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Cullen and Woodall numbers in Padovan and Perrin sequences

Dieser Artikel identifiziert alle Schnittmengen zwischen Cullen- und Woodall-Zahlen sowie den Padovan- und Perrin-Folgen und beweist, dass 1 und 7 die einzigen Woodall-Zahlen in der Padovan-Folge sind, während 3 die einzige Cullen-Zahl in der Perrin-Folge ist.

Ursprüngliche Autoren: Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

Veröffentlicht 2026-05-25

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Detektiv, der versucht, versteckte Schätze in zwei sehr langen, mysteriösen Zahlenreihen zu finden. Diese Zahlenreihen heißen die Padovan-Folge und die Perrin-Folge. Sie werden durch eine einfache Regel erzeugt: Um die nächste Zahl zu erhalten, addieren Sie die Zahl von zwei Schritten zurück zur Zahl von drei Schritten zurück. Es ist wie ein Spiel von Stuhltanz, bei dem sich die Zahlen gemäß einem strengen Rhythmus ständig neu anordnen.

Auf der anderen Seite des Raums haben Sie zwei spezielle Beutel mit „Schatzmünzen".

Woodall-Münzen haben die Form $m \cdot 2^m - 1$ .
Cullen-Münzen haben die Form $m \cdot 2^m + 1$ .

Diese Münzen wachsen unglaublich schnell und verdoppeln immer wieder ihre Größe. Die große Frage, die die Autoren dieses Papiers stellten, lautete: „Landet eine dieser speziellen Münzen jemals exakt auf einer Stelle in der Padovan- oder Perrin-Zahlenreihe?"

Der Fall ist gelöst

Die Autoren, die als mathematische Detektive agierten, gingen auf die Jagd, um jede einzelne Übereinstimmung zu finden. Hier ist, was sie herausfanden:

In der Padovan-Folge (Die Woodall-Jagd):
Sie suchten nach Woodall-Münzen ( $m \cdot 2^m - 1$ ), die sich in der Padovan-Reihe verstecken.
- Das Ergebnis: Sie fanden nur zwei Übereinstimmungen. Die Zahl 1 (die eine Woodall-Zahl ist, wenn $m=1$ ) und die Zahl 7 (die eine Woodall-Zahl ist, wenn $m=2$ ).
- Die Schlussfolgerung: Keine anderen Woodall-Münzen passen in die Padovan-Reihe. Wenn Sie ewig weiterzählen, werden Sie nie wieder eine finden.
In der Perrin-Folge (Die Cullen-Jagd):
Sie suchten nach Cullen-Münzen ( $m \cdot 2^m + 1$ ), die sich in der Perrin-Reihe verstecken.
- Das Ergebnis: Sie fanden nur eine Übereinstimmung. Die Zahl 3 (die eine Cullen-Zahl ist, wenn $m=1$ ).
- Die Schlussfolgerung: Keine anderen Cullen-Münzen passen in die Perrin-Reihe.

Wie haben sie es gelöst?

Sie fragen sich vielleicht: „Wie überprüft man eine unendliche Zahlenreihe?" Man kann nicht einfach ewig weiterzählen. Die Autoren verwendeten eine clevere Zweistufen-Strategie, wie ein Detektiv, der eine Verdächtigtenliste eingrenzt.

Schritt 1: Die „Lupe" (Lineare Formen in Logarithmen)
Zuerst verwendeten sie ein mächtiges mathematisches Werkzeug (Bakers Theorie), das wie eine Super-Lupe wirkt. Dieses Werkzeug ermöglichte es ihnen zu beweisen, dass, falls eine Übereinstimmung existiert, sie nicht zu weit draußen liegen konnte. Es setzte eine „Obergrenze" dafür, wie groß die Zahlen sein konnten.

Analogie: Stellen Sie sich vor, sie bewiesen, dass ein Schatz, falls er existiert, irgendwo innerhalb der ersten 500 Millionen Meilen der Zahlenreihe vergraben sein muss, anstatt im unendlichen Universum verloren zu gehen. Dies reduzierte das Problem von „unendlich" auf „sehr groß, aber endlich".

Schritt 2: Der „Fingerabdruck-Scanner" (2-adische Bewertung)
Selbst mit der gesetzten Obergrenze sind 500 Millionen immer noch zu viele, um sie von Hand zu überprüfen. Also verwendeten sie ein zweites Werkzeug namens 2-adische Bewertung. Stellen Sie sich dies als einen Fingerabdruck-Scanner vor, der prüft, wie oft eine Zahl durch 2 teilbar ist.

