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Constraining the $f$ -mode oscillations frequency in Neutron Stars through Universal Relations in the realm of Energy-Momentum Squared Gravity

मूल लेखक: Sayantan Ghosh

प्रकाशित 2026-02-02

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मूल लेखक: Sayantan Ghosh

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल ब्रह्मांडीय प्रयोगशाला है। इस लैब के भीतर, कुछ सबसे चरम वस्तुएं मौजूद हैं: न्यूट्रॉन तारे (Neutron Stars)। ये विशाल तारों के मृत, अत्यंत सघन कोर हैं जो ढह चुके हैं। ये इतने भारी हैं कि इनके पदार्थ का एक चम्मच पृथ्वी पर एक अरब टन वजन रखेगा। ये इतने घने हैं कि इनका गुरुत्वाकर्षण अविश्वसनीय रूप से मजबूत है, जो इन्हें यह परीक्षण करने के लिए एक आदर्श स्थान बनाता है कि गुरुत्वाकर्षण के नियम कैसे काम करते हैं।

लंबे समय से, वैज्ञानिक गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करने के लिए आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता (General Relativity - GR) के सिद्धांत का उपयोग करते आए हैं। यह बहुत अच्छा काम करता है, लेकिन इसमें कुछ कमियां हैं, विशेष रूप से ब्रह्मांड की शुरुआत या ब्लैक होल के केंद्रों से निपटने के दौरान। इसलिए, वैज्ञानिक एक "बैकअप थ्योरी" की तलाश कर रहे हैं ताकि यह देखा जा सके कि क्या वे डेटा के साथ बेहतर फिट बैठती हैं।

यह शोध पत्र ऐसी ही एक बैकअप थ्योरी का अन्वेषण करता है जिसे एनर्जी-मोमेंटम स्क्वेयर्ड ग्रेविटी (EMSG) कहा जाता है।

एक तारे की "रेसिपी"

एक न्यूट्रॉन तारे को समझने के लिए, आपको एक रेसिपी की आवश्यकता होती है। भौतिकी में, इस रेसिपी को इक्वेशन ऑफ स्टेट (EOS) कहा जाता है। यह हमें बताता है कि अत्यधिक दबाव के तहत तारे की सामग्री कैसे व्यवहार करती है। लेखकों ने तीन अलग-अलग "फ्लेवर्स" की रेसिपी का परीक्षण किया:

स्टिफ (Stiff): एक बहुत ही कठोर, अडिग चट्टान की तरह।
सॉफ्ट (Soft): एक स्पंजी स्पंज की तरह।
इंटरमीडिएट (Intermediate): दोनों के बीच कहीं।

नया घटक: "अल्फा" पैरामीटर

इस अध्ययन में मुख्य मोड़ है जिसे गुरुत्वाकर्षण की रेसिपी में एक नया घटक जोड़ा गया है जिसे $\alpha$ (अल्फा) कहा जाता है।

मानक आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण में, यह घटक शून्य है।
इस नई थ्योरी (EMSG) में, $\alpha$ एक छोटा सकारात्मक नंबर या एक छोटा नकारात्मक नंबर हो सकता है।

$\alpha$ को गुरुत्वाकर्षण के लिए एक वॉल्यूम नॉब (वॉल्यूम कंट्रोल) के रूप में समझें।

यदि आप नॉब को पॉजिटिव (सकारात्मक) की ओर घुमाते हैं, तो गुरुत्वाकर्षण "कठोर" हो जाता है (तारा दबने का अधिक विरोध करता है)।
यदि आप इसे नेगेटिव (नकारात्मक) की ओर घुमाते हैं, तो गुरुत्वाकर्षण "नरम" हो जाता है (तारा अधिक आसानी से दब जाता है)।

तारों का "गाना"

न्यूट्रॉन तारे केवल स्थिर नहीं रहते; वे कंपन करते हैं। एक घंटी को बजाने की कल्पना करें। वह एक विशिष्ट पिच के साथ बजती है। न्यूट्रॉन तारे भी बजते हैं, लेकिन ध्वनि के बजाय, वे स्पेस-टाइम में लहरें भेजते हैं जिन्हें गुरुत्वाकर्षण तरंगें (Gravitational Waves) कहा जाता है।

