⚛️ quantum physics

Gap between quantum theory based on real and complex numbers is arbitrarily large

यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि $N+1$ पक्षों वाले स्टार-नेटवर्क क्वांटम परिदृश्यों में, जटिल (complex) और वास्तविक (real) क्वांटम सिद्धांतों के बीच प्रदर्शन का अंतर पक्षों की संख्या के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है, जो यह सिद्ध करता है कि जैसे-जैसे प्रणाली का पैमाना बढ़ता है, वास्तविक हिल्बर्ट स्पेस औपचारिकताएं जटिल क्वांटम नेटवर्क का वर्णन करने के लिए मनमाने ढंग से अपर्याप्त होती जाती हैं।

मूल लेखक: Shubhayan Sarkar, David Trillo, Marc Olivier Renou, Remigiusz Augusiak

प्रकाशित 2026-07-22

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Shubhayan Sarkar, David Trillo, Marc Olivier Renou, Remigiusz Augusiak

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, ब्रह्मांडीय पहेली है जहाँ टुकड़े केवल एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते; वे ऐसे तरीकों से एक-दूसरे से बात करते हैं जो रोजमर्रा के तर्क के नियमों को तोड़ते हुए प्रतीत होते हैं। यह क्वांटम मैकेनिक्स की दुनिया है, जो इलेक्ट्रॉन और फोटॉन जैसे सूक्ष्म कणों के व्यवहार के लिए नियम पुस्तिका है। एक सदी से अधिक समय से, वैज्ञानिक इस बात पर बहस कर रहे हैं कि यह नियम पुस्तिका किस "भाषा" में लिखी गई है। मानक संस्करण जटिल संख्याओं (complex numbers) का उपयोग करता है, जो गणित की कक्षा के किसी बुरे सपने जैसा लग सकता है लेकिन वास्तव में यह एक विशेष उपकरण है जिसमें "काल्पनिक" (imaginary) संख्याओं नामक एक रहस्यमय सामग्री शामिल है। ये काल्पनिक नहीं हैं; ये कणों के घूमने और नृत्य करने के वर्णन के लिए आवश्यक हैं। हालाँकि, एक साहसी वैकल्पिक सिद्धांत सुझाव देता है कि हम अपने गणितीय टूलबॉक्स के आकार को दोगुना करके केवल वास्तविक संख्याओं (real numbers)—परिचित 1, 2, 3 और इसी तरह—का उपयोग करके काम चला सकते हैं। लंबे समय तक, ऐसा लगा जैसे ये दोनों भाषाएँ एक ही बात कहने के अलग-अलग तरीके हो सकते हैं, जैसे अंग्रेजी या स्पेनिश में सूर्यास्त का वर्णन करना। लेकिन यहाँ मुख्य बात यह है: यदि ब्रह्मांड को वास्तव में जटिल संख्याओं की आवश्यकता है, तो "वास्तविक संख्या" वाला भौतिक विज्ञान मौलिक रूप से टूटा हुआ है, चाहे हम इसे ठीक करने की कितनी भी कोशिश करें। बड़ा सवाल यह था कि: यह कितना टूटा हुआ है? क्या अंतर एक छोटी सी दरार है, या एक गहरी खाई?

यहाँ भौतिकविदों की एक टीम आई जिन्होंने इन दोनों सिद्धांतों को "कनेक्ट द डॉट्स" के एक ब्रह्मांडीय खेल में अंतिम परीक्षण करने का निर्णय लिया। उन्होंने एक परिदृश्य तैयार किया जिसे स्टार नेटवर्क (star network) कहा जाता है, जो एक पार्टी की तरह है जहाँ एक केंद्रीय मेजबान (मान लीजिए कि ईव) स्वतंत्र स्रोतों के माध्यम से कई मेहमानों (एलिस, बॉब, चार्ली और अन्य) से जुड़ी होती है। इस खेल में, मेहमान और मेजबान साझा क्वांटम कणों पर माप करते हैं। लक्ष्य यह देखना है कि क्या सहसंबंध—परिणामों में पैटर्न—"वास्तविक संख्या" सिद्धांत द्वारा समझा जा सकता है या क्या उन्हें सख्ती से "जटिल संख्या" सिद्धांत की आवश्यकता है। शोधकर्ताओं ने एक विशेष गणितीय परीक्षण बनाया, एक बेल असमानता (Bell inequality), जो एक स्कोरकार्ड की तरह कार्य करती है। यदि स्कोर एक निश्चित सीमा के भीतर रहता है, तो "वास्तविक संख्या" सिद्धांत कायम रहता है। यदि स्कोर उस सीमा से बहुत ऊपर चला जाता है, तो जटिल सिद्धांत जीत जाता है।

