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Interpolation of generalized Heegner classes along quaternionic Coleman families

यह शोध पत्र जेचेव, लोफ़लरर और ज़र्बेस की कार्यप्रणाली का विस्तार करते हुए, एक कोलमैन परिवार (Coleman family) के अनुदिश क्वाटरनियनिक मॉड्यूलर रूपों (quaternionic modular forms) से जुड़े वर्गों का $p$ -एडिक रूप से अंतर्वेशन (interpolation) करके बड़े सामान्यीकृत हीगनर वर्गों (generalized Heegner classes) का निर्माण करता है।

मूल लेखक: Eris Rocha Walchek

प्रकाशित 2026-05-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Eris Rocha Walchek

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप संख्याओं के छिपे हुए पैटर्न के बारे में एक विशाल, प्राचीन पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं। गणितज्ञ लंबे समय से संदेह कर रहे हैं कि कुछ जटिल समीकरणों (जिन्हें L-फंक्शंस कहा जाता है) का "आकार" सीधे तौर पर इस बात से जुड़ा होता है कि उन समीकरणों के कितने समाधान होते हैं। इसे ब्लॉक-काटो अनुमान (Bloch–Kato conjecture) के रूप में जाना जाता है (जो प्रसिद्ध बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान का एक भव्य सामान्यीकरण है)।

इसे सिद्ध करने के लिए, गणितज्ञ एक शक्तिशाली उपकरण का उपयोग करते हैं जिसे यूलर सिस्टम (Euler system) कहा जाता है। एक यूलर सिस्टम को बिखरे हुए "सुरागों" या "ब्रेडक्रंब्स" (रोटी के टुकड़ों) के सेट के रूप में सोचें जो एक विशाल परिदृश्य में फैले हुए हैं। यदि आप पर्याप्त सुराग पा सकते हैं और यह दिखा सकते हैं कि वे एक विशिष्ट, पूर्वानुमानित तरीके से एक साथ फिट बैठते हैं, तो आप उस अनुमान को सिद्ध कर सकते हैं।

दशकों तक, ये सुराग हीगनर पॉइंट्स (Heegner points) का उपयोग करके खोजे गए थे—जो एक "मॉड्यूलर कर्व" नामक ज्यामितीय परिदृश्य के विशेष, अलग-थलग स्थान हैं। हालाँकि, ये बिंदु केवल बहुत सख्त स्थितियों के तहत ही मौजूद होते हैं, जैसे कि किसी विशिष्ट दरवाजे को खोलने के लिए एक विशिष्ट चाबी की आवश्यकता होना। इसने खोले जाने वाले दरवाजों की संख्या को सीमित कर दिया था।

समस्या: बहुत सारे दरवाजे, बहुत कम चाबियाँ

हाल के वर्षों में, गणितज्ञों ने सामान्यीकृत हीगनर क्लासेस (generalized Heegner classes) का उपयोग करके इन सुरागों को अधिक लचीला बनाने का एक तरीका खोजा है। केवल एक बिंदु के बजाय, वे जटिल ज्यामितीय आकृतियों (साइकिल) का उपयोग करते हैं जो बहुत अधिक स्थितियों में मौजूद हो सकती हैं। लेकिन इसमें एक पेच था: ये नए, लचीले सुराग केवल व्यक्तिगत, स्थिर संख्याओं (विशिष्ट "वेट्स" वाले मॉड्यूलर फॉर्म्स) के लिए उपलब्ध थे।

इन सभी संख्याओं के लिए पहेली को हल करने के लिए, आपको इन व्यक्तिगत सुरागों को एक एकल, निरंतर प्रवाह में जोड़ने का एक तरीका चाहिए। यहीं पर कोलमैन फैमिलीज़ (Coleman families) काम आती हैं। एक कोलमैन फैमिली को केवल एक संख्या के रूप में नहीं, बल्कि एक सुचारू, बहती हुई नदी के रूप में कल्पना करें जो कई अलग-अलग संख्याओं से होकर गुजरती है। यदि आप एक सुराग को इस नदी में एक बिंदु पर गिरा देते हैं, तो क्या आप उसे "इंटरपोलेट" (यानी फैलाना) कर सकते हैं ताकि वह नदी के हर अन्य बिंदु तक निरंतर रूप से बह सके?

