🔢 mathematics

Recurrence Relations for $\beta(2k)$ and $\zeta(2k + 1)$

यह शोध पत्र स्थापित करता है कि हाइपरबोलिक फलनों (hyperbolic functions) से जुड़े विशिष्ट समाकलों (integrals) को हर्टविज़ ज़ेटा डेरिवेटिव्स (Hurwitz zeta derivatives) के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे डिरिचलेट बीटा फलन $\beta(2k)$ और रीमान ज़ेटा फलन $\zeta(2k+1)$ के लिए नए पुनरावृत्ति संबंध (recurrence relations), साथ ही उनके डेरिवेटिव्स के लिए सरलीकृत डिगामा-आधारित निरूपण प्राप्त होते हैं।

मूल लेखक: Tobias Kyrion

प्रकाशित 2026-07-30

📖 7 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Tobias Kyrion

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

संख्याओं की छिपी हुई लय

कल्पना कीजिए कि गणित का ब्रह्मांड एक विशाल, ब्रह्मांडीय ऑर्केस्ट्रा है। इस ऑर्केस्ट्रा में, कुछ वाद्य यंत्र सरल, अनुमानित स्वर बजाते हैं जिन्हें हम आसानी से लिख सकते हैं, जैसे कि गिनती वाली संख्याएँ या वृत्त की परिधि और उसके व्यास का प्रसिद्ध अनुपात। लेकिन फिर कुछ "घोस्ट नोट्स" (ghost notes) भी हैं—जटिल, रहस्यमय मान जो भौतिकी और संख्या सिद्धांत की गहरी गणनाओं में प्रकट होते हैं। दो सबसे प्रसिद्ध घोस्ट नोट्स 'रीमान ज़ेटा फलन' (Riemann zeta function) और 'डिरिचलेट बीटा फलन' (Dirichlet beta function) हैं। इन्हें गुप्त कोड के रूप में सोचें जो यह वर्णन करते हैं कि संख्याएँ कैसे वितरित होती हैं, ठीक वैसे ही जैसे एक मौसम मानचित्र तूफ़ानों की भविष्यवाणी करता है। सदियों से, गणितज्ञ जानते हैं कि इन कोडों की गणना सम संख्याओं (जैसे 2, 4, 6) के लिए कैसे की जाए, लेकिन विषम संख्याएँ (जैसे 3, 5, 7) जिद्दी रूप से मौन रही हैं, अपने सरल पैटर्न को प्रकट करने से इनकार करती रही हैं।

यह शोध पत्र इन संगीत स्कोर के "सम" (even) और "विषम" (odd) खंडों में गहराई से उतरता है ताकि यह देखा जा सके कि क्या हम इन घोस्ट नोट्स को कुछ ऐसा बनाने का नया तरीका खोज सकते हैं जिसे हम वास्तव में सुन सकें। लेखक, टोबियास किरियन, एक विशेष प्रकार के गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं जिसे "इंटीग्रल" (integral) कहा जाता है। आप इंटीग्रल को एक ऐसी मशीन के रूप में सोच सकते हैं जो एक टेढ़ी-मेढ़ी, जटिल वक्र (curve) को लेकर उसे एक एकल, सार्थक संख्या में सुचारू बना देती है। इस कहानी में विशिष्ट वक्र हाइपरबोलिक फलनों (hyperbolic functions - वे गणितीय आकार जो लटकती जंजीरों या कूलिंग टावरों की तरह दिखते हैं) को एक्सपोनेंशियल डिके (exponential decay - जैसे कि एक ध्वनि का धीरे-धीरे कम होना) के साथ मिश्रित करते हैं। लक्ष्य यह देखना है कि क्या इन वक्रों को इस मशीन से चलाने पर एक छिपी हुई लय प्रकट होती है जो रहस्यमय विषम-संख्या कोडों को ज्ञात सम-संख्या कोडों से जोड़ती है।

