde gat" (het Padovan/Perrin-getal) te passen.

Stap 3: De definitieve afstraling (Computercontrole)
Nadat ze met de wiskunde het zoekgebied hadden verkleind tot een klein, beheersbaar formaat (het controleren van getallen tot ongeveer 56 voor Woodall en 51 voor Cullen), lieten ze een computer het laatste werk doen. De computer controleerde elke enkele overgebleven mogelijkheid en bevestigde: Er bestaan geen andere matches.

De bottom line

Het artikel is een definitief "gesloten dossier".

Woodall-getallen in Padovan: Alleen 1 en 7.
Cullen-getallen in Perrin: Alleen 3.

De auteurs hebben niet zomaar gegokt; ze gebruikten diepe wiskundige theorie om de oneindige mogelijkheden uit te sluiten en gebruikten vervolgens een computer om de kleine overblijfselen te verifiëren. Ze bewezen dat deze rijen als twee verschillende talen zijn die zelden, zo niet nooit, hetzelfde woord spreken.

Technische Samenvatting: Cullen- en Woodall-getallen in Padovan- en Perrin-rijen

Probleemstelling
Dit artikel behandelt de intersectie van twee specifieke klassen van exponentiële Diophantische getallen met lineaire recurrente rijen. Specifiek onderzoeken de auteurs het voorkomen van Woodall-getallen (gehele getallen van de vorm $W_m = m \cdot 2^m - 1$ ) binnen de Padovan-rij $\{P_n\}$ , en Cullen-getallen (gehele getallen van de vorm $C_m = m \cdot 2^m + 1$ ) binnen de Perrin-rij $\{R_n\}$ .

De Padovan- en Perrin-rijen worden beide gedefinieerd door de recurrente relatie $U_{n+3} = U_{n+1} + U_n$ , maar met verschillende beginvoorwaarden:

Padovan: $P_0 = P_1 = P_2 = 1$ .
Perrin: $R_0 = 3, R_1 = 0, R_2 = 2$ .

Hoewel eerdere werken van Bravo en Irmak [4] de Cullen-getallen in de Padovan-rij en de Woodall-getallen in de Perrin-rij hadden bepaald, bleven de complementaire gevallen (Woodall in Padovan, Cullen in Perrin) open. De auteurs beogen deze resterende gevallen volledig op te lossen.

Methodologie
De bewijsstrategie volgt een standaardkader voor het oplossen van Diophantische vergelijkingen in lineaire recurrente rijen, waarbij analytische getaltheorie wordt gecombineerd met computationele verificatie:

Analyse van gesloten vormen: De auteurs maken gebruik van Binet-achtige formules voor beide rijen, waarbij termen worden uitgedrukt als lineaire combinaties van machten van de wortels van het karakteristieke polynoom $\phi(X) = X^3 - X - 1$ . Dit maakt schattingen van de groei mogelijk en leidt tot ongelijkheden die de indices $n$ en $m$ begrenzen.
Lineaire vormen in logaritmen: Om een absolute bovengrens voor de variabele $m$ vast te stellen, passen de auteurs Matveev's stelling toe op lineaire vormen in drie logaritmen van algebraïsche getallen. Door een lineaire vorm $\Lambda$ te construeren die $\log 2$ , $\log \alpha$ (waarbij $\alpha$ de reële wortel is van $\phi(X)$ ) en $\log m$ bevat, leiden ze een ondergrens voor $|\Lambda|$ af. Het vergelijken hiervan met een bovengrens die voortvloeit uit de groeirecurrentie, leidt tot een initiële, zij het grote, bovengrens voor $m$ (ongeveer $5.6 \times 10^{14}$ voor het Padovan-geval en $5.4 \times 10^{14}$ voor het Perrin-geval).
Analyse van 2-adische waardes: Om de enorme grenzen die uit Matveev's stelling voortkomen te reduceren tot een computationeel haalbaar bereik, voeren de auteurs een gedetailleerde analyse uit van de 2-adische waarde ( $\nu_2$ $ν_{2}$ ) van de verschoven rijen $\{P_n + 1\}$ ${P_{n} + 1}$ en $\{R_n - 1\}$ ${R_{n} - 1}$ .
- Ze stellen expliciete formules op voor $\nu_2(P_n + 1)$ en $\nu_2(R_n - 1)$ op basis van de rest van $n$ modulo specifieke gehele getallen (bijvoorbeeld 112 voor Padovan, 14 voor Perrin).
- Voor "uitzonderlijke" restklassen waarvoor geen uniforme gesloten vorm bestaat, maken ze gebruik van een gulzig algoritme gebaseerd op verdubbelingsrecurrenties (Lemma's 2.10 en 2.11) om de maximale mogelijke waarde voor $n$ binnen de eerder vastgestelde grenzen te berekenen.
- Deze analyse levert de ongelijkheid $m \leq \nu_2(\text{verschoven term})$ op, wat de zoekruimte voor $m$ drastisch verkleint.
Computationele verificatie: Zodra de grenzen voor $m$ zijn gereduceerd tot kleine constanten (specifiek $m \leq 56$ voor Padovan en $m \leq 51$ voor Perrin), voeren de auteurs een exhaustieve computationele zoektocht uit met SageMath om oplossingen binnen de gereduceerde bereiken te controleren.

Belangrijkste bijdragen en resultaten
Het artikel biedt volledige oplossingen voor de twee open problemen betreffende Woodall- en Cullen-getallen in deze specifieke rijen:

Stelling 1.1: De enige Woodall-getallen in de Padovan-rij zijn 1 en 7.
- Corollarium 1.2: Bijgevolg is het enige Woodall- priemgetal in de Padovan-rij 7.
Stelling 1.3: Het enige Cullen-getal in de Perrin-rij is 3.
- Corollarium 1.4: Bijgevolg is het enige Cullen- priemgetal in de Perrin-rij 3.

De bewijzen berusten op de specifieke eigenschappen van de 2-adische waardes van $P_n + 1$ en $R_n - 1$ . Opmerkelijk is dat de auteurs niet-rationale 2-adische nulpunten voor deze verschoven rijen identificeren, wat de algoritmische aanpak voor de uitzonderlijke restklassen noodzakelijk maakte.

Betekenis en claims
De auteurs positioneren dit werk als de natuurlijke voltooiing van het onderzoek dat werd gestart door Bravo en Irmak [4]. Door de complementaire verzamelingen getallen te bepalen, karakteriseert het artikel volledig de intersectie van Woodall- en Cullen-getallen met de Padovan- en Perrin-rijen.

De betekenis ligt in:

Volledigheid: Het lost de resterende open gevallen op voor deze specifieke lineaire recurrente rijen van orde 3.
Methodologische verfijning: Het artikel toont de noodzaak aan van het analyseren van de 2-adische waardes van verschoven rijen ( $P_n+1$ en $R_n-1$ ) in plaats van de rijen zelf, en benadrukt de complexiteit die wordt geïntroduceerd door de specifieke beginvoorwaarden en de vorm van de doelgetallen ( $m \cdot 2^m \pm 1$ ).
Algoritmische toepassing: Het werk maakt gebruik van en verfijnt algoritmen voor het berekenen van 2-adische waardes in uitzonderlijke restklassen, en biedt expliciete benaderingen van niet-rationale 2-adische nulpunten voor deze rijen.

Het artikel claimt geen bredere toepassingen buiten de specifieke Diophantische problemen die worden behandeld, maar draagt bij aan de groeiende literatuur over de intersectie van exponentiële Diophantische vergelijkingen en lineaire recurrente rijen.

De mysterie opgelost

Hoe hebben ze het opgelost?

De bottom line

Meer zoals dit