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Recursive Prime Factorizations: Dyck Words as Numbers

यह शोधपत्र पुनरावर्ती अभाज्य गुणनखंडों (recursive prime factorizations) पर आधारित गैर-स्थानिक संख्या प्रणालियों (non-positional numeral systems) के एक वर्ग का प्रस्ताव करता है जो प्राकृतिक संख्याओं और परिमेय संख्याओं को अद्वितीय रूप से निरूपित करने के लिए डिक शब्दों (Dyck words) का उपयोग करते हैं, साथ ही "डिक-पूर्ण" (Dyck-complete) भाषाओं का भी अन्वेषण करते हैं जहाँ प्रत्येक डिक शब्द एक संख्या के अनुरूप होता है।

मूल लेखक: Ralph L. Childress

प्रकाशित 2026-02-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ralph L. Childress

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक संख्या का वर्णन करने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि 520।

जिस स्कूली प्रणाली को हम सब जानते हैं, उसमें हम 520 लिखते हैं। यह एक "पोजीशनल" (स्थानिक) प्रणाली है। यह एक होटल की तरह है जहाँ कमरे का नंबर बताता है कि अंक अपनी स्थिति के आधार पर क्या मूल्य रखते हैं: '5' "सैकड़ों" वाले कमरे में है, '2' "दहाई" वाले कमरे में है, और '0' "इकाई" वाले कमरे में है। लेकिन यहाँ एक पेंच है: 10 ही क्यों? 12 क्यों नहीं? 7 क्यों नहीं? संख्या 520 केवल निर्माण खंडों (अभाज्य संख्याओं: $2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 13$ ) का एक संग्रह है, लेकिन हमारी दशमलव प्रणाली इन ब्लॉक्स को "10" के मनमाने चुनाव के पीछे छिपा देती है।

राल्फ चाइल्ड्रेस, इस शोध पत्र में पूछते हैं: क्या होगा यदि हम एक ऐसी संख्या प्रणाली बनाएँ जो किसी "आधार" (base) का उपयोग ही न करे? क्या होगा यदि संख्या स्वयं अपनी "रेसिपी" (विधि) हो?

वे एक प्रणाली प्रस्तावित करते हैं जिसे रिकर्सिव प्राइम फैक्टराइजेशन (RPF) कहा जाता है। 0–9 अंकों का उपयोग करने के बजाय, यह प्रणाली केवल दो प्रतीकों का उपयोग करती है: एक खुला कोष्ठक ( और एक बंद कोष्ठक )।

इसे एक रशियन नेस्टिंग डॉल (रूसी गुड़िया) की तरह समझें जो पूरी तरह से कोष्ठकों से बनी है।

मुख्य विचार: कोष्ठक की रेसिपी

इस प्रणाली में, प्रत्येक संख्या कोष्ठकों की एक संतुलित स्ट्रिंग होती है, जैसे (()(()))।

यहाँ जादू कैसे काम करता है:

सामग्री (अभाज्य संख्याएँ - Primes): कल्पना कीजिए कि अभाज्य संख्याएँ (2, 3, 5, 7, 11...) "स्वाद" (flavors) हैं।
- पहला स्वाद 2 है।
- दूसरा स्वाद 3 है।
- तीसरा स्वाद 5 है।
- और इसी तरह।
कंटेनर (कोष्ठक): कोष्ठकों का एक जोड़ा () एक कंटेनर के रूप में कार्य करता है।
- अपने आप में () संख्या 1 का प्रतिनिधित्व करता है।
- ( ) (एक खाली कंटेनर) 0 का प्रतिनिधित्व करता है।
रेसिपी (नेस्टिंग/पदानुक्रम):
- यदि आपके पास एक कंटेनर ( ... ) है, तो उसके अंदर की चीज़ आपको घातांक (exponent - कितनी बार गुणा करना है) बताती है।
- लाइन में कंटेनर की स्थिति आपको यह बताती है कि वह कौन सी अभाज्य संख्या है।
- लाइन का पहला कंटेनर अभाज्य संख्या 2 के बारे में है।
- दूसरा कंटेनर अभाज्य संख्या 3 के बारे में है।
- तीसरा कंटेनर 5 के बारे में है।

