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From Means to Medians: Optimal Benchmark Design

यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करके कि इष्टतम डिज़ाइन (optimal design) निश्चित और परिवर्तनीय हेरफेर लागतों के सापेक्ष परिमाणों पर निर्भर करता है, जो माध्य (means) से माध्यिका (medians) या तदनुसार भारित ट्रिम्ड माध्य (weighted trimmed means) तक विस्तृत है, पारंपरिक वित्त में माध्य-आधारित बेंचमार्क और विकेंद्रीकृत वित्त में माध्यिका-आधारित बेंचमार्क के बीच के अनुभवजन्य अंतर को तर्कसंगत बनाता है।

मूल लेखक: Ángel Hernando-Veciana

प्रकाशित 2026-06-09

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ángel Hernando-Veciana

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप किसी दुर्लभ वस्तु, जैसे कि एक विंटेज घड़ी, की "वास्तविक" कीमत पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं। आप 100 अलग-अलग लोगों से पूछते हैं कि वे इसकी कीमत क्या समझते हैं, और आपको समूह की राय को दर्शाने के लिए एक एकल संख्या की आवश्यकता है। इस एकल संख्या को बेंचमार्क (benchmark) कहा जाता है।

हालाँकि, एक समस्या है: कुछ लोग झूठ बोल सकते हैं। वे पैसा कमाने के लिए कीमत के बारे में झूठ बोलने की कोशिश कर सकते हैं। यदि आप एक उधार लेने वाले (borrower) हैं, तो आप झूठ बोलना चाहेंगे कि घड़ी की कीमत अधिक है ताकि आप इसके बदले अधिक पैसा उधार ले सकें। यदि आप एक ऋणदाता (lender) हैं, तो आप झूठ बोलना चाहेंगे कि यह कम कीमत की है ताकि आप किसी और से वह घड़ी जब्त कर सकें।

यह शोध पत्र एक सरल लेकिन महत्वपूर्ण प्रश्न पूछता है: उस एकल संख्या की गणना करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है जिससे झूठ बोलना यथासंभव महंगा और कठिन हो सके?

लेखक, एंजेल हर्नांडो-वेसियाना (Ángel Hernando-Veciana), यह पता लगाते हैं कि उत्तर पूरी तरह से इस पर निर्भर करता है कि झूठ बोलने की लागत कितनी है। उन्होंने झूठ बोलने के दो प्रकार के "लागत" की पहचान की है:

"गैस शुल्क" लागत (निश्चित लागत - Fixed Cost): झूठ शुरू करने की लागत। डिजिटल वित्त (DeFi) की दुनिया में, यह ब्लॉकचेन को केवल एक झूठ सबमिट करने के लिए लेनदेन शुल्क देने जैसा है, चाहे झूठ कितना भी बड़ा या छोटा क्यों न हो। यह एक खेल में प्रवेश शुल्क देने जैसा है।
"प्रयास" की लागत (परिवर्तनीय लागत - Variable Cost): वह लागत जो झूठ जितना बड़ा होता है, उतनी ही बढ़ती जाती है। यदि आप यह झूठ बोलना चाहते हैं कि घड़ी $100 के बजाय$ 1,000 की है, तो इसमें $110 झूठ बोलने की तुलना में अधिक प्रयास और पैसा लगेगा।

यहाँ यह शोध पत्र इन लागतों के आधार पर सबसे अच्छे "झूठ-पकड़ने वाले" सूत्रों की व्याख्या कैसे करता है, इसके लिए रचनात्मक उपमाओं का उपयोग किया गया है:

1. "औसत" (The Average/Mean)

कब उपयोग करें: जब "प्रवेश शुल्क" शून्य हो, लेकिन "प्रयास" की लागत बड़े झूठ के साथ कठिन होती जाए।

