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Cullen and Woodall numbers in Padovan and Perrin sequences

Ce papier identifie toutes les intersections entre les nombres de Cullen et de Woodall et les suites de Padovan et de Perrin, démontrant que 1 et 7 sont les seuls nombres de Woodall dans la suite de Padovan tandis que 3 est le seul nombre de Cullen dans la suite de Perrin.

Auteurs originaux : Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

Publié 2026-05-25

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Herbert Batte, Eric F. Bravo, Florian Luca

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous êtes un détective cherchant des trésors cachés dans deux très longues et mystérieuses lignes de nombres. Ces lignes de nombres sont appelées la suite de Padovan et la suite de Perrin. Elles sont générées par une règle simple : pour obtenir le nombre suivant, vous additionnez le nombre situé deux étapes en arrière à celui situé trois étapes en arrière. C'est comme un jeu de chaises musicales où les nombres se réorganisent constamment selon un rythme strict.

De l'autre côté de la pièce, vous avez deux sacs spéciaux de « pièces de trésor ».

Les pièces Woodall sont façonnées comme $m \cdot 2^m - 1$ .
Les pièces Cullen sont façonnées comme $m \cdot 2^m + 1$ .

Ces pièces grandissent incroyablement vite, doublant et redoublant de taille. La grande question que les auteurs de cet article se sont posée était : « L'une de ces pièces spéciales atterrit-elle jamais exactement sur un point des lignes de nombres de Padovan ou de Perrin ? »

Le Mystère Résolu

Les auteurs, agissant en tant que détectives mathématiques, ont mené une chasse pour trouver chaque correspondance unique. Voici ce qu'ils ont découvert :

Dans la suite de Padovan (La Chasse Woodall) :
Ils ont cherché des pièces Woodall ( $m \cdot 2^m - 1$ ) cachées dans la ligne de Padovan.
- Le Résultat : Ils n'ont trouvé que deux correspondances. Le nombre 1 (qui est un nombre Woodall lorsque $m=1$ ) et le nombre 7 (qui est un nombre Woodall lorsque $m=2$ ).
- La Conclusion : Aucune autre pièce Woodall ne s'insère dans la ligne de Padovan. Si vous continuez à compter éternellement, vous n'en trouverez jamais d'autre.
Dans la suite de Perrin (La Chasse Cullen) :
Ils ont cherché des pièces Cullen ( $m \cdot 2^m + 1$ ) cachées dans la ligne de Perrin.
- Le Résultat : Ils n'ont trouvé qu'une seule correspondance. Le nombre 3 (qui est un nombre Cullen lorsque $m=1$ ).
- La Conclusion : Aucune autre pièce Cullen ne s'insère dans la ligne de Perrin.

Comment l'Ont-ils Résolu ?

Vous vous demandez peut-être : « Comment vérifier une ligne de nombres infinie ? » On ne peut pas simplement compter éternellement. Les auteurs ont utilisé une stratégie astucieuse en deux étapes, comme un détective réduisant une liste de suspects.

Étape 1 : La « Loupe » (Formes Linéaires de Logarithmes)
D'abord, ils ont utilisé un outil mathématique puissant (la théorie de Baker) qui agit comme une super-loupe. Cet outil leur a permis de prouver que si une correspondance existait, elle ne pouvait pas être trop loin. Il a établi un « plafond » sur la taille que les nombres pouvaient atteindre.

Analogie : Imaginez qu'ils aient prouvé que si un trésor existe, il doit être enterré quelque part dans les premiers 500 millions de miles de la ligne de nombres, plutôt que d'être perdu dans l'univers infini. Cela a réduit le problème de « infini » à « très grand mais fini ».

Étape 2 : Le « Scanner d'Empreintes » (Valuation 2-adique)
Même avec le plafond fixé, 500 millions est encore trop grand pour vérifier à la main. Ils ont donc utilisé un deuxième outil appelé valuation 2-adique. Imaginez cela comme un scanner d'empreintes digitales qui examine combien de fois un nombre peut être divisé par 2.