एक सरल उदाहरण को डिकोड करते हैं:
कल्पना कीजिए कि स्ट्रिंग है: (())(())

पहला भाग: (())। यह 1ला कंटेनर है। इसके अंदर () है।
- अंदर का () मतलब घातांक 1 है।
- तो, यह $2^1 = 2$ है।
दूसरा भाग: (())। यह 2रा कंटेनर है। इसमें भी () है।
- इसलिए, यह $3^1 = 3$ है।
गणित: उन्हें आपस में गुणा करें: $2 \times 3 = 6$ ।
परिणाम: स्ट्रिंग (())(()) संख्या 6 है।

अब, एक जटिल उदाहरण देखते हैं (रिकर्सिव हिस्सा):
क्या होगा यदि घातांक स्वयं एक बड़ी संख्या हो?
सामान्य गणित में, हम $2^5$ लिखते हैं। इस प्रणाली में, हम "5" नहीं लिख सकते। हमें घातांक स्लॉट के अंदर 5 की रेसिपी लिखनी होगी।

5 की रेसिपी ()()(()) है (जिसका अर्थ है $2^1 \times 3^1 \times 5^1$ )।
तो, $2^5$ लिखने के लिए, आप उस पूरे रेसिपी को पहले कंटेनर के अंदर रख देते हैं:
(()()(())
यह एक नेस्टिंग डॉल जैसा दिखता है: बाहरी खोल अभाज्य संख्या 2 है। इसके अंदर, यह संख्या 5 की पूरी संरचना को समाहित करता है।

"डिक वर्ड" (Dyck Word) का संबंध

शोध पत्र इन स्ट्रिंग्स को डिक वर्ड्स (Dyck Words) कहता है। एक डिक वर्ड को कोष्ठकों के एक पूर्णतः संतुलित वाक्य के रूप में समझें।

(() असंतुलित है।
()) असंतुलित है।
(()()) पूर्ण है।

चाइल्ड्रेस सिद्ध करते हैं कि इन पूर्ण वाक्यों का एक विशेष उपसमुच्चय (subset) है जो ठीक से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (0, 1, 2, 3...) के अनुरूप है। कोई भी दो संख्याएँ एक ही वाक्य साझा नहीं करतीं, और हर संख्या के पास अपना एक वाक्य है। यह एक पूर्ण 1-to-1 मैप है।

सुपर-पावर: पूर्ण संख्याओं से परे जाना

सबसे रोमांचक हिस्सा शोध पत्र का "सुपर-रेशनल" विस्तार है।

मानक गणित में, यदि आप $1/2$ जैसा भिन्न (fraction) लिखना चाहते हैं, तो आपको स्लैश या दशमलव बिंदु की आवश्यकता होती है। यदि आप ऋणात्मक संख्या लिखना चाहते हैं, तो आपको माइनस साइन की आवश्यकता होती है।
चाइल्ड्रेस की प्रणाली इतनी चतुर है कि इसे नए प्रतीकों की आवश्यकता नहीं है।

ऋणात्मक संख्याएँ (Negative Numbers): वे स्ट्रिंग के बिल्कुल अंत में एक "ट्रिक" का उपयोग करते हैं। यदि एक स्ट्रिंग एक अतिरिक्त खाली जोड़ी () के साथ समाप्त होती है, तो यह चिह्न को बदल देता है।
- ... = धनात्मक 520।
- ...() = ऋणात्मक 520।
भिन्न और मूल (Fractions and Roots): क्योंकि यह प्रणाली रिकर्सिव है, आप घातांक के अंदर एक "नेगेटिव" रख सकते हैं।
- $2^{-1}$ (जो $1/2$ है) को घातांक स्लॉट के अंदर "नेगेटिव" मार्कर रखकर लिखा जाता है।
- $\sqrt{2}$ ( $2^{0.5}$ जो है) को एक भिन्न की रेसिपी को नेस्ट करके लिखा जाता है।

इसका अर्थ है कि आप केवल कोष्ठकों ( और ) का उपयोग करके अपरिमेय संख्याएँ (जैसे $\sqrt{2}$ ) और यहाँ तक कि अतार्किक संख्याएँ (जैसे $2^{\sqrt{2}}$ ) भी लिख सकते हैं। कोई दशमलव नहीं, कोई माइनस साइन नहीं, कोई वर्गमूल प्रतीक नहीं। बस कोष्ठक।

यह क्यों मायने रखता है? ("तो क्या?")