उपमा: एक कक्षा की कल्पना करें जहाँ शिक्षक औसत ऊंचाई पूछ रहे हैं। यदि अपनी ऊंचाई के बारे में झूठ बोलना शुरू करने में कोई लागत नहीं लगती, लेकिन लंबा होने में अधिक ऊर्जा लगती है (जैसे एक रबर बैंड जो खिंचने पर और कड़ा होता जाता है), तो एक धोखेबाज थोड़ा सा हेरफेर करने की कोशिश करेगा ताकि हर कोई थोड़ा लंबा दिखे।
यह क्यों काम करता है: यदि आप औसत (Average) की गणना करते हैं, और हर कोई समान रूप से थोड़ा ऊपर बढ़ जाता है, तो औसत ठीक उसी मात्रा में बढ़ जाता है। धोखेबाज केवल कुछ लोगों को बदलकर धोखा नहीं दे सकता; उसे हर किसी को बदलना होगा। क्योंकि "प्रयास" की लागत तेजी से बढ़ती है (convex), इसलिए सबको बदलना बहुत महंगा हो जाता है।
वास्तविक दुनिया: यही कारण है कि पारंपरिक वित्त (जैसे शेयर बाजार) अक्सर औसत (Average) का उपयोग करता है। यह मानता है कि कीमत में हेरफेर करने के लिए बहुत अधिक ट्रेडिंग वॉल्यूम की आवश्यकता होती है, जो बहुत जल्दी महंगा हो जाता है।

2. "मध्य" (The Median)

कब उपयोग करें: जब "प्रयास" की लागत शून्य हो, लेकिन "प्रवेश शुल्क" अधिक हो।

उपमा: लोगों की एक कतार की कल्पना करें। मिडियन (Median) वह व्यक्ति है जो ठीक बीच में खड़ा है। यदि ऊंचाई के बारे में झूठ बोलना आसान है, लेकिन लाइन में झूठ बोलने के लिए आपको भारी "प्रवेश शुल्क" देना पड़ता है, तो एक धोखेबाज कुशल होने की कोशिश करेगा। वे सभी को बदलने की कोशिश नहीं करेंगे। इसके बजाय, वे बीच के व्यक्ति को नई जगह पर धकेलने के लिए पर्याप्त लोगों को रिश्वत देंगे।
यह क्यों काम करता है: मिडियन को बदलने के लिए, आपको केवल आधे लोगों को बदलने की आवश्यकता है। यदि "प्रवेश शुल्क" अधिक है, तो धोखेबाज कम से कम लोगों को (50% से थोड़ा अधिक) रिश्वत देकर परिणाम को बदलने की कोशिश करेगा। मिडियन इसके प्रति सबसे अधिक प्रतिरोधी है क्योंकि यह चरम आंकड़ों (बहुत लंबे या बहुत छोटे झूठ बोलने वालों) को अनदेखा करता है और केवल बीच के लोगों पर ध्यान देता है।
वास्तविक दुनिया: यही कारण है कि विकेंद्रीकृत वित्त (DeFi) अक्सर मिडियन (Median) का उपयोग करता है। क्रिप्टो में, आप कीमतों को हिलाने के लिए तुरंत "फ्लैश लोन" का उपयोग कर सकते हैं, जिससे कीमत बदलने का "प्रयास" लगभग शून्य हो जाता है। हालाँकि, आपको हर लेनदेन के लिए ब्लॉकचेन "प्रवेश शुल्क" (गैस) देना पड़ता है। चूंकि कुछ लोगों को रिश्वत देकर बीच के व्यक्ति को बदलना सस्ता है, इसलिए मिडियन सबसे अच्छा बचाव है।

3. "ट्रिम्ड एवरेज" (The Trimmed Average - एक समझौता)