द ब्रेकथ्रू: क्वाटरनियोनिक नदी (The Quaternionic River)

E. रोचा वाल्चेक का शोध पत्र इस समस्या के एक विशिष्ट, कठिन संस्करण को संबोधित करता है।

परिदृश्य में परिवर्तन: अधिकांश पिछला कार्य "एलिप्टिक" परिदृश्यों (जैसे मानक पहाड़ियों) पर हुआ था। यह शोध कार्य को क्वाटरनियोनिक (quaternionic) परिदृश्यों में ले जाता है। इसे एक सपाट, 2D मानचित्र से एक जटिल, 4D भूभाग पर जाने के रूप में समझें। इसमें नेविगेट करना कठिन है, लेकिन यह हमें उन क्षेत्रों (संख्या क्षेत्रों) तक पहुँचने की अनुमति देता है जो पहले दुर्गम थे।
"हाफिंग" (आधा करने का) तरीका: क्वाटरनियोनिक वस्तुएं स्वाभाविक रूप से उन एलिप्टिक वस्तुओं की तुलना में "दोगुनी बड़ी" होती हैं जिनका हम उपयोग करते हैं। उन्हें परिचित सुरागों की तरह व्यवहार करने के लिए, लेखक एक गणितीय "छलनी" (इडेम्पोटेंट) का उपयोग करके उनके आयाम को आधा कर देते हैं। यह एक विशाल, भारी सूटकेस को जादू से एक कैरी-ऑन बैग में बदलने जैसा है, जिससे वह छोटे, परिचित सुरागों के समान पथों पर यात्रा कर सके।
मुख्य उपलब्धि: लेखक सफलतापूर्वक "बिग जनरलाइज्ड हीगनर क्लासेस" (Big Generalized Heegner Classes) का निर्माण करते हैं।
- रूपक: एक विशिष्ट लैंडमार्क (एक क्लासिकल हीगनर क्लास) की एक उच्च-गुणवत्ता वाली तस्वीर की कल्पना करें। लेखक एक जीवंत, सांस लेते हुए होलोग्राम (वह "बिग" क्लास) का निर्माण करते हैं जिसमें वह तस्वीर भी शामिल है और जो कोलमैन फैमिली के नदी के साथ चलते हुए हर संभव भिन्नता को दिखाने के लिए सुचारू रूप से बदलती और अनुकूलित होती है।
- विधि: वे क्वाटरनियोनिक परिदृश्य से इन सुरागों के "आधार वेक्टर" (कच्चे निर्देशांक) लेते हैं और p-एडिक इंटरपोलेशन (p-adic interpolation) नामक तकनीक का उपयोग करते हैं। यह अलग-अलग समय पर ली गई तस्वीरों की एक श्रृंखला को लेकर उन्हें एक निर्बाध मूवी में जोड़ने जैसा है। वे सिद्ध करते हैं कि ये आपस में जुड़े हुए सुराग अभी भी सख्त "यूलर सिस्टम" के नियमों का पालन करते हैं (ब्रेडक्रंब्स अभी भी पूरी तरह से एक साथ फिट बैठते हैं)।

परिणाम

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि आप इन जटिल, क्वाटरनियोनिक सुरागों को मॉड्यूलर फॉर्म्स के एक परिवार के साथ इंटरपोलेट कर सकते हैं। परिणाम एक एकल, विशाल गणितीय वस्तु (वह "बिग" क्लास) है, जो जब आप किसी विशिष्ट संख्या (एक क्लासिकल वेट) पर "ज़ूम इन" करते हैं, तो उस संख्या के लिए सही, ज्ञात सुराग वापस दे देता है।

