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From Means to Medians: Optimal Benchmark Design

本論文は、最適な設計が固定操作コストと可変操作コストの相対的な大きさに依存し、それに応じて平均値から中央値、あるいは加重トリム平均へと変化することを示すことにより、伝統的金融における平均値ベースのベンチマークと分散型金融における中央値ベースのベンチマークとの間にある経験的な隔たりを合理化するものである。

原著者： Ángel Hernando-Veciana

公開日 2026-06-09

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CC BY 4.0

原著者： Ángel Hernando-Veciana

原論文は CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) でライセンスされています。 ✨ これは以下の論文のAI生成解説です。著者が執筆または承認したものではありません。技術的な正確性については原論文を参照してください。免責事項の全文を読む

ヴィンテージの時計のような希少なアイテムの「真の」価格を突き止めようとしている場面を想像してみてください。あなたは100人の異なる人々に、その価値がいくらだと思うかを尋ねました。そして、グループの意見を一つの数字で表す必要があります。この一つの数字のことをベンチマークと呼びます。

しかし、問題があります。嘘をつく人がいるかもしれないのです。彼らは利益を得るために、価格について嘘をつこうとするかもしれません。借り手であれば、より多くの資金を担保に借りられるよう、時計の価値を「高く」と偽りたいでしょう。一方で貸し手であれば、誰かから時計を差し押さえるために、価値を「低く」と偽きたいかもしれません。

この論文は、シンプルかつ極めて重要な問いを投げかけています。嘘をつくコストが最も高く、かつ困難になるようにするには、その一つの数字を算出する最善の方法は何でしょうか？

著者であるアンヘル・エルナンド＝ベシアナ（Ángel Hernando-Veciana）は、その答えは「嘘をつくのにどれだけのコストがかかるか」に完全に依存することを明らかにしました。彼は、嘘をつくための「コスト」には2つのタイプがあるとしています。

「ガス代」コスト（固定コスト）： 嘘をつき始めること自体にかかるコストです。分散型金融（DeFi）の世界では、これはブロックチェーンにトランザクション手数料を支払って嘘を提出するようなものです。嘘の大きさに関わらず、ゲームへの参加料を払うようなものです。
「努力」コスト（変動コスト）： 嘘が大きくなればなるほど高くなるコストです。もし、時計の価値が100ドルではなく1,000ドルだと嘘をつきたいなら、110ドルだと嘘をつくよりも多くの努力と資金が必要になります。

以下に、創造的な比喩を用いて、コストに基づいた最適な「嘘発見器」の数式を説明します。

1. 「平均値」（Mean）

いつ使うべきか： 「参加料（固定コスト）」はゼロだが、「努力（変動コスト）」は嘘が大きくなるほど高くなる場合。

比喩： ある教室で、先生が平均身長を求めている場面を想像してください。身長について嘘をつくための「開始コスト」はゼロですが、背を高くしようとするとエネルギーをより多く消費する場合（ゴムを伸ばすとどんどん硬くなるような状況）、嘘つきは全員の身長をほんの少しずつ、同じ分だけ高くすることで不正を働こうとします。
なぜ機能するか： もしあなたが平均値を計算し、全員が同じ分だけ少しずつ高くなったとしても、平均値は正確にその分だけ上昇します。嘘つきは、一部の人を操作するのではなく、全員を操作しなければなりません。そして「努力」のコストが急激に高くなる（凸関数である）ため、全員を操作することは非常に高くつきます。
実社会： これが、伝統的な金融（株式市場など）で平均値がよく使われる理由です。価格を操作するには大量の取引量が必要であり、それが非常に高価になることを前提としています。

2. 「中央値」（Median）

いつ使うべきか： 「努力（変動コスト）」はゼロだが、「参加料（固定コスト）」が高い場合。

比喩： 一列に並んだ人々を想像してください。中央値とは、ちょうど真ん中に立っている人のことです。身長について嘘をつくための「努力」はゼロですが、列に加わって嘘をつくために重い「参加料」を支払わなければならない場合、嘘つきは効率的に動こうとします。彼らは全員を動かそうとはしません。代わりに、中央にいる人を新しい位置に押し上げるために、最低限の人数を抱き込みます。
なぜ機能するか： 中央値を動かすには、半数の人数を動かすだけで済みます。もし「参加料」が高ければ、嘘つきは結果を覆すために、動かす人数を最小限（50%をわずかに超える程度）に抑えようとします。中央値は、極端な外れ値（非常に背が高い人や低い人）を無視し、真ん中の人だけを重視するため、これに対して最も高い耐性を持ちます。
実社会： これが、分散型金融（DeFi）で中央値がよく使われる理由です。クリプトの世界では、「フラッシュローン」を利用して膨大な資金を瞬時に借りることができるため、価格を動かすための「努力」コストはほぼゼロになります。しかし、操作を行うたびにブロックチェーンの「参加料（ガス代）」を支払う必要があります。そのため、中央値を動かすために少数の人を抱り込む方が、全員を動かすよりも安上がりなのです。