आप पूछ सकते हैं, "यह कूल है, लेकिन क्या मैं इससे अपना चेकबुक बैलेंस कर सकता हूँ?"
नहीं। यह मनुष्यों के लिए पढ़ने में बहुत लंबा और कठिन है।

लेकिन, यह कंप्यूटर और पैटर्न पहचान (pattern recognition) के लिए शानदार है।

कोई मनमाना आधार नहीं: यह संख्याओं के "वास्तविक डीएनए" को प्रकट करता है। कोष्ठकों में आप जो पैटर्न देखते हैं, वे संख्याओं के अपने पैटर्न हैं, न कि हमारी बेस-10 की आदत के अवशेष।
कंप्यूटर विज्ञान: चूंकि ये केवल कोष्ठकों की स्ट्रिंग हैं, कंप्यूटर वैज्ञानिक संख्याओं का विश्लेषण करने के लिए "ग्रामर" टूल्स (जैसे कि कोड को पार्स करने के लिए उपयोग किए जाने वाले) का उपयोग कर सकते हैं।
AI लर्निंग: शोध पत्र सुझाव देता है कि यदि हम एक AI (जैसे कि लार्ज लैंग्वेज मॉडल) को इन कोष्ठक स्ट्रिंग्स को पढ़ना सिखाते हैं, तो यह शायद दशमलव संख्याओं को देने की तुलना में गणित की संरचना को बेहतर ढंग से सीख सकता है। यह AI को केवल अंकों को याद करने के बजाय संख्या की "रेसिपी" समझने के लिए मजबूर करता है।
संपीड़न (Compression): क्योंकि यह प्रणाली रिकर्सिव है, यह कंप्यूटर में जटिल गणितीय संरचनाओं को संग्रहीत करने का एक बहुत ही कुशल तरीका हो सकता है।

एनालॉजी सारांश

दशमलव प्रणाली: एक घर का उसके पते (गली, मकान नंबर, पिन कोड) द्वारा वर्णन करने जैसा है। यह काम करता है, लेकिन "गली" (बेस 10) मनमाना है।
RPF प्रणाली: एक घर के ब्लूप्रिंट (खाके) द्वारा वर्णन करने जैसा है। आप यह नहीं कहते कि "घर नंबर 520"। आप कहते हैं, "यह 2 ईंटों, 3 बीमों और 5 खिड़कियों से बना है।"
- यदि घर में बेसमेंट है, तो ब्लूप्रिंट मुख्य कमरे के अंदर नेस्ट होता है।
- यदि वह एक "नेगेटिव" घर है (एक भूत?), तो ब्लूप्रिंट के अंत में एक विशेष टैग होता है।
- यदि वह एक भिन्न (fraction) है, तो ब्लूप्रिंट के अंदर एक छोटा, नेस्टेड ब्लूप्रिंट होता है।

चाइल्ड्रेस ने कोष्ठकों की एक सार्वभौमिक भाषा बनाई है जहाँ प्रत्येक संख्या, भिन्न और मूल एक अद्वितीय, पूर्णतः संतुलित वाक्य है। यह गणित को देखने का एक ऐसा तरीका है जो "बेस-10" की मानवीय परंपरा को हटा देता है और केवल संख्याओं की शुद्ध, रिकर्सिव संरचना को छोड़ देता है।

तकनीकी सारांश: पुनरावर्ती अभाज्य गुणनखंडन: संख्याओं के प्रतिनिधित्व के रूप में डिक वर्ड्स (Dyck Words)