तारे द्वारा गाई जाने वाली विशिष्ट "नोट" या फ्रीक्वेंसी को f-mode कहा जाता है।

लक्ष्य: लेखक यह पता लगाना चाहते थे कि एक न्यूट्रॉन तारा क्या नोट गाएगा यदि ब्रह्मांड मानक आइंस्टीन नियमों के बजाय इस नई EMSG थ्योरी के नियमों का पालन करता है।
खोज: उन्होंने पाया कि तारे की "पिच" $\alpha$ $α$ नॉब पर निर्भर करती है।
- पॉजिटिव $\alpha$ : तारा विकृत होने के प्रति कठिन हो जाता है, इसलिए यह एक नीचा नोट (कम फ्रीक्वेंसी) गाता है।
- नेगेटिव $\alpha$ : तारा विकृत होने के लिए आसान हो जाता है, इसलिए यह एक ऊंचा नोट (उच्च फ्रीक्वेंसी) गाता है।

सार्वभौमिक "चीट कोड्स"

न्यूट्रॉन तारों की सबसे कूल बात यह है कि वे "यूनिवर्सल रिलेशंस" (Universal Relations) का पालन करते हैं। ये चीट कोड्स या शॉर्टकट की तरह हैं।

भले ही हमें किसी विशिष्ट तारे की सटीक रेसिपी (EOS) का पता न हो, हम जानते हैं कि उसका आकार, उसका वजन, और उसकी गायन पिच गणितीय रूप से जुड़े हुए हैं।
लेखकों ने इन लिंक्स का उपयोग करके एक मानचित्र बनाया। यदि हम जानते हैं कि एक टक्कर से तारे का कितना डगमगाना (Tidal Deformability) होता है, तो हम भविष्यवाणी कर सकते हैं कि वह वास्तव में क्या नोट गाएगा।

परीक्षण की कसौटी

लेखकों ने दो प्रसिद्ध ब्रह्मांडीय टक्करों से प्राप्त वास्तविक डेटा लिया जिसे गुरुत्वाकर्षण तरंग वेधशालाओं द्वारा पता लगाया गया था: GW170817 और GW190814।

उन्होंने "यूनिवर्सल रिलेशंस" का उपयोग यह गणना करने के लिए किया कि इन घटनाओं के लिए "गायन पिच" (f-mode frequency) क्या होनी चाहिए।
उन्होंने यह जांचा कि $\alpha$ नॉब को बदलने पर यह पिच कैसे बदलती है (नई गुरुत्वाकर्षण थ्योरी)।
परिणाम: उन्होंने पाया कि नई थ्योरी (EMSG) अनुमानित पिच को बदल देती है। उदाहरण के लिए, मानक थ्योरी (आइंस्टीन) के साथ, एक 1.4-सौर-द्रव्यमान वाला तारा लगभग 2.66 kHz पर गा सकता है। नई थ्योरी के साथ, यह पिच $\alpha$ के पॉजिटिव या नेगेटिव होने के आधार पर ऊपर या नीचे जा सकती है।

फेज ट्रांजिशन का सरप्राइज

अध्ययन में यह भी देखा गया कि जब दबाव अविश्वसनीय रूप से बढ़ जाता है, तो तारे के अंदर क्या होता है।

उन्होंने पाया कि "स्टिफ" रेसिपी के लिए, तारा बहुत उच्च घनत्व पर एक फेज ट्रांजिशन (जैसे पानी का बर्फ में बदलना, लेकिन तारे के पदार्थ के लिए) से गुजरता है।
यह रेसिपी और $\alpha$ नॉब के आधार पर अलग-अलग गहराइयों पर होता है। यह केक के अंदर चॉकलेट की एक छिपी हुई परत खोजने जैसा है जो केवल विशिष्ट तापमान पर बेक करने पर ही दिखाई देती है।