कब उपयोग करें: जब आपके पास "प्रवेश शुल्क" और "प्रयास की लागत" दोनों हों।

उपमा: एक प्रतियोगिता की कल्पना करें जहाँ आपको शामिल होने के लिए प्रवेश शुल्क देना पड़ता है, और फिर आप हर कदम के लिए भुगतान करते हैं। यदि दोनों लागतें मौजूद हैं, तो सबसे अच्छी रणनीति सभी को देखना (औसत) या केवल मध्य व्यक्ति (मिडियन) को देखना नहीं है। इसके बजाय, आप शीर्ष 10% और निचले 10% लोगों (सबसे चरम झूठ बोलने वालों) को हटा देते हैं और बाकी लोगों का औसत लेते हैं।
यह क्यों काम करता है: इसे ट्रिम्ड मीन (Trimmed Mean) कहा जाता है। यदि प्रवेश शुल्क अधिक है, तो धोखेबाज बहुत अधिक लोगों को रिश्वत नहीं देना चाहेगा। यदि वे औसत बदलने के लिए कुछ लोगों को रिश्वत देते हैं, तो "ट्रिम्ड मीन" उन चरम झूठ बोलने वालों को अनदेखा कर देता है। यदि वे सभी को बदलने की कोशिश करते हैं, तो "प्रयास" की लागत बहुत अधिक हो जाती है। ट्रिम्ड मीन एक सही संतुलन (sweet spot) ढूंढ लेता है।
ट्विस्ट: शोध पत्र दिखाता है कि यदि प्रवेश शुल्क बहुत अधिक है, तो आपको अधिक ट्रिम करना चाहिए (मिडियन के करीब जाना चाहिए)। यदि प्रवेश शुल्क कम है, तो आपको कम ट्रिम करना चाहिए (औसत के करीब जाना चाहिए)।

बड़ी तस्वीर: पारंपरिक वित्त बनाम क्रिप्टो अलग क्यों हैं?

यह शोध पत्र एक रहस्य सुलझाता है: पारंपरिक वित्त औसत (Averages) का उपयोग क्यों करता है, जबकि नया क्रिप्टो जगत मिडियन (Medians) का उपयोग क्यों करता है?

पारंपरिक वित्त: यहाँ कीमत में हेरफेर करने के लिए आपको बहुत अधिक स्टॉक खरीदना और बेचना पड़ता है। आप जितना अधिक खरीदते हैं, यह उतना ही महंगा होता जाता है (उच्च प्रयास लागत)। चूंकि "प्रवेश शुल्क" कम है, इसलिए औसत (Average) सबसे अच्छा बचाव है।
क्रिप्टो (DeFi): आप कीमतों को हिलाने के लिए तुरंत पैसा उधार ले सकते हैं, इसलिए "प्रयास" की लागत लगभग शून्य है। लेकिन, हर बार जब आप कोई कदम उठाते हैं, तो आपको ब्लॉकचेन लेनदेन शुल्क देना पड़ता है (उच्च प्रवेश शुल्क)। चूंकि कीमत को बदलना सस्ता है लेकिन इसे कई बार करना महंगा है, इसलिए मिडियन (Median) सबसे अच्छा बचाव है।

सारांश

शोध पत्र तर्क देता है कि कीमतों की गणना करने के लिए कोई एक "परफेक्ट" सूत्र नहीं है। सबसे अच्छा सूत्र झूठ बोलने की लागत संरचना पर निर्भर करता है:

यदि बड़ा झूठ बोलना कठिन है, तो औसत (Average) का उपयोग करें।
यदि बड़ा झूठ बोलना सस्ता है लेकिन शुरू करना महंगा है, तो मिडियन (Median) का उपयोग करें।
यदि दोनों लागतें मौजूद हैं, तो ट्रिम्ड एवरेज (Trimmed Average) का उपयोग करें (चरम सीमाओं को हटा दें)।

इन लागतों को समझकर, हम ऐसे वित्तीय सिस्टम बना सकते हैं जिन्हें धोखा देना बहुत कठिन हो।

