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From Means to Medians: Optimal Benchmark Design

本文通过论证最优设计取决于固定操纵成本与变动操纵成本的相对大小，从而解释了传统金融中基于均值的基准与去中心化金融中基于中位数的基准之间的经验性差异，并指出随着成本比例的变化，其设计会相应地从均值转向中位数或加权修剪均值。

原作者： Ángel Hernando-Veciana

发布于 2026-06-09

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原作者： Ángel Hernando-Veciana

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你正试图弄清楚一件稀有物品（比如一块古董表）的“真实”价格。你询问了 100 个不同的人对该价值的看法，并且你需要用一个数字来代表这个群体的意见。这个单一的数字被称为基准（benchmark）。

然而，这里有一个问题：有些人会撒谎。他们可能会试图通过谎报价格来牟利。如果你是借款人，你可能想撒谎说这块表更值钱，以便能以此抵押更多资金；如果你是贷方，你可能想撒谎说它更不值钱，以便能从别人手中夺取这块表。

这篇论文提出了一个简单但至关重要的问题：计算这个单一数字的最佳方式是什么，才能让撒谎的成本最高且难度最大？

作者 Ángel Hernando-Veciana 发现，答案完全取决于撒谎的“成本”。他确定了两类撒谎的“成本”：

“手续费”成本（固定成本）： 这是开始撒谎本身的成本。在去中心化金融（DeFi）的世界里，这就像是向区块链提交一个谎言时需要支付的交易手续费，无论谎言的大小如何。这就像是参加游戏的入场费。
“精力”成本（变动成本）： 这是随着谎言规模增大而增加的成本。如果你想把表的价值从 100 美元谎报成 1,000 美元，这比把 100 美元谎报成 110 美元需要更多的精力和金钱。

以下是该论文如何根据这些成本解释不同的“谎言检测器”公式，并使用了富有创意的类比：

1. “平均数”（The Average/The Mean）

适用场景： 当“入场费”为零，但“精力”成本会随着谎言变大而增加时。

类比： 想象一个教室，老师在询问平均身高。如果撒谎关于身高的成本为零，但变高会让你消耗越来越多的能量（就像拉伸一根越来越紧的橡皮筋），那么撒骗者会尝试通过让房间里的每个人都稍微变高一点点来进行作弊。
为什么有效： 如果你计算的是平均数，并且每个人都同步向上移动了一点点，那么平均数也会正好上升那一点点。撒骗者无法通过只改变其中几个人来作弊；他们必须改变所有人。因为“精力”成本上升得很快（凸性函数），试图改变所有人的成本会变得极其昂贵。
现实世界： 这就是为什么传统金融（如股票市场）通常使用平均数的原因。它假设操纵价格需要大量的交易量，而交易量的增加会导致成本迅速上升。

2. “中位数”（The Middle/The Median）

适用场景： 当“精力”成本为零，但“入场费”很高时。

类比： 想象一排人。中位数就是站在正中间的那个人。如果撒谎关于身高的成本几乎为零，但你必须支付高额的“入场费”才能进入队伍去撒谎，那么撒骗者会追求效率。他们不会试图移动所有人，而是会通过贿赂足够多的人，将中间位置的人推到一个新的位置。
为什么有效： 为了移动中位数，你只需要移动一半的人。如果“入场费”很高，撒骗者会尝试移动最少数量的人（刚好超过 50%）来改变结果。中位数之所以最具抵抗力，是因为它忽略了极端的离群值（非常高或非常矮的撒骗者），而只关注中间位置。
现实世界： 这就是为什么去中心化金融（DeFi）经常使用中位数的原因。在加密货币领域，你可以使用“闪电贷”瞬间借入巨额资金，使得移动价格的“精力”成本几乎为零。然而，你每进行一次操作都必须支付区块链的“入场费”（Gas 费）。因此，贿赂少数人来移动中间位置，比试图移动所有人要便宜得多。

