💻 computer science

Recursive Prime Factorizations: Dyck Words as Numbers

Dit artikel introduceert een klasse van niet-positionalle nummersystemen gebaseerd op Dyck-woorden die voortvloeien uit een recursieve uitbreiding van priemfactorisatie, en onderzoekt zowel specifieke subsets die natuurlijke getallen en rationale getallen uniek representeren als "Dyck-volledige" talen waarin elk Dyck-woord een getal voorstelt.

Oorspronkelijke auteurs: Ralph L. Childress

Gepubliceerd 2026-02-18

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Ralph L. Childress

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een taal hebt die niet werkt met cijfers zoals 1, 2, 3 of met posities zoals in ons gewone decimale systeem (waarbij de '5' in 520 iets anders betekent dan de '5' in 25). In plaats daarvan gebruikt deze taal haakjes: alleen ( en ).

Dit is de kern van het artikel van Ralph Childress: hij heeft een manier bedacht om alle getallen (en zelfs breuken en sommige irrationale getallen) te schrijven met alleen maar haakjes, gebaseerd op de priemfactoren van die getallen.

Hier is een uitleg in simpele taal, met wat creatieve vergelijkingen:

1. Het probleem met onze huidige getallen

Onze huidige manier van tellen (1, 2, 3...) is als een ladder. Om bij het getal 100 te komen, moet je eerst 1, 2, 3... 99 doorlopen. De '10' is een willekeurige stapgrootte die we al duizenden jaren gebruiken. Als je naar het getal 12 kijkt, zie je niet direct wat het is; je moet het ontleden.

Childress zegt: "Waarom gebruiken we die willekeurige ladder? Laten we de getallen beschrijven zoals ze echt zijn opgebouwd: door hun bouwstenen." Die bouwstenen zijn de priemgetallen (2, 3, 5, 7, 11...).

2. De oplossing: De "Haakjes-Toren"

In dit nieuwe systeem is elk getal een toren van haakjes.

0 is niets (een lege ruimte).
1 is een lege doos: ().
2 is een doos met een leeg ding erin: (()).
3 is een doos met een leeg ding, gevolgd door een andere doos: ()(()).

Hoe werkt dit precies?
Stel je wilt het getal 520 schrijven.
In de normale wereld is 520 = $2^3 \times 5^1 \times 13^1$ .
In dit systeem kijken we naar de exponenten (de machten):

De macht van 2 is 3.
De macht van 5 is 1.
De macht van 13 is 1.

Maar wacht, wat is 3? 3 is een priemgetal. Wat is 1? 1 is ().
Dus we schrijven de machten ook weer als haakjes. Het getal 520 wordt een complexe, geneste structuur van haakjes. Het is alsof je een Russische pop (Matroesjka) opent:

Je opent de buitenste doos (het getal 520).
Je ziet drie vakjes (voor de priemgetallen 2, 5 en 13).
In het vakje voor 2 staat een getal (3). Je opent dat vakje.
In dat vakje staat weer een getal (1). Je opent dat.
Uiteindelijk kom je uit bij de kleinste doosjes: ().

Het mooie is: je hebt geen optellen nodig om dit te lezen. Je hoeft alleen maar te kijken hoe de doosjes in elkaar zitten. Het is puur vermenigvuldiging en machtsverheffen, verpakt in een visueel patroon.

3. De "Dyck-woorden": De perfecte puzzelstukjes

De taal van haakjes die Childress gebruikt, heet in de wiskunde een Dyck-taal.
Stel je voor dat haakjes als kousen zijn.

Een ( is het openen van een kous.
Een ) is het dichttrekken.
Je mag nooit een kous dichttrekken als je er geen open hebt. En aan het einde moet je precies evenveel open als dichtgetrokken hebben.

Elk getal in dit systeem is een perfecte, gebalanceerde reeks kousen.

()() is goed (twee losse kousen).
(())) is fout (te veel dichtgetrokken).

Childress toont aan dat er een specifieke groep van deze perfecte kousenreeksen is die elk natuurlijk getal (0, 1, 2, 3...) precies één keer vertegenwoordigt. Geen dubbelingen, geen missers. Het is een unieke "spelling" voor elk getal.

4. De magische uitbreiding: Breuken en negatieve getallen

Het meest verrassende deel komt nu.
In de normale wereld heb je een minteken (-) nodig voor negatieve getallen en een komma (,) voor breuken.
In dit haakjes-systeem heb je niets extra's nodig. Je gebruikt nog steeds alleen ( en ).

Hoe?

Negatieve getallen: Als je aan het einde van je reeks haakjes nog één extra lege doosje () toevoegt, verandert het teken van het getal. Het is alsof je een "omkeer-knop" indrukt.
- ... is een positief getal.
- ...() is hetzelfde getal, maar dan negatief.
Breuken: Omdat je machten kunt gebruiken, kun je ook negatieve machten hebben. Een negatieve macht in de haakjes-structuur betekent automatisch een breuk.
- Het getal $\sqrt{2}$ (de wortel uit 2) is een heel complex, maar eindig, patroon van haakjes.
- Zelfs getallen die normaal gesproken oneindig zijn (zoals $\pi$ of $2^{\sqrt{2}}$ ), kunnen in dit systeem worden benaderd of beschreven met specifieke patronen.