शोध पत्र की खोज: घोस्ट नोट्स के लिए एक नई रेसिपी

इस कार्य में, टोबियास किरियन एक विशिष्ट पहेली को हल करने का प्रयास करते हैं: उन विशिष्ट इंटीग्रल्स की गणना कैसे की जाए जिनमें हाइपरबोलिक टेंगेंट (hyperbolic tangent) और हाइपरबोलिक सेकेंट (hyperbolic secant) फलन शामिल हैं। ये केवल यादृच्छिक आकार नहीं हैं; ये ज़ेटा और बीटा फलनों के व्यवहार को समझने के लिए आधारभूत निर्माण खंड हैं। यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि इन इंटीग्रल्स को "हर्वर्ट्ज़ ज़ेटा फलन के डेरिवेटिव्स" (derivatives of the Hurwitz zeta function) से जुड़े सरल भागों के योग में तोड़ा जा सकता है। यदि यह आपको निरर्थक लग रहा है, तो कल्पना कीजिए कि यह एक रेसिपी है। एक जटिल, बहु-स्तरीय केक को शुरुआत से बनाने की कोशिश करने के बजाय, लेखक आपको दिखाते हैं कि वह केक वास्तव में सरल, पहले से बने हुए स्तरों (डेरिवेटिव्स) का एक ढेर है, जो एक विशिष्ट गणितीय गोंद (पॉलिनोमियल कोएफिशिएंट्स) द्वारा जुड़ा हुआ है।

मुख्य निष्कर्ष "रिकरेंस रिलेशंस" (recurrence relations) का एक सेट है। गणित की दुनिया में, रिकरेंस रिलेशन एक डोमिनो प्रभाव या एक वंशावली की तरह होता है। यदि आप अनुक्रम के एक मान को जानते हैं, तो आप अगले को ज्ञात करने के लिए एक विशिष्ट नियम का उपयोग कर सकते हैं। किरियन खोजते हैं कि विशिष्ट पूर्णांक मानों के लिए इन इंटीग्रल्स का मूल्यांकन करके, हम ऐसे नियम उत्पन्न कर सकते हैं जो $\beta(2k)$ (सम संख्याओं के लिए डिरिचलेट बीटा फलन) और $\zeta(2k + 1)$ (विषम संख्याओं के लिए रीमान ज़ेटा फलन) के बीच संबंध स्थापित करते हैं। अनिवार्य रूप से, यह शोध पत्र इन मायावी विषम-संख्या मानों की गणना करने के लिए एक नया, कठोर तरीका प्रदान करता है, उन्हें एक जटिल एकीकरण प्रक्रिया के परिणाम के रूप में मानकर।

लेखक केवल सामान्य सूत्र पर ही नहीं रुकते। वे दिखाते हैं कि जब आप विशिष्ट संख्याएँ (जैसे $T = 2l$ जहाँ $l$ एक पूर्णांक है) डालते हैं, तो जटिल इंटीग्रल्स "डिगामा फलन" (digamma function - जो फैक्टोरियल फलन का एक चचेरा भाई है) और पॉलिनोमियल्स से जुड़े अभिव्यक्तियों में सरल हो जाते हैं। यह एक महत्वपूर्ण सरलीकरण है, जो एक कठिन कैलकुलस समस्या को अधिक प्रबंधनीय बीजगणितीय समस्या में बदल देता है। शोध पत्र स्पष्ट रूप से हाइपरबोलिक सेकेंट फलन के सम और विषम दोनों घातों के लिए इसे प्रदर्शित करता है, जो दो अलग-अलग सूत्र (प्रमेय 1.1 और कोरोलरी 1.2) प्रदान करता है जो अनंत श्रृंखलाओं की अमूर्त दुनिया और ठोस गणनाओं के बीच एक सेतु का कार्य करते हैं।

यह शोध पत्र क्या करता है और क्या दावा नहीं करता

यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह शोध पत्र क्या हासिल करता है और इसकी सीमा कहाँ समाप्त होती है। लेखक ने सिद्ध किया है कि इन इंटीग्रल्स को हर्वर्ट्ज़ ज़ेटा डेरिवेटिव्स के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह एक ठोस गणितीय तथ्य है, कोई अनुमान या सिमुलेशन नहीं। शोध पत्र आंशिक एकीकरण (partial integration) और मैट्रिक्स इनवर्जन (समीकरणों के सिस्टम को हल करने की एक विधि) जैसे उपकरणों का उपयोग करते हुए एक चरण-दर चरण तार्किक व्युत्पत्ति प्रदान करता है, जिससे यह पता चलता है कि हिस्से आपस में कैसे जुड़ते हैं।