1. समस्या विवरण

यह शोध पत्र स्थितिजन्य अंक प्रणाली (जैसे, आधार-10) की अंतर्निहित मनमानी प्रकृति को संबोधित करता है, जो एक मनमाने आधार पर निर्भर करती है और मूल्यांकन के लिए घातांक, गुणा और जोड़ की आवश्यकता रखती है। ये प्रणालियाँ संख्याओं में अंतर्निहित पैटर्न को धुंधला कर देती हैं और अतिरेक (redundancy) पेश करती हैं (जैसे, एक ही संख्या के लिए कई प्रतिनिधित्व जैसे $1, 01, 001$)।

लेखक, राल्फ "टिम" चिल्ड्रैस, जूनियर, एक गैर-स्थितिजन्य अंक प्रणाली विकसित करना चाहते हैं जो:

सीधे अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) पर आधारित हो, जिससे मनमाने आधार की आवश्यकता समाप्त हो जाए।
मूल्यांकन के लिए किसी भी जोड़ (addition) की आवश्यकता न हो (केवल गुणा और घातांक पर निर्भर हो)।
सबसे छोटे संभव वर्णमाला (alphabet) का उपयोग करे (दो प्रतीक)।
प्राकृतिक संख्याओं का अद्वितीय प्रतिनिधित्व करे और परिमेय संख्याओं के एक सुपरसेट तक विस्तार करे, जिसमें कुछ बीजगणितीय और अपरिमेय संख्याएँ भी शामिल हैं।

2. कार्यप्रणाली

मुख्य कार्यप्रणाली अभाज्य गुणनखंडन के पुनरावर्ती विस्तार के माध्यम से संख्याओं को डिक शब्दों (Dyck words) (संतुलित कोष्ठकों वाली स्ट्रिंग्स) से मैप करने में निहित है।

2.1. मानक न्यूनतम RPF प्राकृतिक व्याख्या ( $RPFN_{rmin}$ )

वर्णमाला: $\{(, )\}$ ।
आधार मामले (Base Cases):
- $0 \to \epsilon$ (रिक्त स्ट्रिंग)।
- $1 \to ()$ ।
पुनरावर्ती चरण: किसी भी प्राकृतिक संख्या $n > 1$ $n > 1$ के लिए, मान लीजिए $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_m^{a_m}$ $n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \dots p_{m}^{a_{m}}$ इसका अभाज्य गुणनखंडन है, जहाँ $p_k$ $p_{k}$ , $k$ $k$ -वें अभाज्य की संख्या है।
- प्रतिनिधित्व का निर्माण घातांकों $a_i$ के प्रतिनिधित्व को संयोजित करके किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक को कोष्ठकों में संलग्न किया जाता है:
  $\gamma_{Nr}(n) = \bigcup_{i=1}^m ( \gamma_{Nr}(a_i) )$
- महत्वपूर्ण रूप से, यह प्रणाली एक "पैडेड" (padded) गुणनखंडन का उपयोग करती है जहाँ सबसे बड़े अभाज्य गुणनखंड $p_m$ तक के सभी अभाज्य शामिल किए जाते हैं, भले ही उनका घातांक 0 हो। कोष्ठक () के भीतर 0 (रिक्त स्ट्रिंग) का प्रतिनिधित्व घातांक 0 को दर्शाता है।
मूल्यांकन: प्रतिलोम फलन $\alpha_{Nrmin}$ एक डिक शब्द का मूल्यांकन एक डिक शब्द को $i$ -वें अभाज्य $p_i$ के लिए घातांक के रूप में मानकर करता है:
$\alpha_{Nr}(w) = \prod_{i=1}^{dim(w)} p_i^{\alpha_{Nr}(content_i)}$

2.2. मानक न्यूनतम RPF सुपररेशनल व्याख्या ( $RPFS_{rmin}$ )

प्राकृतिक संख्याओं ( $\mathbb{N}$ ) से परे एक सेट $S$ तक विस्तार करने के लिए, जिसमें परिमेय, बीजगणितीय अपरिमेय और कुछ अपरिमेय संख्याएँ शामिल हैं, लेखक "इन्फ्लेशन" (inflation) के माध्यम से ऋणात्मकता (negation) पेश करते हैं।