Het is alsof je een taal hebt die zo flexibel is dat je er niet alleen "appels" mee kunt tellen, maar ook "min-appels" en "een kwart appel", zonder dat je nieuwe letters in het alfabet hoeft uit te vinden.

5. Waarom is dit nuttig? (De "Waarom"-vraag)

Je vraagt je misschien af: "Is dit handig om mijn bankrekening mee te controleren?"
Nee. Het is veel te lang en ingewikkeld voor alledaags gebruik.

Maar het is wel ontzettend nuttig voor onderzoekers in wiskunde en kunstmatige intelligentie (AI):

Patronen vinden: Omdat de structuur van het getal direct zichtbaar is in de haakjes, kun je patronen zien die in gewone cijfers verborgen blijven.
AI leren: Computers zijn goed in het herkennen van patronen in teksten. Als je een AI leert "lezen" in deze haakjes-taal, leert hij misschien sneller de regels van wiskunde en vermenigvuldiging, omdat de "grammatica" van de taal precies overeenkomt met de "grammatica" van de getallen.
Compressie: Het is een manier om getallen op te slaan die heel compact is voor bepaalde soorten getallen (zoals priemgetallen).

Samenvatting in één zin

Ralph Childress heeft een taal bedacht waarin elk getal een unieke, gebalanceerde reeks haakjes is, gebaseerd op hoe het getal is opgebouwd uit priemgetallen, waardoor we getallen kunnen "lezen" als een visueel patroon zonder willekeurige bases of extra tekens voor mintekens en breuken.

Het is als het vervangen van de cijfers op een klok door een reeks ingewikkeld samengestelde, maar perfect gebalanceerde, poppetjes die je stap voor stap kunt openen om te zien waar het getal vandaan komt.

Probleemstelling

De auteur identificeert twee fundamentele beperkingen van traditionele positionele nummersystemen (zoals het decimale stelsel):

Arbitraire basiskeuze: Het gebruik van een specifieke basis (bijv. 10) is conventioneel en niet inherent aan de getallen zelf. Dit verbergt bepaalde patronen in getallen en introduceert willekeurige eigenschappen (zoals deelbaarheid door 3 in het decimale stelsel, wat niet geldt in binaire systemen).
Complexiteit van evaluatie: De evaluatie van een positioneel getal vereist drie operaties: exponentiatie, vermenigvuldiging en optelling. De auteur stelt dat optelling een "overbodige" operatie is voor het representeren van de structuur van getallen, aangezien de unieke priemfactorisatie van een getal puur multiplicatief is.

Het doel is om een niet-positioneel nummersysteem te ontwikkelen dat:

Geen basis vereist.
Geen optelling nodig heeft voor evaluatie.
Alle natuurlijke getallen en een superset van de rationale getallen (inclusief bepaalde irrationale en transcedente getallen) uniek kan representeren.
Gebruikt maakt van een alfabet van slechts twee symbolen.

Methodologie

De kern van de methode is een recursieve uitbreiding van de priemfactorisatie, gekoppeld aan de theorie van formele talen, specifiek de Dyck-taal (de taal van evenwichtig gesloten haakparen).

Minimale Geneste Priemfactorisatie (MPPPF):
- In plaats van $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots$ , wordt het getal geschreven als een product van machten van opeenvolgende priemgetallen, waarbij niet-bijdragende machten (exponent 0) expliciet worden opgenomen.
- Elke exponent $a_i$ wordt zelf weer recursief vervangen door zijn eigen priemfactorisatie.
- Het resultaat wordt genoteerd met haakparen: elke term $p_i^{a_i}$ wordt omhuld door (), en de exponent $a_i$ wordt vervangen door de Dyck-woordrepresentatie van dat getal.
- Alle niet-haaktekens worden verwijderd, waardoor alleen een string van ( en ) overblijft.
Formele Definities:
- $\gamma_{Nr}$ (Spellingfunctie): Een bijectieve functie die een natuurlijk getal $n$ $n$ afbeeldt op een Dyck-woord.
  - $0 \to \epsilon$ (lege string).
  - $1 \to ()$ .
  - $n > 1 \to$ concatenatie van ( + $\gamma_{Nr}(a_i)$ + ) voor elke exponent $a_i$ in de geneste factorisatie.
- $\alpha_{Nr}$ (Evaluatiefunctie): De inverse die een Dyck-woord terugrekent naar een getal door de "chunks" (buitenste haakparen) te analyseren en de inhoud recursief te evalueren als exponenten van opeenvolgende priemgetallen.
Uitbreiding naar Superrationale Getallen:
- Om rationale getallen en negatieve exponenten te representeren, wordt een extra regel toegevoegd: een optioneel eindig paar haakparen () aan het einde van een woord duidt op een negatief teken.
- Dit stelt het systeem in staat om getallen zoals $-1$, $1/2$ , $\sqrt{2}$ (als $2^{2^{-1}}$ ) en zelfs transcedente getallen zoals $2^{\sqrt{2}}$ te representeren, allemaal binnen hetzelfde twee-symbolen alfabet.

