Gap between quantum theory based on real and complex numbers is arbitrarily large

技術的要約：実数に基づく量子理論と複素数に基づく量子理論の間のギャップは任意に大きい

問題提起
量子情報理論は、本質的に複素ヒルベルト空間（複素量子理論、CQT）を用いて定式化されている。単一系の量子相関については、次元を2倍にすることで実ヒルベルト空間（実量子理論、RRT）を用いてシミュレートできることが古くから知られているが、多体系のシナリオにおける複素数の必要性は、近年ようやく議論の対象となった。先行研究[8]では、特定の3者ネットワーク（バイロカリティ）において、RRTはすべてのCQTの予測を再現できないことが示された。しかし、「システムサイズに依存しない、CQTとRRTの間のギャップの大きさに関する根本的な境界が存在するか？」という重要な未解決問題が残されていた。もしそのような境界が存在するならば、RRTは大規模なシステムに対する有効な近似となり得る。逆に、もしこのギャップが任意に大きくなり得るならば、「非物理的」な性質を持つ複素数は、より深遠なリソースであることになる。

手法
著者らは、この問題に対処するため、ネットワークのシナリオを、$N+1$の当事者（$N$個の外部当事者 $A_i$ と、中央の当事者 $E$［イヴ］）を含むスターネットワークへと一般化する。このネットワークは、$N$個の独立したソースで構成され、各ソースは外部当事者とイヴとの間に二部系量子状態を分配する。

• 操作的セットアップ： 外部当事者は、2値の出力を伴う3つの測定（$x_i \in \{0,1,2\}$）のいずれかを行う。イヴは、$2^N$個の出力を伴う単一の測定を行う。
• 条件付きベル関数： CQTとRRTを厳密に比較するために、著者らは「条件付き」ベル不等式を構築する。これには2つの関数が含まれる。
  1. $\hat{I}_l$：ネットワークが最大量子違反を達成することを証明するために設計された、セルフテスティング・プロトコル[27, 28]から導出された関数。CQTにおいて、その最大値は $2(N-1)$ である。
  2. $J_N$：メーミンの不等式[29]に基づき、範囲 $[-1, 1]$ に正規化された関数。
• ウィットネス（証拠）： 著者らは、すべての結果 $l$ に対して $\hat{I}_l$ が最大量子値を達成するという「操作的条件」の下で $J_N$ を最大化することにより、ギャップ・ウィットネスを定義する。この「条件付け」により、比較が、特定の構成に対する理想的なCQTの状態および測定と、最良のRRT近似との間で行われることが保証される。
• 解析的手法： 著者らは、$\hat{I}_l$ の最大違反という制約下でのRRTにおける状態と測定を特徴付けるために、セルフテスティング技術を用いる。また、テンソル積構造と、実数値観測量によって課される制約を分析する。

主な貢献と結果

1. 任意に大きいギャップ： 本論文は、$J_N$ の最大値におけるCQTとRRTの比率が、当事者の数 $N$ に対して線形に増大することを証明している。

   • CQTでは、理想的なGHZ状態と特定の観測量（パウリ $Y$ を含む）を用いることで、$J_N$ の値は $\beta_{\text{CQT}} = 1$ となる。
   • RRTでは、$\hat{I}_l$ が最大に違反するという制約の下で、著者らは（定理1）、$J_N$ の最大値は $\beta_{\text{RRT}} \leq 1/(N-1)$ で抑えられることを証明している。
   • したがって、ギャップ比 $\beta_{\text{CQT}}/\beta_{\text{RRT}} \geq N-1$ となる。$N \to \infty$ のとき、このギャップは任意に大きくなり、システムサイズに依存しない根本的な境界は存在しないことを示している。

2. ノイズに対する堅牢性： 著者らは、これらの結果をノイズのあるシナリオへと拡張している（定理2）。$\hat{I}_l$ の観測された違反が理想的な値から小さな誤差 $\epsilon_N$ だけ逸脱し、かつイヴの出力確率がわずかに偏差する場合でも、$J_N$ の上限は依然として抑制されたままであることを示している。具体的には、$\beta_{\text{RRT}} \leq \frac{1}{N-1} + O(N^6\sqrt{\epsilon_N})$ となる。これは、誤差許容範囲が $N$ に対して抑制される必要があるものの、小さな実験的不完全性が存在する状況下でも、ギャップが存続することを示している。

3. 数値的検証： $N=3$ の特定のケースについて、著者らは半正定値計画法を用いた数値解析を行った。その結果、RRTにおける実際のギャップは、本論文で導出された解析的な下限よりも大幅に大きいことが示されており、これは解析的な境界が保守的であることを示唆している。

意義
本論文は、量子力学における基礎的な問いを解決したと主張している：複素数は単なる数学的な便宜ではなく、多体系のシナリオにおいて実数に対して無制限の優位性を提供する、必要なリソースである。

• 基礎への影響： これらの結果は、量子ネットワークがスケールアップするにつれて、実数形式による記述が複素数形式と比較して「著しく劣る」ようになることを意味している。これは、RRTが大規模な量子システムに対する十分な近似であるという概念に異議を唱えるものである。
• 実験的含意： 著者らは、CQTとRRTを区別する実験において、検出器のループホールを閉じるには、より大きなスターネットワークが適していることを示唆している。ギャップが大きくなることで、両理論間の相違を実験的に検証するために必要な検出効率が低下する。
• リソース理論： 本研究は、「虚数性（imaginarity）」（複素数の存在）を、標準的なベルシナリオにおけるエンタングルメントのみによる優位性とは異なる、無制限の優位性を提供し得るリソースとして特定している。

著者らは、将来の研究に対して控えめな姿勢を維持しており、ギャップが存在することを証明したものの、これを固定された数の当事者で実現することは依然として未解決の問題であると述べている。また、ソースの独立性を強制することの実験的な困難さを認めているが、そのような独立性は物理学における基本的な仮定であると主張している。