हालाँकि, शोध पत्र स्पष्ट रूप से इस विचार को खारिज करता है कि ये नए रिकरेंस रिलेशंस तुरंत इन स्थिरांकों की बीजगणितीय प्रकृति के "रहस्य" को हल कर देते हैं। जबकि यह शोध पत्र हमें इन मानों की गणना करने का एक नया तरीका देता है, यह स्वीकार करता है कि मौलिक प्रश्न यह बना हुआ है कि क्या ये संख्याएँ (जैसे $\zeta(3)$ या $\beta(2)$ ) $\pi$ या अन्य बुनियादी स्थिरांकों के सरल संयोजनों के रूप में लिखी जा सकती हैं या नहीं। लेखक नोट करते हैं कि अन्य पहचानों (जैसे कि डबल ज़ेटा फंक्शन या कोटैंजेंट के विशिष्ट इंटीग्रल्स से जुड़े पहचान) का उपयोग करके ऐसे सरल मूल्यांकन खोजने के पिछले प्रयास भी सरल उत्तर देने में विफल रहे हैं। यहाँ प्राप्त नए संबंध अपने अंतिम रूप में उतने ही "रहस्यमय" हैं जितने कि पुराने वाले; वे संख्याओं की गणना करने का एक नया तरीका हैं, लेकिन वे उनके लिए कोई जादुई सरल, क्लोज्ड-फॉर्म उत्तर प्रकट नहीं करते हैं।

शोध पत्र यह भी स्पष्ट करता है कि हालांकि इन इंटीग्रल्स के नेगेटिव T-डेरिवेटिव (negative T-derivative) के लिए सरल प्रतिनिधित्व मौजूद हैं (जिसमें केवल डिगामा फलन शामिल है), मूल इंटीग्रल्स जिनमें $1/x$ पद है, अधिक जटिल हैं और उनके लिए पूर्ण हर्वर्ट्ज़ ज़ेटा डेरिवेटिव्स की आवश्यकता होती है। लेखक का सुझाव है कि हालांकि मैट्रिक्स इनवर्जन का उपयोग करने वाली उनकी विधि छोटे मानों के लिए पिछली रणनीतियों की तुलना में बहुत अधिक कुशल है, फिर भी बड़े मानों के लिए गणनाएँ "बढ़ती ही जाती हैं"।

बड़ा परिप्रेक्ष्य: यह क्यों मायने रखता है

एक जिज्ञासु किशोर को इन इंटीग्रल्स की परवाह क्यों होनी चाहिए? क्योंकि गणित अक्सर दो दूर के द्वीपों के बीच सबसे छोटा रास्ता खोजने के बारे में है। लंबे समय से, $\zeta(2k+1)$ और $\beta(2k)$ के द्वीप जटिल विश्लेषण के धुंधले समुद्र द्वारा अलग किए गए थे। यह शोध पत्र एक मजबूत पुल बनाता है। यह दिखाता है कि ये प्रतीत होने वाले असंबंधित नंबर वास्तव में हाइपरबोलिक कर्व्स की ज्यामिति के माध्यम से जुड़े हुए हैं।

यह शोध पत्र महान गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन के कार्य से एक दिलचस्प संबंध को भी छूता है। लेखक उल्लेख करते हैं कि इनमें से कुछ प्रमाणों के लिए शुरुआती बिंदु हाइपरबोलिक कोटैंजेंट्स से जुड़े रामानुजन के प्रसिद्ध सूत्रों से प्रेरित था। इन पुराने विचारों को आधुनिक उपकरणों के साथ फिर से देखते हुए, यह शोध पत्र पुष्टि करता है कि ब्रह्मांड के "घोस्ट नोट्स" की एक संरचना है जिसे हम मैप कर सकते हैं, भले ही हम अभी तक उनके सरलतम रूप को पूरी तरह से डिकोड न कर सकें।