सरल शब्दों में:
लेखक ने एक यूनिवर्सल एडाप्टर बनाया है। पहले, आपको हर अलग ताले (हर अलग संख्या क्षेत्र) के लिए एक अलग चाबी की आवश्यकता होती थी। अब, उन्होंने एक मास्टर की (Master Key) (बिग जनरलाइज्ड हीगनर क्लास) बना दी है जो एक ही बार में तालों के पूरे परिवार के लिए काम करती है, यहाँ तक कि सबसे कठिन, 4D क्वाटरनियोनिक वातावरणों में भी। यह ब्लॉक-काटो अनुमान को इन पहले से अप्राप्य क्षेत्रों में सिद्ध करने का मार्ग प्रशस्त करता है।

यह शोध पत्र क्या नहीं करता है:
यह शोध पत्र इस स्तर पर रुक जाता है कि मास्टर की कैसे बनाई जाए और यह गणितीय रूप से कैसे काम करती है, यह सिद्ध कर दिया जाए। यह अभी तक उस चाबी का उपयोग अंतिम पहेली (पूर्ण अनुमान) को हल करने के लिए या क्रिप्टोग्राफी या भौतिकी जैसी वास्तविक दुनिया की समस्याओं पर लागू करने के लिए नहीं करता है। यह आवश्यक आधार तैयार करता है ताकि भविष्य के गणितज्ञ इस चाबी को उठाकर काम पूरा कर सकें।

यहाँ E. Rocha Walchek के शोध पत्र "Interpolation of Generalized Heegner Classes Along Quaternionic Coleman Families" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण और संदर्भ (Problem Statement and Context)

यह शोध पत्र गणितीय ज्यामिति (arithmetic geometry) की एक केंद्रीय समस्या को संबोधित करता है: मॉड्यूलर रूपों (modular forms) से जुड़ी गैलुआ निरूपणों (Galois representations) के लिए ब्लॉक-काटो अनुमान (Bloch–Kato conjecture) के अध्ययन हेतु यूलर सिस्टम (Euler systems) का निर्माण करना।

पृष्ठभूमि (Background): ब्लॉक-काटो अनुमान $L$ -फंक्शन्स के शून्य होने के क्रम (order of vanishing) को सेल्मर समूहों (Selves groups) के आकार से जोड़ता है। इन समूहों को सीमित करने के लिए एक प्राथमिक उपकरण यूलर सिस्टम (norm-compatible families of cohomology classes) का निर्माण है।
मौजूदा कार्य (Existing Work):
- एलिप्टिक कर्व्स ( $GL_2$ ) के लिए, हीगनर पॉइंट्स (Heegner points) ऐसे सिस्टम प्रदान करते हैं (कोलीवागिन द्वारा)।
- उच्च भार वाले मॉड्यूलर रूपों के लिए, सामान्यीकृत हीगनर चक्र (Generalized Heegner Cycles) ([BDP13] द्वारा) पेश किए गए थे।
- इंटरपोलेशन (Interpolation): हॉवर्ड, बुयुकबोदुक-लेई, और जेटचेव-लोफ़्लर-ज़ेर्ब्स ([JLZ21]) ने एलिप्टिक मॉड्यूलर रूपों की हिडा परिवारों (Hida families) (ordinary, slope 0) और कोलमैन परिवारों (Coleman families) (finite slope) के साथ इन वर्गों को सफलतापूर्वक इंटरपोलेट किया, जिससे "बिग हीगनर क्लासेस" (Big Heegner classes) का निर्माण हुआ।
अंतराल (The Gap): जबकि क्वाटरनियोनिक (quaternionic) मॉड्यूलर रूपों (जो शिमुरा कर्व्स और अनिश्चित क्वाटरनियन बीजगणित से जुड़े हैं, जैसा कि ब्रूक्स [HB15] द्वारा विकसित किया गया है) के लिए सामान्यीकृत हीगनर चक्रों का सिद्धांत मौजूद है, क्वाटरनियोनिक सेटिंग में कोलमैन परिवारों के साथ इन वर्गों का p-एडिक इंटरपोलेशन (p-adic interpolation) स्थापित नहीं किया गया था।
उद्देश्य (Objective): कोलमैन (finite slope) परिवार के क्वाटरनियोनिक मॉड्यूलर रूपों से जुड़े generalized Heegner classes को p-एडिक रूप से इंटरपोलेट करके "बिग जनरलाइज्ड हीगनर क्लासेस" (Big Generalized Heegner Classes) का निर्माण करना, और [JLZ21] की विधियों को अनिश्चित क्वाटरनियोनिक सेटिंग में अनुकूलित करना।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक ज्यामितीय और कोहोमोलॉजिकल दृष्टिकोण अपनाते हैं, जो मोटिव्स (motives) और शिमुरा वेरिएटीज़ (Shimura varieties) के सिद्धांत के माध्यम से शास्त्रीय मॉड्यूलर रूपों और p-एडिक परिवारों के बीच के अंतर को पाटता है।