Les nombres de Padovan et de Perrin ont des « empreintes » très spécifiques et prévisibles concernant le nombre de fois où ils peuvent être divisés par 2.
Les nombres Woodall et Cullen ont leurs propres empreintes uniques.
Les auteurs ont réalisé que pour qu'une correspondance se produise, les empreintes devaient s'aligner parfaitement. En analysant ces motifs, ils ont compris que pour la plupart des nombres, les empreintes ne correspondent tout simplement pas.
Analogie : C'est comme essayer d'enfoncer un clou carré dans un trou rond. Ils ont prouvé que pour presque tous les nombres, le « clou carré » (le nombre Woodall/Cullen) a la mauvaise forme pour s'insérer dans le « trou rond » (le nombre de Padovan/Perrin).

Étape 3 : Le Balayage Final (Vérification par Ordinateur)
Après avoir utilisé les mathématiques pour réduire la zone de recherche à une taille minuscule et gérable (vérifiant les nombres jusqu'à environ 56 pour Woodall et 51 pour Cullen), ils ont laissé un ordinateur effectuer le travail final. L'ordinateur a vérifié chaque possibilité restante et confirmé : Aucune autre correspondance n'existe.

La Conclusion

L'article est un dossier « clos » définitif.

Nombres Woodall dans Padovan : Seulement 1 et 7.
Nombres Cullen dans Perrin : Seulement 3.

Les auteurs n'ont pas seulement deviné ; ils ont utilisé une théorie mathématique profonde pour écarter les possibilités infinies, puis ont utilisé un ordinateur pour vérifier les petits restes. Ils ont prouvé que ces suites sont comme deux langues différentes qui parlent rarement, voire jamais, le même mot.

Résumé technique : Nombres de Cullen et de Woodall dans les suites de Padovan et de Perrin

Énoncé du problème
Cet article traite de l'intersection de deux classes spécifiques de nombres diophantiens exponentiels avec des suites de récurrence linéaire. Plus précisément, les auteurs étudient la présence de nombres de Woodall (entiers de la forme $W_m = m \cdot 2^m - 1$ ) dans la suite de Padovan $\{P_n\}$ , et de nombres de Cullen (entiers de la forme $C_m = m \cdot 2^m + 1$ ) dans la suite de Perrin $\{R_n\}$ .

Les suites de Padovan et de Perrin sont toutes deux définies par la relation de récurrence $U_{n+3} = U_{n+1} + U_n$ , mais avec des conditions initiales distinctes :

Padovan : $P_0 = P_1 = P_2 = 1$ .
Perrin : $R_0 = 3, R_1 = 0, R_2 = 2$ .

Alors que des travaux antérieurs de Bravo et Irmak [4] avaient déterminé les nombres de Cullen dans la suite de Padovan et les nombres de Woodall dans la suite de Perrin, les cas complémentaires (Woodall dans Padovan, Cullen dans Perrin) restaient ouverts. Les auteurs visent à résoudre complètement ces cas restants.

Méthodologie
La stratégie de preuve suit un cadre standard pour résoudre les équations diophantiennes dans les suites de récurrence linéaire, combinant la théorie analytique des nombres avec une vérification computationnelle :