निचोड़

यह पेपर यह दावा नहीं करता है कि इसने कोई नया तारा खोजा है या यह बदला है कि हम पुल कैसे बनाते हैं। यह एक सैद्धांतिक अभ्यास है। यह कहता है:
"यदि गुरुत्वाकर्षण आइंस्टीन की तुलना में थोड़ा अलग तरीके से काम करता है (विशेष रूप से इस EMSG थ्योरी के साथ), तो न्यूट्रॉन तारे वर्तमान भविष्यवाणियों की तुलना में थोड़े अलग आवृत्तियों पर कंपन करेंगे।"

भविष्य में न्यूट्रॉन तारों के "गीतों" को सुनकर, खगोलशास्त्री यह बता पाएंगे कि $\alpha$ नॉब को ऊपर घुमाया गया है, नीचे किया गया है, या क्या यह वास्तव में शून्य है (जिसका अर्थ है कि आइंस्टीन सही थे)। यह पेपर उन अंतरों को सुनने में मदद करने के लिए गणितीय मानचित्र प्रदान करता है।

तकनीकी सारांश: एनर्जी-मोमेंटम स्क्वेयर्ड ग्रेविटी में यूनिवर्सल रिलेशंस के माध्यम से न्यूट्रॉन सितारों में f-mode ऑसिलेशन को सीमित करना

समस्या विवरण
न्यूट्रॉन सितारे (NSs) उच्च-वक्रता वाले क्षेत्रों में गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों के परीक्षण के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण खगोलीय प्रयोगशालाएं हैं। जबकि सामान्य सापेक्षता (GR) सफल रही है, डार्क मैटर, डार्क एनर्जी और सिंगुलैरिटी से संबंधित अनसुलझे मुद्दे संशोधित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों की खोज को प्रेरित करते हैं। विशेष रूप से, एनर्जी-मोमेंटम स्क्वेयर्ड ग्रेविटी (EMSG), जो ऊर्जा-मोमेंटम टेंसर ( $T_{\mu\nu}T^{\mu\nu}$ ) से जुड़े गैर-रेखीय पदों को शामिल करके GR का विस्तार करती है, सघन पदार्थ परिवेशों में GR से विचलन को जांचने के लिए एक ढांचा प्रदान करती है। एक महत्वपूर्ण चुनौती EMSG ढांचे के भीतर न्यूट्रॉन सितारों के फंडामेंटल-मोड (f-mode) दोलन आवृत्तियों को सीमित करने की है। जबकि GR में दोलन आवृत्तियों को स्थूल गुणों (जैसे कॉम्पैक्टनेस और टाइडल डिफॉर्मेबिलिटी) से जोड़ने वाले यूनिवर्सल रिलेशंस (URs) स्थापित किए गए हैं, EMSG में उनके व्यवहार और अनुप्रयोग, विशेष रूप से $\alpha$ पैरामीटर के संबंध में, अभी तक अनछुए हैं।

कार्यप्रणाली
यह अध्ययन एक बहु-चरणीय सैद्धांतिक और संख्यात्मक दृष्टिकोण अपनाता है:

सैद्धांतिक ढांचा: लेखक आइंस्टीन-हिल्बर्ट एक्शन को $\alpha T_{\mu\nu}T^{\mu\nu}$ पद के साथ संशोधित करके EMSG के लिए फील्ड इक्वेशंस व्युत्पन्न करते हैं। इससे संशोधित आइंस्टीन फील्ड इक्वेशंस प्राप्त होती हैं जहाँ मानक ऊर्जा-मोमेंटम टेंसर को एक प्रभावी टेंसर ( $T^{\mu\nu}_{eff}$ ) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसमें प्रभावी ऊर्जा घनत्व ( $E_{eff}$ ) और प्रभावी दबाव ( $P_{eff}$ ) शामिल होते हैं।
हाइड्रोस्टेटिक इक्विलिब्रियम: संशोधित टॉलमैन-ओपेनहाइमर-वोल्कॉफ (TOV) समीकरण व्युत्पन्न और संख्यात्मक रूप से हल किए जाते हैं। अध्ययन में तीन अलग-अलग इक्वेशन ऑफ स्टेट (EOS) का उपयोग किया गया है: स्टिफ (Stiff), इंटरमीडिएट (Intermediate), और सॉफ्ट (Soft)। $\alpha$ के मुक्त पैरामीटर को द्रव्यमान-त्रिज्या संबंधों को उत्पन्न करने के लिए एक सीमा ( $-5.01 \times 10^{-38}$ से $+5.01 \times 10^{-38}$ cm $^3$ /erg) के बीच परिवर्तित किया जाता है।
नॉन-रेडियल ऑसिलेशन्स: कॉलिंग सन्निकटन (Cowling approximation - मेट्रिक परटर्बेशन्स को नजरअंदाज करते हुए) के भीतर, लेखक गैर-रेडियल दोलनों के लिए लीनियरलाइज्ड परटर्बेशन इक्वेशंस को हल करते हैं। वे विशेष रूप से क्वाड्रुपोलर ( $l=2$ ) f-mode फ्रीक्वेंसी पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जिसमें EMSG ढांचे से प्राप्त प्रभावी ऊर्जा और दबाव का उपयोग किया जाता है।
यूनिवर्सल रिलेशंस (URs): अध्ययन दो प्रमुख URs स्थापित करता है:
- f-Love रिलेशन: सामान्यीकृत f-मोड फ्रीक्वेंसी ( $\bar{\omega}$ ) और टाइडल लव नंबर ( $\Lambda$ ) के बीच एक सहसंबंध।
- C-f रिलेशन: स्टेलर कॉम्पैक्टनेस ( $C = M/R$ ) और f-मोड फ्रीक्वेंसी के बीच एक सहसंबंध।
  इन संबंधों को विभिन्न $\alpha$ मानों के लिए लीस्ट-स्क्वेयर्स पॉलीनोमियल एप्रोक्सिमेशन का उपयोग करके फिट किया जाता है।
सीमाएं (Constraints): GW170817 और GW190814 के अवलोकनीय डेटा, विशेष रूप से उनके टाइडल डिफॉर्मेबिलिटी बाधाओं का उपयोग करते हुए, लेखक $1.4 M_{\odot}$ द्रव्यमान वाले NSs के लिए कैनोनिकल f-mode आवृत्तियों को सीमित करने के लिए व्युत्पन्न URs को लागू करते हैं।

मुख्य योगदान

EMSG TOV समीकरणों का व्युत्पत्ति: यह शोध पत्र $\alpha$ पैरामीटर को शामिल करते हुए स्पष्ट संशोधित TOV समीकरण प्रदान करता है और इसे कई EOS मॉडलों के लिए हल करता है।
EMSG यूनिवर्सल रिलेशंस की स्थापना: यह कार्य पहली बार विशेष रूप से EMSG ढांचे के भीतर f-Love और C-f यूनिवर्सल रिलेशंस की जांच और मात्रा निर्धारण करता है। यह प्रदर्शित करता है कि ये संबंध $\alpha$ के चिह्न और परिमाण पर कैसे निर्भर करते हैं।
फ्रीक्वेंसी कंस्ट्रेंट्स: अध्ययन कैनोनिकल NSs के लिए f-mode दोलन आवृत्तियों को सीमित करता है, जिसकी तुलना GR भविष्यवाणियों और पिछले साहित्य से की जाती है।
फेज ट्रांजिशन विश्लेषण: दबाव-घनत्व प्रोफाइल का विश्लेषण स्टिफ, इंटरमीडिएट और सॉफ्ट EOS के लिए स्पष्ट प्रथम-क्रम फेज ट्रांजिशन को प्रकट करता है, जिसमें स्टिफ EOS उच्चतम ऊर्जा घनत्व पर संक्रमण से गुजरता है।