तकनीकी सारांश: माध्य से मध्यिका तक: इष्टतम बेंचमार्क डिज़ाइन

1. समस्या विवरण

यह शोध पत्र वित्तीय बाजारों में मूल्य बेंचमार्क के महत्वपूर्ण डिज़ाइन पर ध्यान केंद्रित करता है, विशेष रूप से उनकी हेरफेर (manipulation) के प्रति प्रतिरोधक क्षमता पर। बेंचमार्क, जो प्रचलित बाजार कीमतों का सारांश प्रस्तुत करते हैं, डेरिवेटिव, ऋण और पोर्टफोलियो मूल्यांकन का आधार बनते हैं। इन अनुबंधों का अंकित मूल्य (notional value) एजेंटों को अपने लाभ के लिए कीमतों को विकृत करने के लिए प्रोत्साहन पैदा करता है। जबकि पारंपरिक वित्त में हेरफेर के परिणामस्वरूप सैकड़ों मिलियन डॉलर की हानि हुई है, विकेंद्रीकृत वित्त (DeFi) के आगमन ने स्वचालित निष्पादन, बड़े अनुबंध मूल्यों और सीमित कानूनी प्रवर्तनीयता के कारण इन चिंताओं को और बढ़ा दिया है।

एक पहेली जैसा दिखने वाला अनुभवजन्य पैटर्न इस जांच को प्रेरित करता है: पारंपरिक वित्त (जैसे, LIBOR, EURIBOR, 4pm Fix) के बेंचमार्क आमतौर पर माध्य (mean) का उपयोग करते हैं, जबकि DeFi (जैसे, MakerDAO, Tellor oracles) के बेंचमार्क मुख्य रूप से मध्यिका (median) का उपयोग करते हैं। यह शोध पत्र यह निर्धारित करने का प्रयास करता है कि कौन सा इष्टतम बेंचमार्क सूत्र हेरफेर की लागत को अधिकतम करता है, जिससे इस विभाजन की व्याख्या की जा सके और एक सुदृढ़ बेंचमार्क के लिए डिज़ाइन नियम प्रदान किया जा सके।

2. कार्यप्रणाली और मॉडल

लेखक एक गेम-थ्योरेटिक ढांचे का उपयोग करता है जिसे मल्टी-टास्क मोरल हैजर्ड (multi-task moral hazard) के साथ एक इष्टतम अनुबंध समस्या के रूप में मॉडल किया गया है। हेरफेरकर्ता (manipulator) एक एजेंट के रूप में कार्य करता है जो एक विशिष्ट पूर्वाग्रह ( $\Delta$ ) को प्रेरित करने के लिए एक मूल्य वितरण को विकृत करने का तरीका चुनता है, जो एक लागत फलन (cost function) के अधीन होता है।

मुख्य मॉडल घटक:

मूल्य वितरण (Price Distribution): अनमैनिपुलेटेड (unmanipulated) कीमतें एक वितरण $F$ से ली जाती हैं, जो $P$ बिंदु के आसपास सममित (symmetric) और सख्ती से सिंगल-पीक्ड (single-peaked) मानी जाती हैं। कुछ परिणामों में, वितरण को बिना फैलाव वाला (डिजेनरेट) माना गया है।
हेरफेर रणनीति (Manipulation Strategy): हेरफेरकर्ता प्रारंभिक वितरण $F$ को मैनिपुलेटेड वितरण $G$ में बदल देता है। रणनीति को सशर्त वितरण फलनों $G_c(\cdot|p)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
लागत संरचना (Cost Structure): हेरफेर की लागत दो घटकों का योग है:
1. परिवर्तनीय लागतें ( $c(\cdot)$ ): मूल्य विरूपण ( $q$ ) के परिमाण का एक फलन। शोध पत्र दोनों उत्तल (convex) और अवतल (concave) रूपों पर विचार करता है। विशेष रूप से, परिशिष्ट B व्युत्पन्न करता है कि कॉन्स्टेंट-प्रोडक्ट मार्केट मेकर्स (CPMMs) के लिए, परिवर्तनीय लागतें अवतल (concave) होती हैं।
2. स्थिर लागतें ( $k$ ): प्रति मैनिपुलेटेड मूल्य लगने वाली एक लागत, जो विरूपण के आकार से स्वतंत्र है। यह विशेष रूप से ब्लॉकचेन वातावरण में प्रासंगिक है जहाँ लेनदेन क्रम (जैसे, MEV नीलामी या गैस शुल्क के माध्यम से) सुरक्षित करने में प्रति लेनदेन लागत आती है।
बेंचमार्क परिभाषा: एक बेंचमार्क एक लोकेशन फंक्शनल (location functional) है। शोध पत्र सममित बेंचमार्क (वे जो सममित वितरणों के लिए सममिति बिंदु के बराबर होते हैं) पर ध्यान केंद्रित करता है, जिसमें माध्य, मध्यिका और $\tau$ -ट्रिम्ड मीन शामिल हैं।
इष्टतमता मानदंड (Optimality Criterion): एक बेंचमार्क इष्टतम है यदि वह एक दिए गए पूर्वाग्रह $\Delta$ को प्रेरित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम लागत को अधिकतम करता है। विश्लेषण प्रपोजिशन 1 पर आधारित है, जो कहता है कि यदि एक सममित, लागत-न्यूनतम हेरफेर रणनीति मौजूद है, तो वह बेंचमार्क इष्टतम है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम

A. ध्रुवीय मामले (सजातीय बाजार - Homogeneous Market)

शोध पत्र लागत संरचना और इष्टतम बेंचमार्क के बीच एक संबंध स्थापित करता है:

नगण्य स्थिर लागत ( $k=0$ ) के साथ उत्तल परिवर्तनीय लागत: माध्य (Mean) इष्टतम है। जब परिवर्तनीय लागत उत्तल होती है, तो सबसे सस्ती हेरफेर रणनीति सभी कीमतों में पूर्वाग्रह को समान रूप से फैलाना है। माध्य ऐसे समान बदलावों के प्रति अत्यधिक सुदृढ़ है, जबकि मध्यिका उनके प्रति अत्यधिक संवेदनशील है।
नगण्य परिवर्तनीय लागत ( $c(\cdot)=0$ ): मध्यिका (Median) इष्टतम है। जब केवल स्थिर लागत ही मायने रखती है, तो हेरफेरकर्ता मध्यिका को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम द्रव्यमान (mass) की कीमतों को मैनिपुलेट करके लागत को कम करता है। मध्यिका को ठीक आधा द्रव्यमान मैनिपुलेट करने की आवश्यकता होती है, जबकि माध्य के लिए सभी कीमतों को मैनिपुलेट करने की आवश्यकता होगी। इस प्रकार, मध्यिका इस शासन में हेरफेर की लागत को अधिकतम करती है।

B. सामान्य मामला (स्थिर और परिवर्तनीय लागत)

जब दोनों लागत घटक मौजूद होते हैं, तो इष्टतम बेंचमार्क एक ट्रिम्ड मीन (Trimmed Mean) होता है।

उत्तल परिवर्तनीय लागत: यदि लक्षित पूर्वाग्रह ( $\delta_{min} > 2\Delta$ ) के सापेक्ष स्थिर लागत अधिक है, तो माध्य का इष्टतम हेरफेर आधे से कम कीमतों पर केंद्रित होगा, जिससे सममिति टूट जाएगी। एक $\tau$ -ट्रिम्ड मीन इसे खारिज करके इसका मुकाबला करता है, जिससे हेरफेरकर्ता को उच्च औसत लागतों के विरुद्ध एकाग्रता (concentration) के बीच संतुलन बनाने के लिए मजबूर किया जाता है। इष्टतम ट्रिमिंग पैरामीटर $\tau^*$ स्थिर लागत बढ़ने के साथ बढ़ता है।
अवतल परिवर्तनीय लागत: यह मामला DeFi CPMMs के लिए अनुभवजन्य रूप से प्रासंगिक है। बिना स्थिर लागत के भी, अवतलता का अर्थ है कि इष्टतम हेरफेर द्रव्यमान को चरम सीमाओं (extremes) पर केंद्रित करता है। इष्टतम बेंचमार्क एक ट्रिम्ड मीन ही रहता है, जिसमें ट्रिमिंग की डिग्री स्थिर लागत बढ़ने के साथ बढ़ती है।
तुलनात्मक स्टेटिक्स (Comparative Statics): इष्टतम ट्रिमिंग की डिग्री बाजार की तरलता (liquidity) के साथ घटती है। गहरे पूल्स (जहाँ सीमांत हेरफेर लागत अधिक है) में, बेंचमार्क माध्य के करीब पहुँच जाता है; उथले पूल्स में, यह मध्यिका के करीब पहुँच जाता है।

