Cullen and Woodall numbers in Padovan and Perrin sequences

技術的サマリー：パドヴァン数列およびペリン数列におけるカレン数とウッドール数

問題の定義
本論文は、2 つの特定の指数型ディオファントス数のクラスと線形漸化数列との交差に焦点を当てている。具体的には、著者らはウッドール数（$W_m = m \cdot 2^m - 1$ の形の整数）がパドヴァン数列 $\{P_n\}$ 内に存在するか、およびカレン数（$C_m = m \cdot 2^m + 1$ の形の整数）がペリン数列 $\{R_n\}$ 内に存在するかを調査する。

パドヴァン数列とペリン数列は、いずれも漸化式 $U_{n+3} = U_{n+1} + U_n$ で定義されるが、初期条件は異なる：

• パドヴァン数列: $P_0 = P_1 = P_2 = 1$。
• ペリン数列: $R_0 = 3, R_1 = 0, R_2 = 2$。

ブラボとイルマク [4] による先行研究では、パドヴァン数列内のカレン数とペリン数列内のウッドール数が特定されていたが、補完的なケース（パドヴァン数列内のウッドール数、ペリン数列内のカレン数）は未解決のままであった。著者らは、これらの残存ケースを完全に解決することを目的としている。

手法
証明戦略は、線形漸化数列におけるディオファントス方程式を解くための標準的な枠組みに従い、解析的整数論と計算機による検証を組み合わせる：

1. 閉形式解析: 著者らは両数列に対するビネ型の公式を利用し、項を特性多項式 $\phi(X) = X^3 - X - 1$ の根のべき乗の線形結合として表現する。これにより、項の成長推定が可能となり、インデックス $n$ と $m$ を制限する不等式の導出が可能となる。
2. 対数の線形形式: 変数 $m$ に対する絶対的上界を確立するために、著者らは代数的数の 3 つの対数に関する対数の線形形式に対するマトヴェエフの定理を適用する。$\log 2$、$\log \alpha$（ここで $\alpha$ は $\phi(X)$ の実根）、および $\log m$ を含む線形形式 $\Lambda$ を構成することで、$|\Lambda|$ に対する下界を導出する。これを漸化式の成長から導かれる上界と比較することで、$m$ に対する初期の（ただし巨大な）上界が得られる（パドヴァン数列の場合で約 $5.6 \times 10^{14}$、ペリン数列の場合で約 $5.4 \times 10^{14}$）。
3. 2 進付値解析: マトヴェエフの定理から得られた巨大な上界を計算可能な範囲に縮小するために、著者らはシフトされた数列 $\{P_n + 1\}$ および $\{R_n - 1\}$ の2 進付値（$\nu_2$）の詳細な解析を行う。
   • 彼らは、$n$ を特定の整数（パドヴァン数列の場合は 112、ペリン数列の場合は 14 など）で割った余りに基づき、$\nu_2(P_n + 1)$ および $\nu_2(R_n - 1)$ の明示的な公式を確立する。
   • 一様な閉形式表現が存在しない「例外」剰余類に対しては、倍増漸化に基づく貪欲アルゴリズム（補題 2.10 および 2.11）を用いて、以前に確立された範囲内の $n$ に対する最大可能な付値を計算する。
   • この解析により、不等式 $m \leq \nu_2(\text{シフトされた項})$ が得られ、$m$ の探索空間が劇的に縮小される。
4. 計算機による検証: $m$ の上界が小さな定数（パドヴァン数列の場合は $m \leq 56$、ペリン数列の場合は $m \leq 51$）に縮小された後、著者らはSageMathを用いて縮小された範囲内の解を網羅的に検索する。

主要な貢献と結果
本論文は、これらの特定の数列におけるウッドール数とカレン数に関する 2 つの未解決問題に対する完全な解を提供する：

• 定理 1.1: パドヴァン数列に含まれるウッドール数は、1 および 7 だけである。
  • 系 1.2: したがって、パドヴァン数列に含まれるウッドール素数は 7 だけである。
• 定理 1.3: ペリン数列に含まれるカレン数は 3 だけである。
  • 系 1.4: したがって、ペリン数列に含まれるカレン素数は 3 だけである。

これらの証明は、$P_n + 1$ および $R_n - 1$ の 2 進付値の特定の性質に依存している。特筆すべきは、著者らがこれらのシフトされた数列に対して非有理的な 2 進零点を特定しており、これが例外剰余類に対するアルゴリズム的アプローチを必要とした点である。

意義と主張
著者らは、この研究をブラボとイルマク [4] によって開始された研究の自然な完成として位置づけている。補完的な数の集合を特定することにより、本論文はウッドール数およびカレン数とパドヴァン数列およびペリン数列との交差を完全に特徴づける。

その意義は以下の点にある：

1. 完全性: これらの特定の 3 次線形漸化数列に関する残存する未解決ケースを解決する。
2. 方法論の洗練: 数列そのものではなく、シフトされた数列（$P_n+1$ および $R_n-1$）の 2 進付値を解析する必要性を実証し、特定の初期条件および対象となる数の形式（$m \cdot 2^m \pm 1$）によって引き起こされる複雑さを浮き彫りにする。
3. アルゴリズムの応用: 例外剰余類における 2 進付値の計算のためのアルゴリズムを利用・洗練し、これらの数列に対する非有理的な 2 進零点の明示的な近似を提供する。

本論文は、扱われた特定のディオファントス問題を超えた広範な応用を主張するものではないが、指数型ディオファントス方程式と線形漸化数列の交差に関する文献の蓄積に貢献するものである。