3. 「トリム平均」（Trimmed Average）

いつ使うべきか： 「参加料」と「努力」の両方が存在する場合。

比喩： 参加料を払って参加し、さらに歩いた一歩ごとに料金が発生するコンテストを想像してください。両方のコストが存在する場合、最善の戦略は「全員」を見る（平均値）ことでも、「真ん中の人だけ」を見る（中央値）ことでもありません。代わりに、上位10%と下位10%の人々（最も極端な嘘つきたち）を切り捨て、残りの人々の平均を取ります。
なぜ機能するか： これは**トリム平均（刈り込み平均）**と呼ばれます。もし「参加料」が高ければ、嘘つきはあまり多くの人を抱き込みたくありません。もし彼らが平均値を動かそうとして少数の人を抱き込んだとしても、トリム平均はその極端な嘘つきたちを無視します。逆に、全員を動かそうとすれば、「努力」のコストが高くなりすぎます。トリム平均はこのスイートスポットを見つけ出します。
ひねり： 本論文は、参加料が非常に高い場合は、より多くをトリムすべき（中央値に近づけるべき）であり、参加料が低い場合は、トリムを少なくすべき（平均値に近づけるべき）であることを示しています。

大きな全体像：なぜ伝統的金融とクリプトは異なるのか

この論文は、ある謎を解いています。なぜ古い金融の世界では「平均値」を使い、新しいクリプトの世界では「中央値」を使うのでしょうか？

伝統的金融： ここで価格を操作するには、大量の株を売買しなければなりません。買えば買うほど、コストは増大します（高い努力コスト）。「参加料」は低いため、平均値が最善の防御策となります。
クリプト（DeFi）： 価格を動かすために資金を即座に借りることができるため、「努力」のコストはほぼゼロです。しかし、操作を行うたびにブロックチェーンのトランザクション手数料（高い参加料）を支払わなければなりません。価格を動かすのは簡単ですが、何度も行うにはコストがかかるため、中央値が最善の防御策となります。

まとめ

この論文は、価格を計算するための単一の「完璧な」数式は存在しないと主張しています。最善の数式は、嘘をつくためのコスト構造によって決まります。

嘘をつくのが「大きくするのは難しい」なら、平均値を使う。
嘘をつくのが「大きくするのは簡単だが、始めるのが高い」なら、中央値を使う。
両方のコストが存在するなら、トリム平均（極端な部分を切り捨てる）を使う。

これらのコストを理解することで、私たちはより騙されにくい金融システムを設計することができるのです。

テクニカル・サマリー：平均から中央値へ：最適なベンチマーク設計

1. 問題提起

本論文は、金融市場における価格ベンチマークの設計、特にその操作に対する耐性に焦点を当て、極めて重要な課題に取り組んでいる。ベンチマークは、支配的な市場価格を要約するものであり、デリバティブ、ローン、ポートフォリオの評価の根拠となる。これらの契約の想定元本は、エージェントが自身の利益のために価格を歪めるインセンティブを生み出す。伝統的金融における操作は数億ドルの損失をもたらしてきたが、分散型金融（DeFi）の出現は、自動化された実行、巨大な契約価値、および限定的な法的強制力により、これらの懸念を増幅させている。

ある不可解な経験的パターンが、この探究の動機となっている。すなわち、伝統的金融（LIBOR、EURIBOR、午後4時のフィックスなど）のベンチマークは通常**平均（mean）を使用するのに対し、DeFiのベンチマーク（MakerDAO、Tellorオラクルなど）は主に中央値（median）**を使用しているという点である。本論文は、操作コストを最大化する最適なベンチマークの公式を決定することを目指しており、これによりこの乖離を説明し、堅牢なベンチマークのための設計ルールを提供しようとしている。

2. メソドロジーとモデル

著者は、マルチタスク・モラルハザードを伴う最適契約問題としてモデル化された、ゲーム理論的枠組みを用いている。操作者は、コスト関数に従いつつ、ベンチマークに特定のバイアス（ $\Delta$ ）を誘発するために価格分布をどのように歪めるかを選択するエージェントとして機能する。

主要なモデル構成要素：

価格分布： 操作されていない価格は、分布 $F$ から抽出される。 $F$ は対称であり、点 $P$ の周囲で厳密に単峰型であると仮定される。一部の結果では、分布には分散がない（ $P$ で退化している）と仮定される。
操作戦略： 操作者は、初期分布 $F$ から操作された分布 $G$ へと価格をシフトさせる。戦略は、条件付き分布関数 $G_c(\cdot|p)$ によって定義される。
コスト構造： 操作コストは、以下の2つの成分の合計である。
1. 可変コスト ( $c(\cdot)$ )： 価格の歪みの大きさ（ $q$ ）の関数。論文では、凸（convex）および凹（concave）の両方の形式を検討している。特筆すべき点として、付録Bでは、定数積マーケットメイカー（CPMM）の場合、可変コストは**凹（concave）**になることが導出されている。
2. 固定コスト ( $k$ )： 操作された価格ごとに発生するコストであり、歪みの大きさには依存しない。これは、ブロックチェーン環境において、トランザクションの順序付け（例：MEVオークションやガス代）を確保するために、トランザクションごとにコストが発生することに関連している。
ベンチマークの定義： ベンチマークは位置関数（location functional）である。本論文は、対称ベンチマーク（対称分布における対称点と等しいもの）に焦点を当てており、これには平均、中央値、および $\tau$ -トリムド平均が含まれる。
最適性基準： ベンチマークが最適であるとは、操作者が特定のバイアス $\Delta$ を誘発するために必要な最小コストを最大化することを指す。分析は、命題1に基づいている。これは、対称でコスト最小化を実現する操作戦略が存在する場合、そのベンチマークは最適であるというものである。

