Interpolation of generalized Heegner classes along quaternionic Coleman families

1. Enunciato del Problema e Contesto

Il lavoro affronta un problema centrale nella geometria aritmetica: la costruzione di sistemi di Eulero per studiare la congettura di Bloch–Kato per le rappresentazioni di Galois associate alle forme modulari.

• Contesto: La congettura di Bloch–Kato mette in relazione l'ordine di annullamento delle funzioni $L$ con la dimensione dei gruppi di Selmer. Uno strumento primario per limitare questi gruppi è la costruzione di sistemi di Eulero (famiglie di classi di coomologia compatibili per norma).
• Lavori Esistenti:
  • Per le curve ellittiche ($GL_2$), i punti di Heegner forniscono tali sistemi (Kolyvagin).
  • Per le forme modulari di peso superiore, sono stati introdotti i Cicli Generalizzati di Heegner (Bertolini–Darmon–Prasanna, [BDP13]).
  • Interpolazione: Howard, Büyükboduk–Lei e Jetchev–Loeffler–Zerbes ([JLZ21]) hanno interpolato con successo queste classi lungo le famiglie di Hida (ordinarie, pendenza 0) e le famiglie di Coleman (pendenza finita) di forme modulari ellittiche, creando "Grandi classi di Heegner".
• Il Divario: Sebbene la teoria dei cicli generalizzati di Heegner esista per le forme modulari quaternioniche (associate a curve di Shimura e algebre di quaternioni indefinite, come sviluppato da Brooks [HB15]), l'interpolazione p-adica di queste classi lungo le famiglie di Coleman nel contesto quaternionico non era stata ancora stabilita.
• Obiettivo: Costruire Grandi Cicli Generalizzati di Heegner interpolando p-adicamente le classi di Heegner generalizzate associate alle forme modulari quaternioniche lungo una famiglia di Coleman (a pendenza finita), adattando i metodi di [JLZ21] al contesto quaternionico indefinito.

2. Metodologia

L'autore impiega un approccio geometrico e coomologico, colmando il divario tra le forme modulari classiche e le famiglie p-adiche attraverso la teoria dei motivi e le varietà di Shimura.

A. L'Impostazione Geometrica

• Contesto Quaternionico Indefinito: Il lavoro si svolge su un'algebra di quaternioni indefinita $B$ di discriminante $N^- > 1$. Le forme modulari sono definite su curve di Shimura $\tilde{X}_m$ (che classificano superfici abeliane con moltiplicazione quaternionica) piuttosto che sulle curve modulari classiche.
• Varietà Generalizzate di Kuga–Sato: L'autore definisce la varietà generalizzata di Kuga–Sato $W_{k,m}$ come prodotto fibrato della superficie abeliana universale $\tilde{A}_m$ sulla curva di Shimura.
• Cicli Generalizzati di Heegner: Utilizzando un isogenia $\phi$ tra una superficie abeliana CM fissa $A$ e una superficie $A_{cp^n}$, l'autore costruisce un ciclo $\Delta^{[k]}_{\phi, m}$ nel gruppo di Chow di $W_{k,m}$.
• Trucco di Lieberman: Per semplificare la coomologia, l'autore utilizza il trucco di Lieberman per mappare il ciclo dalla varietà di alta dimensione $W_{k,m}$ alla curva di Shimura $\tilde{X}_m$, a scapito di lavorare con un fascio di coefficienti più complesso che coinvolge tensori simmetrici della realizzazione étale della superficie abeliana.

B. La Strategia di Interpolazione

La metodologia centrale segue l'approccio di Jetchev–Loeffler–Zerbes:

1. Vettori di Base dai Punti di Heegner: Invece di interpolare direttamente i cicli, l'autore interpola i vettori di base nello spazio di rappresentazione associato al motivo. Questi vettori sono costruiti a partire dai punti di Heegner sulle curve di Shimura.
2. Proiettori Sovraconvergenti: L'autore utilizza il proiettore sovraconvergente di Loeffler–Zerbes ($\Pi_j$) per interpolare i vettori di base $e^{[k,j]}_{cp^n}$ (che dipendono dal peso $k$) in un vettore a valori distribuzione $e^{[U,j]}_{cp^n}$ definito sullo spazio dei pesi $U$.
3. Mappa Gysin "Grande": Viene costruita una "Grande mappa Gysin" per spingere in avanti questi vettori di base interpolati nella coomologia della curva di Shimura, producendo le Grandi Classi Generalizzate di Heegner.
4. Moduli di Distribuzioni: L'interpolazione viene eseguita all'interno di moduli di distribuzioni ($D_U$) che interpolano le potenze tensoriali simmetriche delle rappresentazioni di Galois.

C. La Corrispondenza di Jacquet–Langlands p-adica

Un passo tecnico cruciale è l'uso della corrispondenza di Jacquet–Langlands p-adica (Proposizione 4.11). Questa stabilisce un isomorfismo tra la curva degli autovettori di Coleman–Mazur per le forme modulari ellittiche e la curva degli autovettori di Brasca–Buzzard per le forme modulari quaternioniche. Ciò permette all'autore di trasferire l'esistenza delle famiglie di Coleman e delle loro proprietà dal caso ellittico al caso quaternionico.