परिणाम

ऑसिलेशन्स पर $\alpha$ का प्रभाव: f-मोड फ्रीक्वेंसी $\alpha$ पर स्पष्ट निर्भरता दिखाती है। एक निश्चित द्रव्यमान के लिए, फ्रीक्वेंसी कम हो जाती है जब $\alpha$ अधिक सकारात्मक होता है और बढ़ जाती है जब $\alpha$ अधिक नकारात्मक होता है।
यूनिवर्सल रिलेशन की मजबूती: f-Love और C-f संबंध EMSG में मान्य रहते हैं लेकिन उनमें EOS संवेदनशीलता भिन्न होती है जो $\alpha$ के साथ बदलती है। अध्ययन पाता है कि नकारात्मक $\alpha$ मान f-Love संबंध की EOS-असंवेदनशीलता को बढ़ाते हैं, जबकि सकारात्मक $\alpha$ मान कम किए गए $\chi^2_r$ त्रुटियों को बढ़ाते हैं, जो GR ( $\alpha=0$ ) मामले की तुलना में थोड़ी गिरावट का सुझाव देते हैं।
कैनोनिकल फ्रीक्वेंसी: GR केस ( $\alpha=0$ ) के लिए, अध्ययन GW170817 के लिए $f_{1.4} = 2.659^{+0.458}_{-0.491}$ kHz और GW190814 के लिए $2.143^{+0.127}_{-0.153}$ kHz की कैनोनिकल f-मोड फ्रीक्वेंसी का अनुमान लगाता है। ये मान पिछले कुछ GR अध्ययनों की तुलना में लगभग 30-35% अधिक हैं, जिसे लेखक इस कार्य में पूर्ण-GR फॉर्मलिज्म के बजाय कॉलिंग सन्निकटन के उपयोग के कारण बताते हैं।
मास-रेडियस कंस्ट्रेंट्स: C-f UR का उपयोग करके, लेखक अनुमत मास-रेडियस ( $M-R$ ) क्षेत्रों को मैप करते हैं। वे पाते हैं कि एक निश्चित फ्रीक्वेंसी के लिए, सकारात्मक $\alpha$ मान आम तौर पर छोटे त्रिज्या (उच्च कॉम्पैक्टनेस) की ओर ले जाते हैं, जबकि नकारात्मक $\alpha$ मान बड़े त्रिज्या की ओर ले जाते हैं।
साउंड स्पीड: पूरे स्टेलर रेडियस में साउंड स्पीड प्रोफाइल ( $c_s^2$ ) सभी परीक्षण किए गए $\alpha$ मानों के लिए कौजलिटी ( $c_s^2 \leq 1$ ) और कॉन्फॉर्मल सीमाओं को संतुष्ट करती है, जो मॉडलों की भौतिक वैधता की पुष्टि करती है।

महत्व और दावे
यह शोध दावा करता है कि EMSG, GR की तुलना में न्यूट्रॉन सितारों के स्थूल गुणों में महत्वपूर्ण संशोधन लाता है, जो EOS की कठोरता को बदल देता है और फलस्वरूप द्रव्यमान-त्रिज्या संबंधों, टाइडल डिफॉर्मेबिलिटी और दोलन आवृत्तियों को प्रभावित करता है। अध्ययन का तर्क है कि EMSG में व्युत्पन्न यूनिवर्सल रिलेशंस वैकल्पिक गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों के परीक्षण के लिए एक व्यवहार्य उपकरण प्रदान करते हैं। GW170817 और GW190814 के अवलोकनीय डेटा का उपयोग करके f-मोड आवृत्तियों को सीमित करके, यह कार्य सुझाव देता है कि भविष्य के गुरुत्वाकर्षण तरंग अवलोकन दोलन आवृत्तियों और टाइडल डिफॉर्मेबिलिटी में विचलन का पता लगाकर GR और EMSG के बीच अंतर करने में सक्षम हो सकते हैं। लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि EMSG स्ट्रॉन्ग-फील्ड ग्रेविटी और सघन पदार्थ का अध्ययन करने के लिए एक सम्मोहक दृष्टिकोण प्रदान करता है, जिसमें भविष्य के GW अवलोकनों के माध्यम से इस सिद्धांत को मान्य या सीमित करने की क्षमता है।