3. 主要な貢献と結果

A. 極端なケース（均質な市場）

論文は、コスト構造と最適なベンチマークとの間の対応関係を確立している。

固定コストが無視できる場合 ( $k=0$ ) かつ可変コストが凸の場合： **平均（Mean）**が最適である。可変コストが凸である場合、最も安価な操作戦略は、バイアスをすべての価格に均一に分散させることである。平均はこのような一様なシフトに対して最大限に堅牢であるが、中央値はそれに対して非常に敏感である。
可変コストが無視できる場合 ( $c(\cdot)=0$ )： **中央値（Median）**が最適である。固定コストのみが重要である場合、操作者は中央値をシフトさせるために必要な最小限の質量を操作することでコストを最小化する。中央値は正確に半分（half）の質量を操作する必要があるのに対し、平均はすべての価格を操作する必要がある。したがって、このレジームでは中央値が操作コストを最大化する。

B. 一般的なケース（固定コストと可変コストの両方）

両方のコスト成分が存在する場合、最適なベンチマークは**トリムド平均（Trimmed Mean）**となる。

凸の可変コスト： 固定コストが目標バイアスに対して大きい場合（ $\delta_{min} > 2\Delta$ ）、平均の最適な操作は、半分未満の価格に集中することになり、対称性が崩れる。 $\tau$ -トリムド平均は、極端な価格を排除することでこれに対抗し、操作者に「集中」と「高い平均コスト」の間のトレードオフを強いる。最適なトリミング・パラメータ $\tau^*$ は、固定コストの上昇に伴って増加する。
凹の可変コスト： このケースはDeFiのCPMMにおいて実務的に重要である。固定コストがなくとも、凹性は最適な操作が質量を極端な部分に集中させることを意味する。最適なベンチマークは依然としてトリムド平均であり、固定コストの増大に伴ってトリミングの度合いが増していく。
比較静学： 最適なトリミングの度合いは、市場の流動性と反比例する。より深いプール（限界操作コストが高い場所）では、ベンチマークは平均に近づき、浅いプールでは中央値に近づく。

C. 異質な市場

論文は、価格が異なる操作コストを持つサブポピュレーション（例：時間経過による流動性やガス代の変化）から来る市場へと分析を拡張している。

純粋な可変コスト： 最適なベンチマークは、限界操作コスト ( $c'_i(\Delta)$ ) に比例した重みを持つ**加重平均（Weighted Mean）**である。限界的に操作しやすい価格は、重みが低く設定される。
純粋な固定コスト： 最適なベンチマークは、操作の固定コスト ( $k_i$ ) に比例した重みを持つ加重中央値（Weighted Median）（エッジワースの精神に基づく）である。
比例的なコスト： 固定コストと可変コストがサブポピュレーション間で比例している場合、最適なベンチマークは、重みとトリミング・パラメータが結合されたコスト構造を反映した**加重トリムド平均（Weighted Trimmed Mean）**となる。

4. 重要性と主張

本論文は、観察されている伝統的金融とDeFiのベンチマーク設計の乖離に対して、理論的な合理化を提供すると主張している。

伝統的金融： 持続的な取引と凸の可変コスト（価格観測あたりの固定コストは無視できる）を特徴とし、平均の最適性につながっている。
分散型金融（DeFi）： フラッシュローンなどのツールによって可変コストが無視できる一方で、トランザクションの順序付け（MEV/ガス）に関する高い固定コストを特徴とし、中央値の最適性に繋がっている。

著者は、これらの結果が特定の仮定（対称分布、特定のコスト構造）の下で導出されたものであることを強調しており、非対称な分布や一般的な異質なコスト構造への拡張は依然として課題であるとしている。本論文は、自身の操作耐性基準を、ロバスト統計学に見られる統計的効率性の基準（L推定量）と競合するものではなく、補完的なものとして位置づけている。平均、中央値、およびトリムド平均を操作に対して最適であると特定することで、これらの標準的な推定量が、効率性と堅牢性の両方の次元に沿って規律化され得ることを示唆している。

本研究は、集計ルールとしての理論的な集計規則を除き、スマートコントラクトの具体的な実装の詳細や新しい実験的プロトコルを提案するものではない。それは、最も操作耐性の高いベンチマークを決定するための、コスト構造と集計公式の間の根本的なトレードオフに焦点を当てている。