3. “修剪平均数”（The Trimmed Average/The Compromise）

适用场景： 当你同时面临“入场费”和“精力”成本时。

类比： 想象一场比赛，你必须支付入场费才能参加，然后还要为每走一步支付费用。如果两种成本同时存在，最好的策略既不是看所有人（平均数），也不是只看中间那个人（中位数）。相反，你应该切掉人群中最顶端 10% 和最底端 10% 的人（即最极端的撒骗者），然后对剩下的部分取平均值。
为什么有效： 这被称为修剪平均数（Trimmed Mean）。如果入场费很高，撒骗者就不想贿赂太多人。如果他们试图通过贿赂少数人来改变平均数，修剪平均数就会忽略那些极端的撒骗者。如果他们试图贿赂所有人，那么“精力”成本就会变得太高。修剪平均数找到了这两者之间的平衡点。
转折点： 论文指出，如果入场费非常高，你应该修剪更多（向中位数靠拢）；如果入场费很低，你应该修剪更少（向平均数靠拢）。

大局观：为什么传统金融与加密货币不同

这篇论文解开了一个谜团：为什么旧金融世界使用平均数，而新的加密世界使用中位数？

传统金融： 在这里操纵价格需要买卖大量的股票。你买得越多，成本就越高（高“精力”成本）。由于“入场费”较低，平均数是最好的防御手段。
加密货币 (DeFi)： 你可以瞬间借入资金来移动价格，因此“精力”成本几乎为零。但每次操作你都必须支付区块链交易费（高“入场费”）。由于移动价格很便宜但操作次数多了会很贵，因此中位数是最好的防御手段。

总结

论文认为，并不存在一个单一的“完美”计算公式。最好的公式取决于撒谎的成本结构：

如果撒谎很难做大规模，请使用平均数。
如果撒谎容易做大规模但启动成本高，请使用中位数。
如果两种成本同时存在，请使用修剪平均数（切掉极端值）。

通过理解这些成本，我们可以设计出更难被欺骗的金融系统。

技术摘要：从均值到中位数：最优基准设计

1. 问题陈述

本文探讨了金融市场中价格基准设计的关键问题，特别关注其对操纵的抵抗力。基准用于总结盛行的市场价格，支撑着衍生品、贷款和投资组合估值。这些合约的名义价值产生了促使代理人为了自身利益而扭曲价格的动机。虽然传统金融中的操纵行为已导致数亿美元的损失，但去中心化金融（DeFi）的出现由于自动化执行、巨大的合约价值以及有限的法律可执行性，放大了这些担忧。

一个令人困惑的经验模式激发了这项研究：传统金融中的基准（如 LIBOR、EURIBOR、下午 4 点定盘价）通常使用均值（mean），而 DeFi 中的基准（如 MakerDAO、Tellor 预言机）则主要使用中位数（median）。本文旨在确定最优的基准公式，以最大化操纵成本，从而解释这种分歧并提供稳健基准的设计规则。

2. 方法论与模型

作者采用了一个建模为具有多任务道德风险的最优契约问题的博弈论框架。操纵者作为一个代理人，其目标是选择如何扭曲价格分布，以诱导产生特定的偏差 ( $\Delta$ )，并受限于成本函数。

核心模型组件：

价格分布： 未经操纵的价格取自分布 $F$ ，假设该分布关于点 $P$ 对称且严格单峰。在某些结果中，假设该分布没有离散性（退化于 $P$ ）。
操纵策略： 操纵者将价格从初始分布 $F$ 转移到操纵后的分布 $G$ 。策略由条件分布函数 $G_c(\cdot|p)$ 定义。
成本结构： 操纵成本由两部分组成：
1. 变动成本 ( $c(\cdot)$ )： 价格扭曲幅度 ( $q$ ) 的函数。本文考虑了凸函数和凹函数两种形式。值得注意的是，附录 B 推导出对于恒定乘积做市商（CPMMs），变动成本是凹的（concave）。
2. 固定成本 ( $k$ )： 每个操纵价格所产生的成本，与扭曲大小无关。这在区块链环境中尤为重要，因为确保交易排序（例如通过 MEV 拍卖或 Gas 费用）会产生每笔交易的成本。
基准定义： 基准是一个位置泛函（location functional）。本文关注的是对称基准（即对于对称分布而言等于其对称点的基准），包括均值、中位数和 $\tau$ -截尾均值（ $\tau$ -trimmed means）。
最优性准则： 如果一个基准能最大化诱导给定偏差 $\Delta$ 所需的最小成本，则该基准是优的。分析依赖于命题 1，该命题指出，如果存在一个对称的、成本最小化的操纵策略，那么该基准即为最优。