उन्होंने जो पाया वह दिमाग चकरा देने वाला है। उन्होंने पाया कि जैसे-जैसे वे पार्टी में मेहमानों की संख्या बढ़ाते गए, जटिल सिद्धांत द्वारा किए गए पूर्वानुमान और वास्तविक सिद्धांत द्वारा समझाया जा सकने वाले परिणामों के बीच का अंतर केवल थोड़ा बड़ा नहीं हुआ; बल्कि यह पार्टियों की संख्या के साथ रैखिक रूप से (linearly) बढ़ता गया। सरल शब्दों में, यदि आपके पास कुछ लोग हैं, तो अंतर छोटा हो सकता है। लेकिन यदि आपके पास क्वांटम प्रणालियों का एक विशाल नेटवर्क है, तो "वास्तविक संख्या" सिद्धांत इतना गलत हो जाता है कि वह व्यावहारिक रूप से बेकार हो जाता है। यह अंतर अनिश्चित रूप से बड़ा (arbitrarily large) हो जाता है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक सिद्धांत और जटिल सिद्धांत के बीच कोई मौलिक सीमा नहीं है। यह एक सिम्फनी को केवल एक एकल ढोल की थाप का उपयोग करके वर्णित करने जैसा है; जैसे-जैसे संगीत अधिक जटिल होता जाता है, विफलता अधिक स्पष्ट होती जाती है।

इस टीम ने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने गणितीय रूप से इसे सिद्ध किया। उन्होंने दिखाया कि इस स्टार नेटवर्क में, जटिल सिद्धांत उनके परीक्षण पर 1 का स्कोर प्राप्त कर सकता है, जबकि वास्तविक सिद्धांत 1/(N - 1) तक सीमित है, जहाँ N बाहरी पार्टियों की संख्या है। जैसे-जैसे N बढ़ता है, वह भिन्नता शून्य की ओर घटती जाती है, जिससे एक विशाल अंतर पैदा होता है। उन्होंने यह भी जांचा कि क्या यह परिणाम एक अव्यवस्थित, शोर वाले वास्तविक दुनिया के प्रयोग में कायम रहेगा। यहाँ तक कि जब उन्होंने मापों में छोटी त्रुटियों (denote by ε) की अनुमति दी, तब भी अंतर मजबूत बना रहा, हालांकि गणित ने दिखाया कि पूर्ण प्रभाव देखने के लिए त्रुटि को पार्टियों की संख्या के सापेक्ष दबाना आवश्यक है। उनका विश्लेषण बताता है कि केवल N = 3 पार्टियों वाले नेटवर्क के लिए भी अंतर महत्वपूर्ण है, और जैसे-जैसे नेटवर्क का विस्तार होता है, यह और भी नाटकीय होता जाता है।

यह कार्य इस विचार पर प्रभावी ढंग से दरवाजा बंद कर देता है कि जटिल संख्याएँ केवल एक सुविधाजनक गणितीय युक्ति हैं जिन्हें हम वास्तविक संख्याओं से बदल सकते थे यदि हम पर्याप्त चतुर होते। यह शोधपत्र प्रदर्शित करता है कि काल्पनिक संख्याएँ क्वांटम दुनिया में एक वास्तविक संसाधन हैं, जो एक ऐसा लाभ प्रदान करती हैं जो प्रणालियों के बड़े होने पर असीमित रूप से बढ़ता है। हालाँकि लेखक नोट करते हैं कि प्रयोगशाला में ऐसे बड़े, स्वतंत्र नेटवर्क बनाना चुनौतीपूर्ण है (क्योंकि स्रोतों को वास्तव में स्वतंत्र रखना कठिन है), उनका सैद्धांतिक प्रमाण ठोस है। उन्होंने दिखाया है कि ब्रह्मांड केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करने पर थोड़ा अलग नहीं है; यह जटिल क्वांटम नेटवर्क का वर्णन करने के लिए "काल्पनिक" सामग्री के बिना मौलिक रूप से अक्षम है। यह अंतर आधार में एक दरार नहीं है; यह एक चौड़ी होती खाई है जो साबित करती है कि क्वांटम यांत्रिकी का जटिल औपचारिक ढांचा केवल एक विकल्प नहीं है—यह एक आवश्यकता है।

तकनीकी सारांश: वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं पर आधारित क्वांटम सिद्धांत के बीच का अंतर अनिश्चित रूप से बड़ा है