Belangrijkste Bijdragen

Definitie van "Natural RPF" en "Superrational RPF":
- De auteur introduceert twee systemen: RPFNrmin (voor natuurlijke getallen) en RPFSrmin (voor superrationale getallen).
- Beide systemen gebruiken een alfabet van slechts twee symbolen (( en )).
- Het systeem voor natuurlijke getallen is een minimale interpretatie: er is een unieke representatie voor elk getal.
- Het systeem voor superrationale getallen is quasiminimaal: het is uniek voor de superrationale getallen, maar niet-minimaal voor de natuurlijke getallen (omdat extra haakparen negatie kunnen coderen).
Relatie met de Dyck-taal:
- De taal van de natuurlijke RPF-woorden ( $D_{rmin}$ ) is een eigen deelverzameling van de Dyck-taal $D$ .
- De auteur bewijst dat $D_{rmin}$ een context-vrije taal is en karakteriseert deze door specifieke syntactische beperkingen (bijv. het vermijden van de substring )()) en het niet eindigen op )()).
- De volledige Dyck-taal $D$ wordt voorgesteld als een "Dyck-complete" interpretatie, waarbij niet-minimale woorden (met "inflaties" of extra haakparen) meerdere getallen kunnen representeren, maar wel een unieke evaluatie hebben binnen een bepaalde context.
Algebraïsche Uitbreiding:
- Door de definitie van natuurlijke getallen te herformuleren als de sluiting van $\{0\}$ onder vermenigvuldiging en priem-exponentiatie, en vervolgens de operatie "negatie" toe te voegen, definieert de auteur de set Superrationale Getallen ( $S$ ).
- Deze set bevat alle rationale getallen, een deel van de algebraïsche irrationale getallen (zoals $\sqrt{2}$ ) en transcedente getallen (zoals $2^{\sqrt{2}}$ ).
Algoritmen en Berekeningen:
- Het paper presenteert algoritmen voor het omzetten van decimale getallen naar Dyck-woorden en vice versa.
- Er wordt een algoritme gepresenteerd om de priemfactorisatie van een Dyck-getal direct af te leiden zonder eerst naar decimaal te converteren.

Resultaten

Unieke Representatie: Het systeem bewijst dat het mogelijk is om alle natuurlijke getallen en een uitgebreide verzameling van getallen (rationaal, irrationaal, transcedent) uniek te coderen met alleen haakparen.
Eliminatie van Optelling: De evaluatie van een getal in dit systeem vereist uitsluitend vermenigvuldiging en exponentiatie; optelling is niet nodig voor de semantische betekenis van het getal.
Structuur en Patronen: Het systeem maakt het mogelijk om patronen in getallenreeksen te analyseren die gebaseerd zijn op de lengte of structuur van hun Dyck-woord (bijv. "stripes" van getallen met dezelfde semilengte).
Toepasbaarheid op AI: De auteur suggereert dat deze representaties waardevol kunnen zijn voor het trainen van Transformer-modellen (LLM's), omdat de structuur van de Dyck-woorden de onderliggende rekenkundige relaties (priemfactoren) direct weergeeft, in tegenstelling tot positionele systemen.

Significantie en Toekomstperspectief

Wiskundige Fundamenten: Het werk biedt een nieuw perspectief op getaltheorie door deze te benaderen via formele talen en grammatica's in plaats van alleen algebra. Het verbindt de fundamentele stelling van de rekenkunde met de theorie van context-vrije grammatica's.
Informatica: De representatie is relevant voor datacompressie (aangezien de structuur van getallen compact wordt weergegeven) en voor het bestuderen van de leerbaarheid van rekenkundige structuren door AI-modellen.
Kryptografie: Het paper merkt op dat subsets van deze taal (zoals die voor priemgetallen en semipriemgetallen) kunnen worden beschreven met reguliere expressies, wat potentiële toepassingen heeft in het analyseren van cryptografische structuren.
Filosofische Implicatie: Het systeem demonstreert dat de "essentie" van een getal (zijn priemfactorisatie) kan worden blootgelegd zonder de willekeur van een gekozen basis, waardoor patronen directer zichtbaar worden.

Kortom, dit paper introduceert een elegant, recursief nummersysteem dat de diepe relatie tussen priemgetallen, exponentiatie en de structuur van haakparen (Dyck-woorden) blootlegt, en biedt een brug tussen getaltheorie, formele talen en computationele leerbaarheid.