3. Contributi Chiave

1. Costruzione delle Grandi Classi: Il lavoro definisce con successo la Grande Classe Generalizzata di Heegner $z^{[F,j]}_{cp}$ associata a una famiglia di Coleman $F$ di forme modulari quaternioniche. Questa classe risiede nel gruppo di coomologia di Galois $H^1(F_{cp}, V^*_F \otimes \dots)$, dove $V^*_F$ è la "Grande" rappresentazione di Galois che interpola le rappresentazioni duali delle specializzazioni di $F$.
2. Legge di Reciprocità Esplicita (Specializzazione): Il lavoro dimostra che queste grandi classi si specializzano correttamente nelle classi di Heegner generalizzate classiche. Nello specifico, per un peso classico $k$ nella famiglia, la specializzazione della grande classe è proporzionale alla classe classica $z^{[F_k, \chi]}_{cp^n, 1}$, scalata per un fattore binomiale $\binom{2r}{j}^{-1}$ e per l'autovalore dell'operatore $U_p$.
3. Proprietà di Sistema di Eulero: L'autore stabilisce che le classi costruite soddisfano le relazioni di compatibilità per norma (Proposizione 5.17). Nello specifico, la corestrizione della classe al livello $n+1$ al livello $n$ è legata alla classe al livello $n$ dall'azione dell'operatore di Hecke duale $U'_p$ (che agisce come l'autovalore $a_p$). Ciò conferma che le grandi classi formano un sistema di Eulero.
4. Campo di Definizione: Il lavoro rifinisce il campo di definizione di queste classi, mostrando che possono essere definite sul campo base $K$ (o sui campi di classe anulare) piuttosto che solo sui campi più grandi richiesti per i passaggi intermedi, sfruttando il carattere universale dello spazio dei pesi.

4. Risultati Principali

Teorema 5.21 (Specializzazione delle Grandi Classi):
Sia $F$ una famiglia di Coleman che passa attraverso una forma modular quaternionica p-stabilizzata $F_0$. Sia $z^{[F,j]}_{cp}$ la Grande Classe Generalizzata di Heegner associata. Per qualsiasi peso classico $k = 2r+2$ nella famiglia e un carattere di Hecke $\chi$ di tipo all'infinito $(2r-j, j)$, la specializzazione è:
$$\text{Spec}_k(z^{[F,j]}_{cp}) = a_p(F_k)^{-n} \binom{2r}{j}^{-1} z^{[F_k, \chi]}_{cp^n, 1}$$
dove $a_p(F_k)$ è l'autovalore $U_p$ della specializzazione $F_k$.

Proposizione 5.17 (Relazioni di Eulero):
Le classi soddisfano la compatibilità per norma:
$$\text{Norm}_{F_{cp^{n+1}}/F_{cp^n}}(z^{[F,j]}_{cp^{n+1}, 1}) = a_p \cdot z^{[F,j]}_{cp^n, 1}$$

5. Significato

• Estensione del Toolkit della Congettura di Bloch–Kato: Questo lavoro estende la potente macchina dei sistemi di Eulero dal contesto ellittico al contesto quaternionico. Ciò è vitale per lo studio delle funzioni $L$ e dei gruppi di Selmer di motivi che non derivano da curve ellittiche ma da forme modulari quaternioniche (ad esempio, certe superfici abeliane con moltiplicazione quaternionica).
• Fondamento per Leggi di Reciprocità Esplicite: La costruzione di queste grandi classi è il primo passo necessario per dimostrare una Legge di Reciprocità Esplicita nel contesto quaternionico. Una tale legge metterebbe in relazione le grandi classi di Heegner con le funzioni $L$ p-adiche (in particolare, le funzioni $L$ p-adiche di BDP) interpolate lungo la famiglia di Coleman. L'autore nota che questa legge di reciprocità è oggetto di lavori futuri.
• Unificazione dei Contesti: Adattando l'approccio di [JLZ21] al caso quaternionico indefinito, il lavoro dimostra la robustezza della metodologia delle "Grandi Classi", mostrando che essa si applica anche quando la geometria sottostante coinvolge curve di Shimura e superfici abeliane QM piuttosto che curve modulari.
• Avanzamento Tecnico: Il lavoro fornisce un trattamento rigoroso del "dimezzamento della dimensione" richiesto nel contesto quaternionico (tramite idempotenti $e$ e $\bar{e}$) e della gestione dell'aritmetica specifica dei campi di classe anulare nel contesto delle famiglie p-adiche.

In sintesi, questo lavoro colma con successo il divario tra i cicli di Heegner quaternionici classici e le famiglie p-adiche, fornendo gli oggetti geometrici essenziali (Grandi Classi Generalizzate di Heegner) necessari per attaccare la congettura di Bloch–Kato per una classe più ampia di rappresentazioni automorfe.