ऋणात्मकता तंत्र: एक ऋणात्मक चिह्न को शब्द के अंत में एक एकल खाली कोष्ठक जोड़ी () जोड़कर एनकोड किया जाता है।
- $s \to \gamma_{Sr}(s) \cdot ()$ संख्या $-s$ को दर्शाता है।
पुनरावर्ती ऋणात्मकता: क्योंकि यह प्रणाली पुनरावर्ती है, ऋणात्मक चिह्न घातांकों तक प्रसारित होते हैं। यह ऋणात्मक घातांकों (परिमेय संख्याओं) और नेस्टेड ऋणात्मक घातांकों (अपरिमेय संख्याओं) के लिए अनुमति देता है।
- उदाहरण: $\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{2^{-1}}$ । प्रतिनिधित्व में ऋणात्मक घातांक को एनकोड करने वाले नेस्टेड संरचनाएं शामिल हैं।
सेट $S$ (सुपररेशनल संख्याएँ): इसे $0$ युक्त सबसे छोटे उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है, जो अभाज्य-आधार घातांक, गुणा और ऋणात्मकता के तहत बंद (closed) है। यह सेट $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \sqrt{2}$ और गल्फोंड-स्नाइडर स्थिरांक $2^{\sqrt{2}}$ को शामिल करता है।

2.3. औपचारिक भाषा गुण

डिक भाषा ( $D$ ): संतुलित कोष्ठक स्ट्रिंग्स का सेट।
न्यूनतम भाषाएँ: लेखक $D$ $D$ के विशिष्ट उपसमुच्चयों ( $D_{rmin}$ $D_{r min}$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए और $D_{rqmin}$ $D_{r q min}$ सुपररेशनल संख्याओं के लिए) को परिभाषित करते हैं जो न्यूनतम प्रतिनिधित्व के रूप में कार्य करते हैं।
- $D_{rmin}$ एक उचित उपसमुच्चय है जो )()) सबस्ट्रिंग और )() सफिक्स से बचने की विशेषता रखता है।
- $D_{rqmin}$ अंत में ठीक एक "इन्फ्लेटरी" खाली जोड़ी की अनुमति देता है (चिह्न को दर्शाने के लिए) लेकिन कई क्रमिक टर्मिनल खाली जोड़ियों को प्रतिबंधित करता है।
इन्फ्लेशन/डिफ्लेशन (Inflation/Deflation): शोध पत्र एक संख्या के शब्द को बिना उसका संख्यात्मक मान बदले गैर-न्यूनतम प्रतिनिधित्व बनाने के लिए "इन्फ्लेटिंग" (गैर-आवश्यक खाली जोड़े जोड़ना) के रूप में परिभाषित करता है। न्यूनतम भाषाएँ केवल "डिफलेटेड" (कैनोनिकल) रूपों को समाहित करती हैं।

3. प्रमुख योगदान

3.1. नवीन संख्या प्रणालियाँ

शोध पत्र दो बायजैक्टिव (bijective) संख्या प्रणालियाँ पेश करता है:

प्राकृतिक RPF: $\mathbb{N}$ और डिक भाषा $D_{rmin}$ के एक उचित उपसमुच्चय के बीच एक बायजेक्शन।
सुपररेशनल RPF: सेट $S$ $S$ (सुपररेशनल्स) और $D_{rqmin}$ $D_{r q min}$ के एक उपसमुच्चय के बीच एक बायजेक्शन।
- महत्व: स्थितिजन्य प्रणालियों के विपरीत, ये प्रणालियाँ पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और विशिष्ट अपरिमेय/अपरिमेय संख्याओं के लिए एक ही दो-चिह्न वर्णमाला का उपयोग करती हैं। इसके लिए कोई नए प्रतीकों (जैसे माइनस साइन या दशमलव बिंदु) की आवश्यकता नहीं है।