Analyse sous forme close : Les auteurs utilisent des formules de type Binet pour les deux suites, exprimant les termes comme des combinaisons linéaires de puissances des racines du polynôme caractéristique $\phi(X) = X^3 - X - 1$ . Cela permet d'estimer la croissance et de dériver des inégalités bornant les indices $n$ et $m$ .
Formes linéaires en logarithmes : Pour établir une borne supérieure absolue pour la variable $m$ , les auteurs appliquent le théorème de Matveev sur les formes linéaires en trois logarithmes de nombres algébriques. En construisant une forme linéaire $\Lambda$ impliquant $\log 2$ , $\log \alpha$ (où $\alpha$ est la racine réelle de $\phi(X)$ ) et $\log m$ , ils dérivent une borne inférieure pour $|\Lambda|$ . La comparaison de cette borne avec une borne supérieure déduite de la croissance de la récurrence conduit à une borne supérieure initiale, bien que grande, pour $m$ (environ $5,6 \times 10^{14}$ pour le cas Padovan et $5,4 \times 10^{14}$ pour le cas Perrin).
Analyse de la valuation 2-adique : Pour réduire les bornes massives obtenues par le théorème de Matveev à une plage computationnellement faisable, les auteurs effectuent une analyse détaillée de la valuation 2-adique ( $\nu_2$ $ν_{2}$ ) des suites décalées $\{P_n + 1\}$ ${P_{n} + 1}$ et $\{R_n - 1\}$ ${R_{n} - 1}$ .
- Ils établissent des formules explicites pour $\nu_2(P_n + 1)$ et $\nu_2(R_n - 1)$ basées sur le reste de $n$ modulo certains entiers (par exemple 112 pour Padovan, 14 pour Perrin).
- Pour les classes de restes « exceptionnelles » où une expression close uniforme n'existe pas, ils emploient un algorithme glouton basé sur des récurrences de doublement (Lemmes 2.10 et 2.11) pour calculer la valuation maximale possible pour $n$ dans les bornes précédemment établies.
- Cette analyse aboutit à l'inégalité $m \leq \nu_2(\text{terme décalé})$ , ce qui réduit considérablement l'espace de recherche pour $m$ .
Vérification computationnelle : Une fois les bornes pour $m$ réduites à de petites constantes (spécifiquement $m \leq 56$ pour Padovan et $m \leq 51$ pour Perrin), les auteurs effectuent une recherche computationnelle exhaustive utilisant SageMath pour vérifier l'existence de solutions dans les plages réduites.

Contributions et résultats clés
L'article fournit des solutions complètes aux deux problèmes ouverts concernant les nombres de Woodall et de Cullen dans ces suites spécifiques :

Théorème 1.1 : Les seuls nombres de Woodall dans la suite de Padovan sont 1 et 7.
- Corollaire 1.2 : Par conséquent, le seul nombre premier de Woodall dans la suite de Padovan est 7.
Théorème 1.3 : Le seul nombre de Cullen dans la suite de Perrin est 3.
- Corollaire 1.4 : Par conséquent, le seul nombre premier de Cullen dans la suite de Perrin est 3.

Les preuves reposent sur les propriétés spécifiques des valuations 2-adiques de $P_n + 1$ et $R_n - 1$ . Notamment, les auteurs identifient des zéros 2-adiques non rationnels pour ces suites décalées, ce qui a nécessité une approche algorithmique pour les classes de restes exceptionnelles.

Portée et affirmations
Les auteurs positionnent ce travail comme l'achèvement naturel de la recherche initiée par Bravo et Irmak [4]. En déterminant les ensembles complémentaires de nombres, l'article caractérise pleinement l'intersection des nombres de Woodall et de Cullen avec les suites de Padovan et de Perrin.

La portée réside dans :

Exhaustivité : Il résout les cas ouverts restants pour ces suites de récurrence linéaire d'ordre 3 spécifiques.
Raffinement méthodologique : L'article démontre la nécessité d'analyser les valuations 2-adiques des suites décalées ( $P_n+1$ et $R_n-1$ ) plutôt que des suites elles-mêmes, mettant en évidence la complexité introduite par les conditions initiales spécifiques et la forme des nombres cibles ( $m \cdot 2^m \pm 1$ ).
Application algorithmique : Le travail utilise et affine des algorithmes pour calculer les valuations 2-adiques dans les classes de restes exceptionnelles, fournissant des approximations explicites des zéros 2-adiques non rationnels pour ces suites.

L'article ne revendique pas d'applications plus larges au-delà des problèmes diophantiens spécifiques abordés, mais contribue au corpus croissant de littérature sur l'intersection des équations diophantiennes exponentielles et des suites de récurrence linéaire.

Le Mystère Résolu

Comment l'Ont-ils Résolu ?

La Conclusion

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