A. ज्यामितीय सेटअप (The Geometric Setup)

अनिश्चित क्वाटरनियोनिक सेटिंग (Indefinite Quaternionic Setting): यह कार्य एक अनिश्चित क्वाटरनियन बीजगणित $B$ के ऊपर किया गया है जिसका डिस्क्रीमिनेंट $N^- > 1$ है। मॉड्यूलर रूप शास्त्रीय मॉड्यूलर कर्व्स के बजाय शिमुरा कर्व्स $\tilde{X}_m$ (QM अबेलियन सतहों को वर्गीकृत करने वाले) पर परिभाषित हैं।
सामान्यीकृत कुगा-साटो वेरिएटीज़ (Generalized Kuga–Sato Varieties): लेखक सामान्यीकृत कुगा-साटो वैराइटी $W_{k,m}$ को शिमुरा कर्व पर यूनिवर्सल अबेलियन सतह $\tilde{A}_m$ के फाइबर प्रोडक्ट के रूप में परिभाषित करते हैं।
सामान्यीकृत हीगनर चक्र (Generalized Heegner Cycles): एक निश्चित CM अबेलियन सतह $A$ और एक सतह $A_{cp^n}$ के बीच एक आइसोजेनी (isogeny) $\phi$ का उपयोग करके, लेखक $W_{k,m}$ के चाओ ग्रुप (Chow group) में एक चक्र $\Delta^{[k]}_{\phi, m}$ का निर्माण करते हैं।
लीबरमैन की ट्रिक (Lieberman's Trick): कोहोमोलॉजी को सरल बनाने के लिए, लेखक लीबरमैन की ट्रिक का उपयोग करते हैं ताकि चक्र को उच्च-आयामी वैराइटी $W_{k,m}$ से शिमुरा कर्व $\tilde{X}_m$ पर मैप किया जा सके, जिसमें अबेलियन सतह के एतले रियलाइजेशन (étale realization) के सिमेट्रिक टेंसर वाले अधिक जटिल कोएफिशिएंट शीफ (coefficient sheaf) के साथ काम करना शामिल है।

B. इंटरपोलेशन रणनीति (The Interpolation Strategy)

मुख्य कार्यप्रणाली जेटचेव-लोफ़्लर-ज़ेर्ब्स दृष्टिकोण का अनुसरण करती है:

हीगनर पॉइंट्स से आधार वेक्टर (Basis Vectors from Heegner Points): चक्रों को सीधे इंटरपोलेट करने के बजाय, लेखक मोटिव से जुड़े प्रतिनिधित्व स्थान (representation space) में आधार वेक्टर्स (basis vectors) को इंटरपोलेट करते हैं। ये वेक्टर्स शिमुरा कर्व्स पर हीगनर पॉइंट्स से निर्मित होते हैं।
ओवरकन्वर्जेंट प्रोजेक्टर्स (Overconvergent Projectors): लेखक आधार वेक्टर्स $e^{[k,j]}_{cp^n}$ (जो भार $k$ पर निर्भर करते हैं) को वेट स्पेस $U$ पर परिभाषित वितरण-मानित वेक्टर (distribution-valued vector) $e^{[U,j]}_{cp^n}$ में इंटरपोलेट करने के लिए लोफ़्लर-ज़ेर्ब्स ओवरकन्वर्जेंट प्रोजेक्टर ( $\Pi_j$ ) का उपयोग करते हैं।
बिग गिसिन मैप (Big Gysin Map): इन इंटरपोलेटेड आधार वेक्टर्स को शिमुरा कर्व के कोहोमोलॉजी में पुश फॉरवर्ड करने के लिए एक "बिग गिसिन मैप" बनाया जाता है, जिससे बिग जनरलाइज्ड हीगनर क्लासेस प्राप्त होती हैं।
डिस्ट्रीब्यूशन मॉड्यूल्स (Distribution Modules): इंटरपोलेशन को वितरणों के मॉड्यूल ( $D_U$ ) के भीतर किया जाता है जो गैलुआ निरूपणों के सिमेट्रिक टेंसर पावर्स को इंटरपोलेट करते हैं।