3. 核心贡献与结果

A. 极端情况（同质化市场）

本文建立了成本结构与最优基准之间的对应关系：

忽略固定成本 ( $k=0$ ) 且具有凸变动成本： 均值是最优的。当变动成本为凸时，成本最低的操纵策略是将偏差均匀地分布在所有价格上。均值对这种均匀偏移具有最大的鲁棒性，而中位数对此类偏移非常敏感。
忽略变动成本 ( $c(\cdot)=0$ )： 中位数是最优的。当仅考虑固定成本时，操纵者通过操纵移动中位数所需的最小价格质量来最小化成本。中位数需要操纵恰好一半的质量，而均值则需要操纵所有价格。因此，在中位数体制下，中位数能最大化操纵成本。

B. 一般情况（固定成本与变动成本并存）

当两种成本组件同时存在时，最优基准是截尾均值（Trimmed Mean）。

凸变动成本： 如果固定成本相对于目标偏差较大（ $\delta_{min} > 2\Delta$ ），则操纵均值的最优方式会集中在不到一半的价格上，从而破坏对称性。 $\tau$ -截尾均值通过剔除极端价格来抵消这一影响，迫使操纵者在集中化程度与更高的平均成本之间进行权衡。最优截尾参数 $\tau^*$ 随固定成本的上升而增加。
凹变动成本： 这种情况在 DeFi CPMMs 中具有现实意义。即使没有固定成本，凹性也意味着最优操纵会将质量集中在极端值处。最优基准仍然是截尾均值，且截尾程度随固定成本的增加而增加。
比较静态分析： 最优截尾程度随市场流动性的增加而降低。在流动性更深的池子中（边际操纵成本更高），基准趋向于均值；在流动性较浅的池子中，基后趋向于中位数。

C. 异质化市场

本文将分析扩展到价格来自具有不同操纵成本（例如，随时间变化的流动性或 Gas 费用）的子群体的市场。

纯变动成本： 最优基准是加权均值，其中权重与边际操纵成本 ( $c'_i(\Delta)$ ) 成正比。在边际上更容易被操纵的价格会被降低权重。
纯固定成本： 最优基准是加权中位数（遵循 Edgeworth 的精神），其中权重与操纵的固定成本 ( $k_i$ ) 成正比。
比例成本： 如果固定成本和变动成本在各子群体间成比例，则最优基准是加权截尾均值，其权重和截尾参数反映了综合成本结构。

4. 重要性与主张

本文声称为观察到的传统金融与 DeFi 基准设计之间的分歧提供了理论上的合理化解释：

传统金融： 特点是持续的交易和凸变动成本（且每笔价格观测的固定成本可忽略不计），导致了均值的最优性。
去中心化金融： 特点是可以使用诸如闪电贷等工具（使变动成本可以忽略不计），但存在高额的交易排序固定成本（MEV/Gas），导致了中位数的最优性。

作者强调，这些结果是在特定假设（对称分布、特定成本结构）下推导出来的，将分析扩展到非对称分布或一般的异质化成本结构仍是一个挑战。本文将其操纵抗性准则定位为与稳健统计学（L-估计量）中发现的统计效率准则相辅相成，而非竞争关系。通过将均值、中位数和截尾均值识别为操纵最优，本文表明这些标准估计量可以在效率和鲁棒性两个维度上受到约束。

这项工作并未提出超出理论聚合规则之外的新实验协议或具体的智能合约实现细节。它侧重于通过成本结构与聚合公式之间的基本权衡，来确定最具操纵抗性的基准。