अंत में, यह कार्य दृढ़ता की शक्ति का प्रमाण है। यह दावा नहीं करता कि इसने संख्या सिद्धांत का "होली ग्रेल" (सभी विषम ज़ेटा मानों के लिए एक सरल सूत्र) खोज लिया है, लेकिन इसने हमें एक बेहतर मानचित्र दिया है। यह हमें दिखाता है कि यदि हम इन विशिष्ट इंटीग्रल्स के लेंस के माध्यम से समस्या को देखते हैं, तो आगे का रास्ता स्पष्ट हो जाता है, भले ही गंतव्य अभी भी थोड़े गणितीय कोहरे से ढका हुआ हो। शोध पत्र यह सुझाव देते हुए समाप्त होता है कि इन विधियों को और भी अधिक सामान्य इंटीग्रल्स पर लागू किया जा सकता है, जो संकेत देता है कि खोज की यात्रा अभी समाप्त नहीं हुई है।

तकनीकी सारांश: $\beta(2k)$ और $\zeta(2k + 1)$ के लिए पुनरावृत्ति संबंध (Recurrence Relations)

समस्या विवरण
यह कार्य हाइपरबोलिक फलनों (hyperbolic functions) और घातांकीय क्षय (exponential decay) से संबंधित एक विशिष्ट वर्ग के निश्चित समाकलों (definite integrals) की जांच करता है:
$I_{N, L, T} = \int_0^\infty \frac{\tanh(x)}{x} \text{sech}(x)^L e^{-Tx} \, dx$
जहाँ $L \in \mathbb{N}$ और $T \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ है। मुख्य उद्देश्य विशिष्ट पूर्णांक मापदंडों ( $T=2l$ ) के लिए इन समाकलों का मूल्यांकन करना है ताकि डिरिचलेट बीटा फलन $\beta(2k)$ और रीमान ज़ेटा फलन $\zeta(2k + 1)$ के लिए पुनरावृत्ति संबंधों को प्राप्त किया जा सके। एक द्वितीयक लक्ष्य इन समाकलों के $T$ -अवकलज (derivative) का विश्लेषण करना है, जो $1/x$ कारक को हटा देता है, ताकि केवल डिगामा फलन (digamma function) वाले सरल निरूपण प्राप्त किए जा सकें।

कार्यप्रणाली
यह शोध पत्र समाकल निरूपण, आंशिक समाकलन (partial integration) और रैखिक बीजगणित (linear algebra) को संयोजित करने वाले एक बहु-चरणीय विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण का उपयोग करता है:

हर्witz ज़ेटा समाकल निरूपण: व्युत्पत्ति की शुरुआत हर्witz ज़ेटा फलनों के अंतर के मानक समाकल निरूपण से होती है:
$\zeta\left(s, \frac{T+1}{4}\right) - \zeta\left(s, \frac{T+3}{4}\right) = \frac{2^{2s-1}}{\Gamma(s)} \int_0^\infty x^{s-1} \text{sech}(x) e^{-Tx} \, dx$
$\text{sech}(x)$ और $\tanh(x)$ के अवकलजों के रूप में एक रूप में बदलने के लिए $N$ बार आंशिक समाकलन लागू करके, लेखक इस समाकल को रूपांतरित करते हैं।
रैखिक निकाय और आव्यूह व्युत्क्रमण (Linear Systems and Matrix Inversion):
- $\frac{\partial^N}{\partial x^N} \text{sech}(x)$ और $\frac{\partial^N}{\partial x^N} \tanh(x)$ के अवकलजों को $\text{sech}(x)^k$ और $\tanh(x)$ के पदों के परिमित योग के रूप में व्यक्त किया जाता है।
- यह लक्षित समाकलों (जिसमें $\frac{\tanh(x)}{x}$ शामिल है) को हर्witz ज़ेटा अंतरों से जोड़ने वाला एक रैखिक निकाय बनाता है।
- लेखक विशिष्ट निचली-त्रिभुजाकार आव्यूह ( $u_{N,k}$ और $x_{N,k}$ ) को उनके अवकलज विस्तार के गुणांकों के आधार पर परिभाषित करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि ये आव्यूह व्युत्क्रमणीय हैं और उनके व्युत्क्रम ( $v_{N,k}$ और $y_{N,k}$ ) को स्पष्ट रूप से निर्मित किया गया है।
- व्युत्क्रम आव्यूह में पुनरावर्ती रूप से परिभाषित गुणांक $g_{N,k}$ और $h_{N,k}$ शामिल हैं, जो अंतिम पुनरावृत्ति सूत्रों के लिए केंद्रीय हैं।
अवकलन और मूल्यांकन:
- इन निकायों को जटिल पैरामीटर $s$ के सापेक्ष अवकलित किया जाता है और गैर-धनात्मक पूर्णांकों (जैसे, $s = -2N$ ) पर मूल्यांकित किया जाता है।
- यह प्रक्रिया $\lim_{z \to 0} \frac{\psi(z)}{\Gamma(z)} = -1$ के गुण का उपयोग करती है ताकि सिंगुलैरिटी (singularities) को संभाला जा सके, जिससे हर्witz ज़ेटा डेरिवेटिव $\zeta'(-n, z)$ को $\beta$ और $\zeta$ फलनों के मानों में परिवर्तित किया जा सके।
- $T=2l$ के मामले के लिए, लेखक $\beta$ और $\zeta$ फलनों को अलग करने के लिए हर्witz ज़ेटा अंतरों और डिरिचलेट बीटा/रीमान ज़ेटा फलनों के बीच प्रारंभिक संबंधों का उपयोग करते हैं।
डेरिवेटिव्स के लिए वैकल्पिक दृष्टिकोण:
- उन समाकलों के लिए जो $1/x$ कारक के बिना हैं ( $T$ -अवकलज), लेखक $\int_0^\infty \text{sech}(x)^L e^{-Tx} dx$ के लिए एक दो-चरणीय पुनरावृत्ति संबंध व्युत्पन्न करते हैं। यह लक्षित समाकलों का सीधे डिगामा फलन $\psi(z)$ के संदर्भ में मूल्यांकन करने की अनुमति देता है, जिससे हर्witz ज़ेटा डेरिवेटिव्स की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