C. p-एडिक जैक्वेट-लैंगलैंड्स पत्राचार (The p-adic Jacquet–Langlands Correspondence)

एक महत्वपूर्ण तकनीकी चरण p-एडिक जैक्वेट-लैंगलैंड्स पत्राचार (प्रपोजिशन 4.11) का उपयोग है। यह एलिप्टिक मॉड्यूलर रूपों के लिए कोलमैन-माज़ुर आइजनकर्व (Coleman–Mazur eigencurve) और क्वाटरनियोनिक मॉड्यूलर रूपों के लिए ब्रास्का-बज़ार्ड आइजनकर्व (Brasca–Buzzard eigencurve) के बीच एक आइसोमोर्फिज्म स्थापित करता है। यह लेखक को एलिप्टिक मामले से कोलमैन परिवारों और उनके गुणों को क्वाटरनियोनिक मामले में स्थानांतरित करने की अनुमति देता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

बिग क्लासेस का निर्माण (Construction of Big Classes): यह शोध पत्र सफलतापूर्वक एक कोलमैन परिवार $F$ के क्वाटरनियोनिक मॉड्यूलर रूपों से जुड़े बिग जनरलाइज्ड हीगनर क्लास $z^{[F,j]}_{cp}$ को परिभाषित करता है। यह क्लास गैलुआ कोहोमोलॉजी ग्रुप $H^1(F_{cp}, V^*_F \otimes \dots)$ में रहती है, जहाँ $V^*_F$ $F$ के स्पेशलाइजेशन के ड्यूल रिप्रेजेंटेशन को इंटरपोलेट करने वाला "बिग" गैलुआ निरूपण है।
स्पष्ट पारस्परिकता नियम (Explicit Reciprocity Law - Specialization): यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि ये बिग क्लासेस शास्त्रीय जनरलाइज्ड हीगनर क्लासेस के रूप में सही ढंग से स्पेशलाइज होती हैं। विशेष रूप से, परिवार में एक शास्त्रीय भार $k$ के लिए, बिग क्लास का स्पेशलाइजेशन एक बाइनोमियल फैक्टर $\binom{2r}{j}^{-1}$ और $U_p$ ऑपरेटर के आइगेनवैल्यू द्वारा स्केल किया गया शास्त्रीय क्लास $z^{[F_k, \chi]}_{cp^n, 1}$ के समानुपाती होता है।
यूलर सिस्टम गुण (Euler System Properties): लेखक यह स्थापित करते हैं कि निर्मित क्लासेस नॉर्म-कंपैटिबिलिटी संबंध (norm-compatibility relations) (प्रपोजिशन 5.17) का पालन करती हैं। विशेष रूप से, स्तर $n+1$ पर क्लास का स्तर $n$ पर कोरस्ट्रिक्शन (corestriction), ड्यूल हेके ऑपरेटर $U'_p$ (जो $a_p$ आइगेनवैल्यू के रूप में कार्य करता है) के एक्शन द्वारा स्तर $n$ की क्लास से संबंधित होता है। यह पुष्टि करता है कि बिग क्लासेस एक यूलर सिस्टम बनाती हैं।
परिभाषा का क्षेत्र (Field of Definition): यह शोध पत्र इन क्लासेस के परिभाषा के क्षेत्र को परिष्कृत करता है, यह दिखाते हुए कि इन्हें केवल मध्यवर्ती चरणों के लिए आवश्यक बड़े क्षेत्रों के बजाय बेस फील्ड $K$ (या रिंग क्लास फील्ड्स) पर परिभाषित किया जा सकता है, जो वेट स्पेस की यूनिवर्सल विशेषता का उपयोग करता है।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