Die Padovan- und Perrin-Zahlen haben sehr spezifische, vorhersagbare „Fingerabdrücke" bezüglich der Anzahl der Male, durch die sie durch 2 teilbar sind.
Die Woodall- und Cullen-Zahlen haben ihre eigenen einzigartigen Fingerabdrücke.
Die Autoren erkannten, dass für eine Übereinstimmung die Fingerabdrücke perfekt übereinstimmen mussten. Durch die Analyse dieser Muster erkannten sie, dass für die meisten Zahlen die Fingerabdrücke einfach nicht übereinstimmen.
Analogie: Es ist wie der Versuch, einen quadratischen Pfosten in ein rundes Loch zu stecken. Sie bewiesen, dass für fast alle Zahlen der „quadratische Pfosten" (die Woodall-/Cullen-Zahl) die falsche Form hat, um in das „runde Loch" (die Padovan-/Perrin-Zahl) zu passen.

Schritt 3: Die endgültige Durchsuchung (Computerprüfung)
Nachdem sie mit Hilfe der Mathematik den Suchbereich auf eine winzige, handhabbare Größe reduziert hatten (Überprüfung von Zahlen bis etwa 56 für Woodall und 51 für Cullen), ließen sie einen Computer die letzte Arbeit verrichten. Der Computer überprüfte jede einzelne verbleibende Möglichkeit und bestätigte: Es existieren keine weiteren Übereinstimmungen.

Das Fazit

Das Papier ist ein endgültiger „abgeschlossener Fall".

Woodall-Zahlen in Padovan: Nur 1 und 7.
Cullen-Zahlen in Perrin: Nur 3.

Die Autoren haben nicht nur geraten; sie verwendeten tiefe mathematische Theorien, um die unendlichen Möglichkeiten auszuschließen, und nutzten dann einen Computer, um die kleinen Reste zu verifizieren. Sie bewiesen, dass diese Folgen wie zwei verschiedene Sprachen sind, die selten, wenn überhaupt, dasselbe Wort sprechen.

Technische Zusammenfassung: Cullen- und Woodall-Zahlen in Padovan- und Perrin-Folgen

Problemstellung
Dieser Beitrag behandelt den Schnitt zweier spezifischer Klassen exponentieller diophantischer Zahlen mit linearen Rekurrenzfolgen. Konkret untersuchen die Autoren das Vorkommen von Woodall-Zahlen (ganze Zahlen der Form $W_m = m \cdot 2^m - 1$ ) innerhalb der Padovan-Folge $\{P_n\}$ sowie von Cullen-Zahlen (ganze Zahlen der Form $C_m = m \cdot 2^m + 1$ ) innerhalb der Perrin-Folge $\{R_n\}$ .

Die Padovan- und Perrin-Folgen sind beide durch die Rekursionsgleichung $U_{n+3} = U_{n+1} + U_n$ definiert, jedoch mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen:

Padovan: $P_0 = P_1 = P_2 = 1$ .
Perrin: $R_0 = 3, R_1 = 0, R_2 = 2$ .

Während frühere Arbeiten von Bravo und Irmak [4] die Cullen-Zahlen in der Padovan-Folge und die Woodall-Zahlen in der Perrin-Folge bestimmt hatten, blieben die komplementären Fälle (Woodall in Padovan, Cullen in Perrin) offen. Die Autoren zielen darauf ab, diese verbleibenden Fälle vollständig zu lösen.

Methodik
Die Beweisstrategie folgt einem Standardrahmen zur Lösung diophantischer Gleichungen in linearen Rekurrenzfolgen und kombiniert analytische Zahlentheorie mit rechnergestützter Verifikation:

Analyse der geschlossenen Form: Die Autoren nutzen Binet-artige Formeln für beide Folgen, wobei sie die Terme als Linearkombinationen von Potenzen der Wurzeln des charakteristischen Polynoms $\phi(X) = X^3 - X - 1$ ausdrücken. Dies ermöglicht Abschätzungen des Wachstums und die Herleitung von Ungleichungen, die die Indizes $n$ und $m$ beschränken.
Lineare Formen in Logarithmen: Um eine absolute obere Schranke für die Variable $m$ zu etablieren, wenden die Autoren den Satz von Matveev über lineare Formen in drei Logarithmen algebraischer Zahlen an. Durch die Konstruktion einer linearen Form $\Lambda$ , die $\log 2$ , $\log \alpha$ (wobei $\alpha$ die reelle Nullstelle von $\phi(X)$ ist) und $\log m$ enthält, leiten sie eine untere Schranke für $|\Lambda|$ ab. Der Vergleich dieser mit einer oberen Schranke, die aus dem Rekursionswachstum abgeleitet wird, führt zu einer anfänglichen, wenn auch großen, oberen Schranke für $m$ (ungefähr $5,6 \times 10^{14}$ für den Padovan-Fall und $5,4 \times 10^{14}$ für den Perrin-Fall).
Analyse der 2-adischen Bewertung: Um die massiven Schranken, die aus dem Satz von Matveev resultieren, auf einen rechnerisch machbaren Bereich zu reduzieren, führen die Autoren eine detaillierte Analyse der 2-adischen Bewertung ( $\nu_2$ $ν_{2}$ ) der verschobenen Folgen $\{P_n + 1\}$ ${P_{n} + 1}$ und $\{R_n - 1\}$ ${R_{n} - 1}$ durch.
- Sie stellen explizite Formeln für $\nu_2(P_n + 1)$ und $\nu_2(R_n - 1)$ auf, basierend auf dem Rest von $n$ modulo spezifischer ganzer Zahlen (z. B. 112 für Padovan, 14 für Perrin).
- Für „ausgezeichnete" Restklassen, für die kein einheitlicher geschlossener Ausdruck existiert, wenden sie einen Greedy-Algorithmus basierend auf Verdopplungsrekurrenzen (Lemma 2.10 und 2.11) an, um die maximal mögliche Bewertung für $n$ innerhalb der zuvor etablierten Schranken zu berechnen.
- Diese Analyse liefert die Ungleichung $m \leq \nu_2(\text{verschobener Term})$ , was den Suchraum für $m$ drastisch reduziert.
Rechnergestützte Verifikation: Sobald die Schranken für $m$ auf kleine Konstanten reduziert wurden (spezifisch $m \leq 56$ für Padovan und $m \leq 51$ für Perrin), führen die Autoren eine exhaustive rechnergestützte Suche mit SageMath durch, um Lösungen innerhalb der reduzierten Bereiche zu überprüfen.

Hauptbeiträge und Ergebnisse
Der Beitrag liefert vollständige Lösungen für die beiden offenen Probleme bezüglich Woodall- und Cullen-Zahlen in diesen spezifischen Folgen:

Satz 1.1: Die einzigen Woodall-Zahlen in der Padovan-Folge sind 1 und 7.
- Korollar 1.2: Folglich ist die einzige Woodall-Primzahl in der Padovan-Folge 7.
Satz 1.3: Die einzige Cullen-Zahl in der Perrin-Folge ist 3.
- Korollar 1.4: Folglich ist die einzige Cullen-Primzahl in der Perrin-Folge 3.

Die Beweise stützen sich auf die spezifischen Eigenschaften der 2-adischen Bewertungen von $P_n + 1$ und $R_n - 1$ . Bemerkenswert ist, dass die Autoren nicht-rationale 2-adische Nullstellen für diese verschobenen Folgen identifizieren, was den algorithmischen Ansatz für die ausgezeichneten Restklassen erforderlich machte.

Bedeutung und Behauptungen
Die Autoren positionieren diese Arbeit als natürliche Vervollständigung der von Bravo und Irmak [4] eingeleiteten Forschung. Durch die Bestimmung der komplementären Mengen von Zahlen charakterisiert der Beitrag den Schnitt von Woodall- und Cullen-Zahlen mit den Padovan- und Perrin-Folgen vollständig.

Die Bedeutung liegt in:

Vollständigkeit: Es werden die verbleibenden offenen Fälle für diese spezifischen linearen Rekurrenzfolgen der Ordnung 3 gelöst.
Methodische Verfeinerung: Der Beitrag demonstriert die Notwendigkeit, die 2-adischen Bewertungen der verschobenen Folgen ( $P_n+1$ und $R_n-1$ ) anstelle der Folgen selbst zu analysieren, und hebt die Komplexität hervor, die durch die spezifischen Anfangsbedingungen und die Form der Zielzahlen ( $m \cdot 2^m \pm 1$ ) eingeführt wird.
Algorithmische Anwendung: Die Arbeit nutzt und verfeinert Algorithmen zur Berechnung 2-adischer Bewertungen in ausgezeichneten Restklassen und liefert explizite Approximationen nicht-rationaler 2-adischer Nullstellen für diese Folgen.

Der Beitrag beansprucht keine breiteren Anwendungen über die spezifischen behandelten diophantischen Probleme hinaus, trägt jedoch zur wachsenden Literatur über den Schnitt exponentieller diophantischer Gleichungen und linearer Rekurrenzfolgen bei.

Der Fall ist gelöst

Wie haben sie es gelöst?

Das Fazit

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