3.2. सैद्धांतिक प्रमाण

बायजेक्टिविटी (Bijectivity): सिद्ध करता है कि स्पेलिंग फलन $\gamma$ और मूल्यांकन फलन $\alpha}$ दोनों व्याख्याओं के लिए एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।
कॉन्टेक्स्ट-फ्री प्रकृति: प्रदर्शित करता है कि न्यूनतम प्राकृतिक भाषा $D_{rmin}$ एक कॉन्टेक्स्ट-फ्री भाषा है (विशेष रूप से डिक भाषा और एक DFA द्वारा परिभाषित रेगुलर भाषा का प्रतिच्छेदन)।
पूर्ण डिक भाषा की गैर-न्यूनता: दिखाता है कि पूर्ण डिक भाषा $D$ एक ही संख्या के कई प्रतिनिधित्वों की अनुमति देती है (इन्फ्लेशन के माध्यम से), जिससे यह एक गैर-न्यूनतम व्याख्या बन जाती है।

3.3. एल्गोरिद्मिक उपकरण

अभाज्य गुणनखंडन एल्गोरिदम: डिक प्राकृतिक संख्या से सीधे उसके अभाज्य गुणनखंडन को निकालने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम प्रदान करता है।
इन्फ्लेशन/डिफ्लेशन लॉजिक: संख्या शब्द के गैर-न्यूनतम प्रतिनिधित्व बनाने के लिए "इन्फ्लेटिंग" की अवधारणा को औपचारिक रूप देता है, जो डिक भाषा की संरचना को समझने में उपयोगी है।

4. परिणाम

प्रतिनिधित्व उदाहरण:
- $520 \to (()(()))()(())()()(()))$
- $-0.2 \to (())((())())()$
- $\sqrt{2} \to ((()()))$
- $2^{\sqrt{2}} \to (((()())))$
पैटर्न खोज: शोध पत्र डिक प्रतिनिधित्व की लंबाई के आधार पर प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम में "स्ट्राइप्स" (stripes) की पहचान करता है। यह नोट करता है कि प्रत्येक स्ट्राइप का पहला पद एक अभाज्य संख्या के अनुरूप होता है, और अंतिम पद बेस-2 टेट्रेशन पैटर्न ( $2, 2^2, 2^{2^2}, \dots$ ) का अनुसरण करते हैं।

5. महत्व और भविष्य की दिशाएँ

संख्या सिद्धांत में औपचारिक भाषा सिद्धांत: शोध पत्र औपचारिक भाषा सिद्धांत (डिक भाषाएँ, कॉन्टेक्स्ट-फ्री व्याकरण) को संख्या सिद्धांत के साथ जोड़ता है, जो एक "व्याकरणिक संख्या सिद्धांत" परिप्रेक्ष्य प्रदान करता है।
पैटर्न पहचान: यह नोट करता है कि इन प्रणालियों में संख्याओं के अनुक्रम में अंतर्निहित संरचनात्मक नियमितताओं को पहचानने के लिए व्याकरण-आधारित संपीड़न एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है।
AI और मशीन लर्निंग: लेखक सुझाव देते हैं कि ये डिक-वर्ड कॉर्पोरा ट्रांसफॉर्मर (Transformers) जैसे AI मॉडलों को अंकगणितीय संरचनाओं को सीखने के लिए प्रशिक्षित करने हेतु संरचित डेटा के रूप में कार्य कर सकते हैं, क्योंकि डिक शब्द अभाज्य गुणनखंडन के पदानुक्रमित वृक्ष संरचना को लॉसलेस (lossless) तरीके से एनकोड करते हैं।

निष्कर्षतः, चाइल्ड्रेस एक ऐसा गणितीय रूप से कठोर ढांचा प्रस्तुत करते हैं जहाँ संख्याएँ केवल मान नहीं बल्कि वाक्यात्मक संरचनाएँ (syntactic structures) हैं। यह प्रणाली आधारों की मनमानी को समाप्त करती है, विविध प्रकार की संख्याओं के प्रतिनिधित्व को एक एकल बाइनरी वर्णमाला के तहत एकीकृत करती है, और औपचारिक भाषाओं के लेंस के माध्यम से अंकगणित का अध्ययन करने के नए मार्ग खोलती है।