समस्या विवरण
क्वांटम सूचना सिद्धांत मौलिक रूप से सम्मिश्र हिल्बर्ट स्पेस (कॉम्प्लेक्स क्वांटम थ्योरी, CQT) का उपयोग करके तैयार किया गया है। यह लंबे समय से ज्ञात है कि एकल-प्रणाली क्वांटम सहसंबंधों (correlations) को आयाम को दोगुना करके वास्तविक हिल्बर्ट स्पेस (रियल क्वांटम थ्योरी, RQT) का उपयोग करके सिम्युलेट किया जा सकता है, लेकिन मल्टीपार्टी परिदृश्यों में सम्मिश्र संख्याओं की आवश्यकता को हाल ही में चुनौती दी गई है। एक पिछले अध्ययन [8] ने प्रदर्शित किया कि एक विशिष्ट तीन-पक्षीय नेटवर्क (बाइलोकेलिटी) में, RQT सभी CQT भविष्यवाणियों को पुनरुत्पादित नहीं कर सकता है। हालाँकि, एक महत्वपूर्ण खुला प्रश्न बना हुआ था: क्या CQT और RQT के बीच के अंतर की मात्रा पर कोई मौलिक, सिस्टम-आकार-स्वतंत्र सीमा मौजूद है? यदि ऐसी सीमा मौजूद है, तो RQT बड़े सिस्टम के लिए एक वैध सन्निकटन (approximation) के रूप में कार्य कर सकता है। इसके विपरीत, यदि यह अंतर अनिश्चित रूप से बड़ा हो सकता है, तो "अभौतिक" (unphysical) प्रकृति वाली सम्मिश्र संख्याएँ एक अधिक गहन संसाधन बन जाती हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक इसे $N+1$ पक्षों वाले एक स्टार नेटवर्क में नेटवर्क परिदृश्य को सामान्यीकृत करके संबोधित करते हैं: $N$ बाहरी पक्ष ( $A_i$ ) और एक केंद्रीय पक्ष ( $E$ , ईव)। नेटवर्क में $N$ स्वतंत्र स्रोत शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक एक बाहरी पक्ष और ईव के बीच एक द्विपक्षीय क्वांटम अवस्था (bipartite quantum state) वितरित करता है।

परिचालन सेटअप (Operational Setup): बाहरी पक्ष तीन मापों ( $x_i \in \{0,1,2\}$ ) में से एक करते हैं जिनके बाइनरी परिणाम होते हैं। ईव एक एकल मापन करती है जिसके $2^N$ परिणाम होते हैं।
सशर्त बेल फलन (Conditional Bell Functional): CQT और RQT की तुलना को कठोरता से करने के लिए, लेखक एक "सशर्त" बेल असमानता (inequality) का निर्माण करते हैं। इसमें दो फलन (functionals) शामिल हैं:
1. $\hat{I}_l$ : एक फलन जो सेल्फ-टेस्टिंग प्रोटोकॉल [27, 28] से प्राप्त किया गया है, जिसे यह प्रमाणित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि नेटवर्क अधिकतम क्वांटम उल्लंघन (maximal quantum violation) प्राप्त करता है। CQT में, इसका अधिकतम मान $2(N-1)$ है।
2. $J_N$ : मर्मीन की असमानता [29] पर आधारित एक फलन, जिसे $[-1, 1]$ की सीमा तक सामान्यीकृत किया गया है।
साक्षी (The Witness): लेखक एक 'गैप विटनेस' को परिभाषित करते हैं जो $J_N$ को अधिकतम करते हुए बनाया गया है, इस परिचालन शर्त के अधीन कि $\hat{I}_l$ सभी परिणामों $l$ के लिए अपना अधिकतम क्वांटम मान प्राप्त करता है। यह "कंडीशनिंग" यह सुनिश्चित करती है कि तुलना उस विशिष्ट विन्यास के आदर्श CQT अवस्था/मापन और सर्वोत्तम संभव RQT सन्निकटन के बीच की जाए।
विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण (Analytical Approach): लेखक $\hat{I}_l$ के अधिकतम उल्लंघन की बाधा के तहत RQT में अवस्थाओं और मापों को चरित्रित करने के लिए सेल्फ-टेस्टिंग तकनीकों का उपयोग करते हैं। वे टेंसर-प्रोडक्ट संरचना और वास्तविक-मान वाले ऑब्जर्वेबल्स (observables) द्वारा लगाए गए प्रतिबंधों का विश्लेषण करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