मुख्य योगदान और परिणाम

सामान्य समाकल सूत्र (प्रमेय 1.1): शोध पत्र $\int_0^\infty \frac{\tanh(x)}{x} \text{sech}(x)^{2N+1} e^{-Tx} dx$ और $\int_0^\infty \frac{\tanh(x)}{x} \text{sech}(x)^{2N} e^{-Tx} dx$ के लिए स्पष्ट बंद-रूप (closed-form) अभिव्यक्तियाँ प्रदान करता है। ये हर्witz ज़ेटा डेरिवेटिव $\zeta'(-n, z)$ के परिमित योग के रूप में $T$ के बहुपद गुणांकों और पुनरावर्ती रूप से परिभाषित स्थिरांकों $g_{N,k}$ और $h_{N,k}$ के साथ व्यक्त किए गए हैं।
$\beta(2k)$ और $\zeta(2k+1)$ के लिए पुनरावृत्ति संबंध (अनुcorollary 1.2 & 1.3): $T=2l$ $T = 2 l$ (विशेष रूप से $l=0$ $l = 0$ ) निर्धारित करके, लेखक इन समाकलों को $\beta(2k)$ $β (2 k)$ और $\zeta(2k+1)$ $ζ (2 k + 1)$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने वाले पुनरावृत्ति संबंध व्युत्पन्न करते हैं।
- $T=0$ के लिए, परिणाम सरल होकर निम्न हो जाते हैं:
  $\int_0^\infty \frac{\tanh(x)}{x} \text{sech}(x)^{2N+1} dx = \binom{2N}{N} \frac{1}{(2N+1)2^{2N}} \sum_{k=0}^N g_{N+1, k+1} 2^{2k+2} (2k+1)! \frac{\beta(2k+2)}{\pi^{2k+1}}$
  $\int_0^\infty \frac{\tanh(x)}{x} \text{sech}(x)^{2N} dx = \frac{2^{2N}}{N^2 \binom{2N}{N}} \sum_{k=1}^N h_{N,k} (2-2^{-2k}) (2k)! \frac{\zeta(2k+1)}{\pi^{2k}}$
सरलीकृत निरूपण (प्रमेय 2.1): शोध पत्र यह स्थापित करता है कि $\int_0^\infty \tanh(x) \text{sech}(x)^L e^{-Tx} dx$ (मुख्य विषय का $T$ -अवकलज) के समाकलों को हर्witz ज़ेटा डेरिवेटिव्स को शामिल किए बिना, केवल डिगामा फलन $\psi(z)$ और $T$ के परिमेय फलनों का उपयोग करके निरूपित किया जा सकता है।
$\tanh(x)/x$ की घातों के समाकल (अनुभाग 3): लेखक $\int_0^\infty (\frac{\tanh(x)}{x})^N dx$ को एक पुनरावर्ती गुणांक आव्यूह $d_N(p, 2k)$ का उपयोग करके $\zeta(3), \dots, \zeta(2N-1)$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं।
समाकल निरूपण: यह कार्य ब्लैगोचिन (Blagouchine) द्वारा ज्ञात $\beta(2)$ और $\zeta(3)$ के समाकल निरूपणों को उच्च क्रम $\beta(2N)$ और $\zeta(2N+1)$ के लिए सामान्यीकृत करता है जिसमें $\log(\log(x))$ शामिल है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह हाइपरोलिक समाकलों का उपयोग करके विषम ज़ेटा मानों (odd zeta values) और सम बीटा मानों (even beta values) के लिए पुनरावृत्ति संबंध उत्पन्न करने के लिए एक व्यवस्थित विधि प्रदान करता है। लेखक नोट करते हैं कि जबकि पिछले साहित्य (जैसे, यूलर, रामानुजन) ने "त्रुटि पदों" जैसे डबल ज़ेटा फलनों या $z^{2m}\cot(z)$ के समाकलों वाले संबंध स्थापित किए हैं, यहाँ व्युत्पन्न संबंध बीजगणितीय प्रकृति के हैं, हालांकि ये स्थिरांक स्वयं रहस्यमय बने हुए हैं।

लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि प्रमेय 1.1 के प्रमाण में प्रस्तुत मैट्रिक्स व्युत्क्रमण पर आधारित विधि बड़े $L$ के मानों के लिए वैकल्पिक प्रत्यक्ष प्रमाण रणनीतियों (जैसे, ज्ञात समाकल पहचानों का बार-बार अवकलन करना) की तुलना में "बहुत अधिक कुशल" है। यह कार्य इन स्थिरांकों की अपरिमेयता (irrationality) या पारलौकिकता (transcendence) को हल करने का दावा नहीं करता है, बल्कि उन्हें समाकलों के माध्यम से जोड़ने के लिए एक नया संरचनात्मक ढांचा प्रदान करता है।

सीमाएं और भविष्य की संभावनाएं
लेखक स्वीकार करते हैं कि $\zeta(2k+1)$ और $\beta(2k)$ की बीजगणितीय प्रकृति इन पुनरावृत्ति संबंधों के बावजूद एक रहस्य बनी हुई है। लेखक सुझाव देते हैं कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमण विधि को $\int_0^\infty \frac{\tanh(\alpha x)}{x} \text{sech}(\beta x)^L e^{-Tx} dx$ जैसे अधिक सामान्य समाकलों के लिए संभावित रूप से विस्तारित किया जा सकता है, हालांकि इसे एक पूर्ण परिणाम के बजाय एक भविष्य की संभावना के रूप में प्रस्तुत किया गया है।

संख्याओं की छिपी हुई लय

शोध पत्र की खोज: घोस्ट नोट्स के लिए एक नई रेसिपी

यह शोध पत्र क्या करता है और क्या दावा नहीं करता

बड़ा परिप्रेक्ष्य: यह क्यों मायने रखता है

इसी तरह के और पेपर