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Cullen and Woodall numbers in Padovan and Perrin sequences

Este artigo identifica todas as interseções entre os números de Cullen e Woodall e as sequências de Padovan e Perrin, provando que 1 e 7 são os únicos números de Woodall na sequência de Padovan, enquanto 3 é o único número de Cullen na sequência de Perrin.

Autores originais: Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

Publicado 2026-05-25

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CC BY 4.0

Autores originais: Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

Artigo original sob licença CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine que você é um detetive tentando encontrar tesouros escondidos em duas linhas numéricas muito longas e misteriosas. Essas linhas numéricas são chamadas de sequência de Padovan e sequência de Perrin. Elas são geradas por uma regra simples: para obter o próximo número, você soma o número de dois passos atrás ao número de três passos atrás. É como um jogo de cadeiras musicais onde os números continuam se rearranjando de acordo com um ritmo estrito.

Do outro lado da sala, você tem dois sacos especiais de "moedas de tesouro".

Moedas Woodall têm o formato $m \cdot 2^m - 1$ .
Moedas Cullen têm o formato $m \cdot 2^m + 1$ .

Essas moedas crescem incrivelmente rápido, dobrando e dobrando de tamanho. A grande pergunta que os autores deste artigo fizeram foi: "Alguma dessas moedas especiais cai exatamente em um ponto nas linhas numéricas de Padovan ou de Perrin?"

O Mistério Resolvido

Os autores, atuando como detetives matemáticos, partiram em uma caçada para encontrar cada correspondência individual. Eis o que descobriram:

Na Sequência de Padovan (A Caçada Woodall):
Eles procuraram moedas Woodall ( $m \cdot 2^m - 1$ ) escondidas na linha de Padovan.
- O Resultado: Encontraram apenas duas correspondências. O número 1 (que é um número Woodall quando $m=1$ ) e o número 7 (que é um número Woodall quando $m=2$ ).
- A Conclusão: Nenhuma outra moeda Woodall se encaixa na linha de Padovan. Se você continuar contando para sempre, nunca encontrará outra.
Na Sequência de Perrin (A Caçada Cullen):
Eles procuraram moedas Cullen ( $m \cdot 2^m + 1$ ) escondidas na linha de Perrin.
- O Resultado: Encontraram apenas uma correspondência. O número 3 (que é um número Cullen quando $m=1$ ).
- A Conclusão: Nenhuma outra moeda Cullen se encaixa na linha de Perrin.

Como Eles Resolveram?

Você pode se perguntar: "Como você verifica uma linha numérica infinita?" Você não pode simplesmente contar para sempre. Os autores usaram uma estratégia astuta de dois passos, como um detetive reduzindo uma lista de suspeitos.

Passo 1: A "Lupa" (Formas Lineares em Logaritmos)
Primeiro, eles usaram uma poderosa ferramenta matemática (a teoria de Baker) que age como uma super-lupa. Essa ferramenta permitiu-lhes provar que, se uma correspondência existisse, ela não poderia estar demais longe. Isso estabeleceu um "teto" para o quão grandes os números poderiam ser.

Analogia: Imagine que eles provaram que, se um tesouro existe, ele deve estar enterrado em algum lugar dentro das primeiras 500 milhões de milhas da linha numérica, em vez de estar perdido no universo infinito. Isso reduziu o problema de "infinito" para "muito grande, mas finito".

Passo 2: O "Scanner de Impressão Digital" (Valoração 2-ádica)
Mesmo com o teto estabelecido, 500 milhões ainda são muitos para verificar à mão. Então, eles usaram uma segunda ferramenta chamada valoração 2-ádica. Pense nisso como um scanner de impressão digital que examina quantas vezes um número pode ser dividido por 2.

Os números de Padovan e Perrin têm "impressões digitais" muito específicas e previsíveis quanto ao número de vezes que podem ser divididos por 2.
Os números Woodall e Cullen têm suas próprias impressões digitais únicas.
Os autores perceberam que, para que uma correspondência ocorresse, as impressões digitais teriam que se alinhar perfeitamente. Ao analisar esses padrões, eles perceberam que, para a maioria dos números, as impressões digitais simplesmente não coincidem.
Analogia: É como tentar encaixar uma estaca quadrada em um buraco redondo. Eles provaram que, para quase todos os números, a "estaca quadrada" (o número Woodall/Cullen) tem o formato errado para se encaixar no "buraco redondo" (o número de Padovan/Perrin).

Passo 3: A Varredura Final (Verificação Computacional)
Depois de usar a matemática para reduzir a área de busca a um tamanho minúsculo e gerenciável (verificando números até cerca de 56 para Woodall e 51 para Cullen), eles deixaram um computador fazer o trabalho final. O computador verificou cada possibilidade restante e confirmou: Não existem outras correspondências.

A Conclusão

O artigo é um caso definitivamente "encerrado".

Números Woodall em Padovan: Apenas 1 e 7.
Números Cullen em Perrin: Apenas 3.

Os autores não apenas adivinharam; usaram uma profunda teoria matemática para descartar as possibilidades infinitas e, em seguida, usaram um computador para verificar os pequenos restos. Eles provaram que essas sequências são como dois idiomas diferentes que raramente, se é que alguma vez, falam a mesma palavra.

Resumo Técnico: Números de Cullen e Woodall nas Sequências de Padovan e Perrin

Declaração do Problema
Este artigo aborda a interseção de duas classes específicas de números diofantinos exponenciais com sequências de recorrência linear. Especificamente, os autores investigam a presença de números de Woodall (inteiros da forma $W_m = m \cdot 2^m - 1$ ) dentro da sequência de Padovan $\{P_n\}$ , e números de Cullen (inteiros da forma $C_m = m \cdot 2^m + 1$ ) dentro da sequência de Perrin $\{R_n\}$ .

