Gap between quantum theory based on real and complex numbers is arbitrarily large

기술 요약: 실수 기반 양자 이론과 복소수 기반 양자 이론 사이의 간극은 임의로 커질 수 있음

문제 제기
양자 정보 이론은 근본적으로 복소 힐베르트 공간(복소 양자 이론, CQT)을 사용하여 정식화된다. 단일 시스템의 양자 상관관계는 차원을 두 배로 늘림으로써 실수 힐베르트 공간(실수 양자 이론, RQT)을 사용하여 시뮬레이션할 수 있다는 사실은 오래전부터 알려져 왔으나, 다자간 시나리오에서 복소수의 필요성에 대한 의문은 최근에야 비로소 제기되었다. 이전 연구[8]는 특정 3자 네트워크(bilocality)에서 RQT가 모든 CQT 예측을 재현할 수 없음을 입증했다. 그러나 핵심적인 미결 과제는 시스템 크기에 독립적인, CQT와 RQT 사이의 간격(gap)의 크기에 대한 근본적인 상한선이 존재하는가 하는 점이었다. 만약 그러한 상한선이 존재한다면 RQT는 대규모 시스템에 대한 유효한 근사치로 기능할 수 있다. 반대로, 만약 이 간격이 임의로 커질 수 있다면, "비물리적"인 복소수의 성격은 더욱 심오한 자원(resource)이 된다.

방법론
저자들은 이를 해결하기 위해 $N+1$ 명의 당사자($N$ 명의 외부 당사자 $A_i$와 중앙 당사자 $E$, Eve)가 참여하는 **스타 네트워크(star network)**로 시나리오를 일반화하여 접근한다. 이 네트워크는 $N$ 개의 독립적인 소스로 구성되며, 각 소스는 외부 당사자와 Eve 사이에 이분 양자 상태(bipartite quantum state)를 분배한다.

• 운용 설정: 외부 당사자들은 이진 결과(binary outcomes)를 갖는 세 가지 측정($x_i \in \{0,1,2\}$) 중 하나를 수행한다. Eve는 $2^N$ 개의 결과를 갖는 단일 측정을 수행한다.
• 조건부 벨 함수(Conditional Bell Functional): CQT와 RQT를 엄밀하게 비교하기 위해, 저자들은 "조건부" 벨 부등식을 구축한다. 여기에는 두 가지 범함수가 포함된다:
  1. $\hat{I}_l$: 네트워크가 최대 양자 위반을 달성함을 인증하도록 설계된 셀프 테스팅 프로토콜[27, 28]로부터 유도된 범함수. CQT에서 최대값은 $2(N-1)$이다.
  2. $J_N$: Mermin의 부등식[29]에 기반하여 $[-1, 1]$ 범위로 정규화된 범함수.
• 위닛(Witness): 저자들은 모든 결과 $l$에 대해 $\hat{I}_l$이 최대 양자값을 달성한다는 운용적 조건 하에서 $J_N$을 최대화함으로써 간격 위닛(gap witness)을 정의한다. 이 "조건화(conditioning)" 과정은 특정 구성에 대해 최적의 RQT 근사치와 이상적인 CQT 상태/측정치를 비교할 수 있도록 보장한다.
• 분석적 접근: 저자들은 $\hat{I}_l$의 최대 위반 제약 조건 하에서 RQT의 상태와 측정을 특성화하기 위해 셀프 테스팅 기법을 사용한다. 또한 텐서 곱 구조와 실수 값 관측량(real-valued observables)에 의해 부과되는 제약을 분석한다.

주요 기여 및 결과

1. 임의로 큰 간격: 본 논문은 $J_N$의 최대값이 CQT와 RQT에서 나타나는 비율이 당사자의 수 $N$에 따라 선형적으로 증가함을 증명한다.

   • CQT의 경우, 이상적인 GHZ 상태와 특정 관측량(Pauli $Y$ 포함)을 사용할 때 $J_N$의 값은 $\beta_{\text{CQT}} = 1$이다.
   • RQT의 경우, $\hat{I}_l$이 최대 위반을 충족해야 한다는 제약 조건 하에서, 저자들은 $J_N$의 최대값이 $\beta_{\text{RBT}} \leq 1/(N-1)$로 제한됨을 증명한다(정리 1).
   • 결과적으로, 간격 비율 $\beta_{\text{CQT}}/\beta_{\text{RQT}} \geq N-1$이다. $N \to \infty$로 감에 따라 이 간격은 임의로 커지며, 이는 시스템 크기에 독립적인 근본적인 상한선이 존재하지 않음을 보여준다.

2. 노이즈에 대한 강건성: 저자들은 노이즈가 있는 시나리오로 결과를 확장한다(정리 2). 그들은 $\hat{I}_l$의 관찰된 위반이 이상적인 상태에서 작은 오차 $\epsilon_N$만큼 벗어나고, Eve의 결과 확률이 약간 변하더라도 RQT에서의 $J_N$ 상한값이 억제된 상태를 유지함을 보여준다. 구체적으로, $\beta_{\text{RQT}} \leq \frac{1}{N-1} + O(N^6\sqrt{\epsilon_N})$이다. 이는 오차 허용 범위가 $N$에 대해 억제되어야 함을 의미하지만, 작은 실험적 불완전함이 존재하는 상황에서도 간격은 지속됨을 나타낸다.

3. 수치적 검증: $N=3$인 특정 사례에 대해 저자들은 준정부호 계획법(semidefinite programming)을 사용하여 수치 분석을 수행했다. 결과는 RQT에서의 실제 간격이 논문에서 도출된 분석적 하한보다 현저히 크다는 것을 나타내며, 이는 분석적 상한이 보수적임을 시사한다.

의의
본 논문은 양자 역학의 근본적인 질문을 해결한다고 주장한다: 복소수는 단순히 수학적 편의를 위한 도구가 아니라, 다자간 시나리오에서 실수보다 무한한 이점을 제공하는 필수적인 자원이다.

• 기초적 영향: 이 결과는 양자 네트워크가 확장됨에 따라, 실수 형식론이 복소수 형식론에 비해 시스템의 상관관관계를 설명하는 데 있어 "현저히 열등해짐"을 의미한다. 이는 RQT가 대규모 양자 시스템에 대한 충분한 근사치라는 관점에 도전한다.
• 실험적 함의: 저자들은 더 큰 스타 네트워크가 CQT와 RQT를 구분하는 실험에서 검출 루프홀(detection loophole)을 닫는 데 더 적합하다고 제안한다. 더 큰 간격은 두 이론 사이의 불일치를 실험적으로 검증하는 데 필요한 검출기 효율을 낮춘다.
• 자원 이론: 본 연구는 "허수성(imaginarity)"(복소수의 존재)을 표준 벨 시나리오에서 엔탱글먼트(entanglement)만이 제공하는 이점과는 구별되는, 다자간 시나리오에서 무한한 이점을 제공할 수 있는 자원으로 식별한다.

저자들은 향에 대해 겸허한 태도를 유지하며, 무한한 간격의 존재를 입증했으나 이를 고정된 수의 당사자를 통해 실제로 구현하는 것은 여전히 미결 과제로 남아 있다고 언급한다. 또한 소스 독립성(source independence)을 강제하는 실험적 어려움을 인정하면서도, 그러한 독립성이 물리학의 근본적인 가정이라고 주장한다.