C. विषम बाजार (Heterogeneous Markets)

शोध पत्र उन बाजारों के विश्लेषण का विस्तार करता है जहाँ कीमतें अलग-अलग हेरफेर लागतों (जैसे, अलग-अलग तरलता या समय के साथ गैस शुल्क) वाले उप-जनसंख्याओं से आती हैं।

शुद्ध रूप से परिवर्तनीय लागत: इष्टतम बेंचमार्क एक वेटेड मीन (Weighted Mean) है, जहाँ भार (weights) सीमांत हेरफेर लागत ( $c'_i(\Delta)$ ) के समानुपाती होते हैं। वे कीमतें जिन्हें हाशिए पर मैनिपुलेट करना सस्ता है, उन्हें कम भार दिया जाता है।
शुद्ध रूप से स्थिर लागत: इष्टतम बेंचमार्क एक वेटेड मीडियन (Weighted Median) है (एजवर्थ की भावना में), जहाँ भार हेरफेर की स्थिर लागतों ( $k_i$ ) के समानुपाती होते हैं।
आनुपातिक लागत: यदि उप-जनसंख्याओं में स्थिर और परिवर्तनीय लागतें आनुपातिक हैं, तो इष्टतम बेंचमार्क एक वेटेड ट्रिम्ड मीन (Weighted Trimmed Mean) है, जिसके भार और ट्रिमिंग पैरामीटर संयुक्त लागत संरचना को दर्शाते हैं।

4. महत्व और दावे

शोध पत्र देखे गए पारंपरिक वित्त और DeFi बेंचमार्क डिज़ाइनों के बीच विचलन के लिए एक सैद्धांतिक औचित्य प्रदान करने का दावा करता है:

पारंपरिक वित्त: निरंतर व्यापार और उत्तल परिवर्तनीय लागतों (नगण्य स्थिर लागत के साथ) द्वारा विशेषता है, जिससे माध्य की इष्टतमता सिद्ध होती है।
विकेंद्रीकृत वित्त (DeFi): फ्लैश लोन जैसे उपकरणों की उपलब्धता (जो परिवर्तनीय लागत को नगण्य बनाती है) लेकिन लेनदेन क्रम (MEV/गैस) के लिए उच्च स्थिर लागतों द्वारा विशेषता है, जिससे मध्यिका की इष्टतमता सिद्ध होती है।

लेखक इस बात पर जोर देता है कि परिणाम विशिष्ट धारणाओं (सममित वितरण, विशिष्ट लागत संरचनाएं) के तहत प्राप्त किए गए हैं, और विश्लेषण को असममित वितरण या सामान्य विषम लागत संरचनाओं तक विस्तारित करना एक चुनौती बना हुआ है। शोध पत्र अपने हेरफेर-प्रतिरोध मानदंड को रोबस्ट सांख्यिकी (L-estimators) में पाए जाने वाले सांख्यिकीय दक्षता मानदंडों के प्रतिस्पर्धी के बजाय पूरक के रूप में प्रस्तुत करता है। यह पहचानकर कि माध्य, मध्यिका और ट्रिम्ड मीन हेरफेर-इष्टतम हैं, यह शोध पत्र सुझाव देता है कि इन मानक अनुमानकों (estimators) को दक्षता और सुदृढ़ता दोनों आयामों के साथ अनुशासित किया जा सकता है।

यह कार्य स्मार्ट कॉन्ट्रैक्ट्स के लिए कोई नए प्रयोगात्मक प्रोटोकॉल या विशिष्ट कार्यान्वयन विवरण प्रस्तावित नहीं करता है। यह लागत संरचनाओं और एकत्रीकरण सूत्रों के बीच मौलिक ट्रेड-ऑफ को निर्धारित करने के लिए मौलिक हेरफेर-प्रतिरोध मानदंड पर केंद्रित है।