As sequências de Padovan e Perrin são ambas definidas pela relação de recorrência $U_{n+3} = U_{n+1} + U_n$ , mas com condições iniciais distintas:

Padovan: $P_0 = P_1 = P_2 = 1$ .
Perrin: $R_0 = 3, R_1 = 0, R_2 = 2$ .

Embora trabalhos anteriores de Bravo e Irmak [4] tivessem determinado os números de Cullen na sequência de Padovan e os números de Woodall na sequência de Perrin, os casos complementares (Woodall em Padovan, Cullen em Perrin) permaneciam em aberto. Os autores visam resolver completamente esses casos remanescentes.

Metodologia
A estratégia de prova segue um quadro padrão para resolver equações diofantinas em sequências de recorrência linear, combinando teoria dos números analítica com verificação computacional:

Análise de Forma Fechada: Os autores utilizam fórmulas do tipo Binet para ambas as sequências, expressando os termos como combinações lineares de potências das raízes do polinômio característico $\phi(X) = X^3 - X - 1$ . Isso permite estimativas de crescimento e a derivação de desigualdades que limitam os índices $n$ e $m$ .
Formas Lineares em Logaritmos: Para estabelecer um limite superior absoluto para a variável $m$ , os autores aplicam o teorema de Matveev sobre formas lineares em três logaritmos de números algébricos. Ao construir uma forma linear $\Lambda$ envolvendo $\log 2$ , $\log \alpha$ (onde $\alpha$ é a raiz real de $\phi(X)$ ) e $\log m$ , eles derivam um limite inferior para $|\Lambda|$ . Comparando este com um limite superior derivado do crescimento da recorrência, obtém-se um limite superior inicial, embora grande, para $m$ (aproximadamente $5,6 \times 10^{14}$ para o caso de Padovan e $5,4 \times 10^{14}$ para o caso de Perrin).
Análise da Valoração 2-ádica: Para reduzir os limites massivos obtidos do teorema de Matveev a uma faixa computacionalmente viável, os autores realizam uma análise detalhada da valoração 2-ádica ( $\nu_2$ $ν_{2}$ ) das sequências deslocadas $\{P_n + 1\}$ ${P_{n} + 1}$ e $\{R_n - 1\}$ ${R_{n} - 1}$ .
- Eles estabelecem fórmulas explícitas para $\nu_2(P_n + 1)$ e $\nu_2(R_n - 1)$ baseadas no resíduo de $n$ módulo inteiros específicos (por exemplo, 112 para Padovan, 14 para Perrin).
- Para classes de resíduo "excepcionais" onde uma expressão fechada uniforme não existe, eles empregam um algoritmo ganancioso baseado em recorrências de duplicação (Lemas 2.10 e 2.11) para calcular a valoração máxima possível para $n$ dentro dos limites previamente estabelecidos.
- Esta análise produz a desigualdade $m \leq \nu_2(\text{termo deslocado})$ , o que reduz drasticamente o espaço de busca para $m$ .
Verificação Computacional: Uma vez que os limites para $m$ são reduzidos a constantes pequenas (especificamente $m \leq 56$ para Padovan e $m \leq 51$ para Perrin), os autores realizam uma busca computacional exaustiva usando SageMath para verificar soluções dentro das faixas reduzidas.

Contribuições e Resultados Principais
O artigo fornece soluções completas para os dois problemas em aberto relacionados a números de Woodall e Cullen nessas sequências específicas:

Teorema 1.1: Os únicos números de Woodall na sequência de Padovan são 1 e 7.
- Corolário 1.2: Consequentemente, o único primo de Woodall na sequência de Padovan é 7.
Teorema 1.3: O único número de Cullen na sequência de Perrin é 3.
- Corolário 1.4: Consequentemente, o único primo de Cullen na sequência de Perrin é 3.

As provas dependem das propriedades específicas das valorações 2-ádicas de $P_n + 1$ e $R_n - 1$ . Notavelmente, os autores identificam zeros 2-ádicos não racionais para essas sequências deslocadas, o que necessitou da abordagem algorítmica para as classes de resíduo excepcionais.

Significado e Alegações
Os autores posicionam este trabalho como a conclusão natural da pesquisa iniciada por Bravo e Irmak [4]. Ao determinar os conjuntos complementares de números, o artigo caracteriza completamente a interseção dos números de Woodall e Cullen com as sequências de Padovan e Perrin.

O significado reside em:

Completude: Resolve os casos em aberto remanescentes para essas sequências específicas de recorrência linear de ordem 3.
Refinamento Metodológico: O artigo demonstra a necessidade de analisar as valorações 2-ádicas das sequências deslocadas ( $P_n+1$ e $R_n-1$ ) em vez das próprias sequências, destacando a complexidade introduzida pelas condições iniciais específicas e pela forma dos números alvo ( $m \cdot 2^m \pm 1$ ).
Aplicação Algorítmica: O trabalho utiliza e refina algoritmos para calcular valorações 2-ádicas em classes de resíduo excepcionais, fornecendo aproximações explícitas de zeros 2-ádicos não racionais para essas sequências.

O artigo não alega aplicações mais amplas além dos problemas diofantinos específicos abordados, mas contribui para o corpo crescente de literatura sobre a interseção de equações diofantinas exponenciais e sequências de recorrência linear.

O Mistério Resolvido

Como Eles Resolveram?

A Conclusão

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