थ्योरम 5.21 (स्पेशलाइजेशन ऑफ बिग क्लासेस):
माना कि $F$ एक कोलमैन परिवार है जो एक p-स्टेबलाइज्ड क्वाटरनियोनिक मॉड्यूलर फॉर्म $F_0$ से होकर गुजरता है। $F$ में किसी भी शास्त्रीय भार $k = 2r+2$ और इन्फिनिटी टाइप $(2r-j, j)$ के हेके कैरेक्टर $\chi$ के लिए, स्पेशलाइजेशन है:
$\text{Spec}_k(z^{[F,j]}_{cp}) = a_p(F_k)^{-n} \binom{2r}{j}^{-1} z^{[F_k, \chi]}_{cp^n, 1}$
जहाँ $a_p(F_k)$ स्पेशलाइजेशन $F_k$ का $U_p$ -आइगेनवैल्यू है।

प्रपोजिशन 5.17 (यूलर संबंध):
क्लासेस नॉर्म कंपैटिबिलिटी का पालन करती हैं:
$\text{Norm}_{F_{cp^{n+1}}/F_{cp^n}}(z^{[F,j]}_{cp^{n+1}, 1}) = a_p \cdot z^{[F,j]}_{cp^n, 1}$

5. महत्व (Significance)

ब्लॉक-काटो अनुमान टूलकिट का विस्तार: यह कार्य एलिप्टिक सेटिंग से क्वाटरनियोनिक सेटिंग तक यूलर सिस्टम की शक्तिशाली मशीनरी का विस्तार करता है। यह उन मोटिव्स के $L$ -फंक्शन्स और सेल्मर समूहों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण है जो एलिप्टिक कर्व्स से नहीं बल्कि क्वाटरनियोनिक मॉड्यूलर रूपों (जैसे, क्वाटरनियोनिक मल्टीप्लिकेशन के साथ कुछ अबेलियन सतहें) से उत्पन्न होते हैं।
स्पष्ट पारस्परिकता नियमों के लिए आधार: इन बिग क्लासेस का निर्माण क्वाटरनियोनिक सेटिंग में एक स्पष्ट पारस्परिकता नियम (Explicit Reciprocity Law) को सिद्ध करने के लिए आवश्यक पहला कदम है। ऐसा नियम बिग हीगनर क्लासेस को कोलमैन परिवार के साथ इंटरपोलेट किए गए p-एडिक L-फंक्शन्स (विशेष रूप से, BDP p-adic L-functions) से जोड़ेगा। लेखक नोट करते हैं कि यह पारस्परिकता नियम भविष्य के कार्य का विषय है।
सेटिंग्स का एकीकरण: एलिप्टिक मामले के लिए [JLZ21] दृष्टिकोण को अनिश्चित क्वाटरनियोनिक मामले में अनुकूलित करके, यह शोध पत्र "बिग क्लास" कार्यप्रणाली की मजबूती को प्रदर्शित करता है, यह दिखाते हुए कि यह तब भी लागू होता है जब अंतर्निहित ज्यामिति मॉड्यूलर कर्व्स के बजाय शिमुरा कर्व्स और QM अबेलियन सतहों से जुड़ी होती है।
तकनीकी प्रगति: यह शोध पत्र क्वाटरनियोनिक सेटिंग में आवश्यक "डायमेंशन हाल्फिंग" (इडेम्पोटेंट्स $e$ और $\bar{e}$ के माध्यम से) और p-एडिक परिवारों के संदर्भ में विशिष्ट अंकगणित के प्रबंधन के लिए एक कठोर उपचार प्रदान करता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र शास्त्रीय क्वाटरनियोनिक हीगनर चक्रों और p-एडिक परिवारों के बीच के अंतराल को सफलतापूर्वक पाटता है, जो आवश्यक ज्यामितीय वस्तुएं (बिग जनरलाइज्ड हीगनर क्लासेस) प्रदान करता है जो ऑटोमॉर्फिक रिप्रेजेंटेशन के एक व्यापक वर्ग के लिए ब्लॉक-काटो अनुमान पर हमला करने के लिए आवश्यक हैं।