अनिश्चित रूप से बड़ा अंतर (Arbitrarily Large Gap): शोध पत्र यह सिद्ध करता है कि CQT में $J_N$ के अधिकतम मान और RQT में इसके मान का अनुपात पक्षों की संख्या $N$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
- CQT में, आदर्श GHZ अवस्था और विशिष्ट ऑब्जर्वेबल्स (Pauli $Y$ सहित) के साथ, $J_N$ का मान $\beta_{\text{CQT}} = 1$ है।
- RQT में, इस शर्त के तहत कि $\hat{I}_l$ अधिकतम उल्लंघन करता है, लेखक सिद्ध करते हैं (प्रमेय 1) कि $J_N$ का अधिकतम मान $\beta_{\text{RQT}} \leq 1/(N-1)$ द्वारा सीमित है।
- फलस्वरूप, गैप अनुपात $\beta_{\text{CQT}}/\beta_{\text{RQT}} \geq N-1$ है। जैसे-जैसे $N \to \infty$ , यह अंतर अनिश्चित रूप से बड़ा हो जाता है, जो दर्शाता कि सिस्टम के आकार से स्वतंत्र कोई मौलिक सीमा मौजूद नहीं है।
शोर के प्रति मजबूती (Robustness to Noise): लेखक अपने परिणामों को शोर वाले परिदृश्यों तक विस्तारित करते हैं (प्रमेय 2)। वे दिखाते हैं कि भले ही $\hat{I}_l$ का देखा गया उल्लंघन आदर्श से $\epsilon_N$ त्रुटि से विचलित होता है, और ईव के परिणाम की संभावनाओं में थोड़ा विचलन होता है, फिर भी RQT के लिए $J_N$ का ऊपरी स्तर दबा हुआ रहता है। विशेष रूप से, $\beta_{\text{RQT}} \leq \frac{1}{N-1} + O(N^6\sqrt{\epsilon_N})$ । यह इंगित करता है कि हालांकि त्रुटि सहनशीलता के लिए $N$ के सापेक्ष दमन की आवश्यकता है, फिर भी छोटे प्रयोगात्मक दोषों की उपस्थिति में भी यह अंतर बना रहता है।
संख्यात्मक सत्यापन (Numerical Verification): $N=3$ के विशिष्ट मामले के लिए, लेखकों ने सेमीडेफिनेट प्रोग्रामिंग का उपयोग करके संख्यात्मक विश्लेषण किया। परिणाम संकेत देते हैं कि RQT में वास्तविक अंतर, जो इस शोध पत्र में प्राप्त विश्लेषणात्मक निचले स्तर (lower bound) से काफी अधिक है, जो यह सुझाव देता है कि विश्लेषणात्मक सीमाएँ रूढ़िवादी (conservative) हैं।

महत्व
यह शोध पत्र क्वांटम यांत्रिकी के एक मौलिक प्रश्न को हल करने का दावा करता है: सम्मिश्र संख्याएँ केवल एक गणितीय सुविधा नहीं हैं, बल्कि एक आवश्यक संसाधन हैं जो वास्तविक संख्याओं की तुलना में नेटवर्क के वर्णन में अनबाउंडेड (unbounded) लाभ प्रदान करती हैं।

मौलिक प्रभाव (Foundational Impact): परिणाम यह संकेत देते हैं कि जैसे-जैसे क्वांटम नेटवर्क स्केल करते हैं, वास्तविक-संख्या वाला औपचारिक ढांचा (formalism), जटिल ढांचे की तुलना में सिस्टम के सहसंबंधों का वर्णन करने में "अत्यधिक खराब" होता जाता है। यह इस धारणा को चुनौती देता है कि बड़े पैमाने के क्वांटम सिस्टम के लिए RQT एक पर्याप्त सन्निकटन है।
प्रायोगिक निहितार्थ (Experimental Implications): लेखक सुझाव देते हैं कि बड़े स्टार नेटवर्क, CQT को RDT से अलग करने वाले प्रयोगों में डिटेक्शन लूपहोल (detection loophole) को बंद करने के लिए बेहतर अनुकूल हैं। एक बड़ा अंतर उस डिटेक्टर दक्षता को कम करता है जिसकी आवश्यकता CQT और RQT के बीच के अंतर को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करने के लिए होती है।
संसाधन सिद्धांत (Resource Theory): यह कार्य "इमेजिनरिटी" (सम्मिश्र संख्याओं की उपस्थिति) को एक ऐसे संसाधन के रूप में पहचानता है जो मल्टीपार्टी परिदृश्यों में अनबाउंडेड लाभ प्रदान करने में सक्षम है, जो मानक बेल परिदृश्यों में एंटैंगलमेंट द्वारा प्रदान किए जाने वाले लाभों से भिन्न है।

लेखक भविष्य के कार्य के संबंध में एक विनम्र लहजा बनाए रखते हैं, यह नोट करते हुए कि हालांकि उन्होंने एक अनबाउंडेड गैप के अस्तित्व को प्रदर्शित किया है, इसे निश्चित संख्या में पक्षों के साथ साकार करना एक खुला प्रश्न बना हुआ है। वे स्रोत स्वतंत्रता (source independence) को लागू करने की प्रयोगात्मक चुनौतियों को भी स्वीकार करते हैं, लेकिन तर्क देते हैं कि ऐसी स्वतंत्रता भौतिकी की एक मौलिक धारणा है।

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