Recurrence Relations for $\beta(2k)$ and $\zeta(2k + 1)$

技术摘要：$\beta(2k)$ 与 $\zeta(2k + 1)$ 的递推关系

问题陈述
本研究探讨了一类涉及双曲函数与指数衰减的特定定积分：
$$I_{N, L, T} = \int_0^\infty \frac{\tanh(x)}{x} \text{sech}(x)^L e^{-Tx} \, dx$$
其中 $L \in \mathbb{N}$ 且 $T \in \mathbb{R}_{\ge 0}$。主要目标是针对特定的整数参数（$T=2l$）评估这些积分，从而推导出狄利克雷贝塔函数 $\beta(2k)$ 与黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(2k + 1)$ 的递推关系。次要目标是分析这些积分关于 $T$ 的导数，该导数会移除 $1/x$ 因子，从而找到仅涉及 $\psi$ 函数（digamma function）的更简化的表示形式。

方法论
本文采用了一种结合积分表示、分部积分与线性代数的多元步骤分析法：

1. Hurwitz Zeta 积分表示： 推导始于 Hurwitz zeta 函数差的标准积分表示：
   $$\zeta\left(s, \frac{T+1}{4}\right) - \zeta\left(s, \frac{T+3}{4}\right) = \frac{2^{2s-1}}{\Gamma(s)} \int_0^\infty x^{s-1} \text{sech}(x) e^{-Tx} \, dx$$
   通过进行 $N$ 次分部积分，作者将积分转化为涉及 $\text{sech}(x)$ 和 $\tanh(x)$ 导数的项。

2. 线性系统与矩阵求逆：

   • 导数 $\frac{\partial^N}{\partial x^N} \text{sech}(x)$ 和 $\frac{\partial^N}{\partial x^N} \tanh(x)$ 被表示为包含 $\text{sech}(x)^k$ 和 $\tanh(x)$ 项的有限和。
   • 这创建了一个将目标积分（带有 $\frac{\tanh(x)}{x}$）与 Hurwitz zeta 函数差联系起来的线性系统。
   • 作者定义了基于这些导数展开系数的特定下三角矩阵（$u_{N,k}$ 和 $x_{N,k}$）。他们证明了这些矩阵是可逆的，并显式地构造了它们的逆矩阵（$v_{N,k}$ 和 $y_{N,k}$）。
   • 逆矩阵涉及递归定义的系数 $g_{N,k}$ 和 $h_{N,k}$，这些系数是最终递推公式的核心。

3. 微分与求值：

   • 这些系统关于复参数 $s$ 进行微分，并在非正整数处（例如 $s = -2N$）进行求值。
   • 该过程利用性质 $\lim_{z \to 0} \frac{\psi(z)}{\Gamma(z)} = -1$ 来处理奇异性，将 Hurwitz zeta 导数 $\zeta'(-n, z)$ 转换为 $\beta$ 函数与 $\zeta$ 函数的值。
   • 对于 $T=2l$ 的情况，作者利用 Hurwitz zeta 函数差与狄利克雷 $\beta$ 函数/黎曼 $\zeta$ 函数之间的基本关系，来分离出特定的值 $\beta(2k)$ 和 $\zeta(2k+1)$。

4. 导数的替代方法：

   • 对于不含 $1/x$ 因子的积分（即原形式关于 $T$ 的导数），作者推导出了一个关于 $\int_0^\infty \text{sech}(x)^L e^{-Tx} dx$ 的两步递推关系。这使得可以直接用 $\psi(z)$ 函数来评估目标积分，从而绕过了对 Hurwitz zeta 导数的需求。

核心贡献与结果

• 一般积分公式 (定理 1.1)： 本文提供了 $\int_0^\infty \frac{\tanh(x)}{x} \text{sech}(x)^{2N+1} e^{-Tx} dx$ 和 $\int_0^\infty \frac{\tanh(x)}{x} \text{sech}(x)^{2N} e^{-Tx} dx$ 的显式闭合形式表达式。这些表达式由涉及 $T$ 的多项式系数以及递归定义的常数 $g_{N,k}$ 和 $h_{N,k}$ 的 Hurwitz zeta 导数 $\zeta'(-n, z)$ 的有限和组成。
• $\beta(2k)$ 与 $\zeta(2k+1)$ 的递推关系 (推论 1.2 & 1.3)： 通过令 $T=2l$（特别地取 $l=0$），作者推导出了将这些积分表示为 $\beta(2k)$ 和 $\zeta(2k+1)$ 线性组合的递推关系。
  • 对于 $T=0$，结果简化为：
    $$\int_0^\infty \frac{\tanh(x)}{x} \text{sech}(x)^{2N+1} dx = \binom{2N}{N} \frac{1}{(2N+1)2^{2N}} \sum_{k=0}^N g_{N+1, k+1} 2^{2k+2} (2k+1)! \frac{\beta(2k+2)}{\pi^{2k+1}}$$
    $$\int_0^\infty \frac{\tanh(x)}{x} \text{sech}(x)^{2N} dx = \frac{2^{2N}}{N^2 \binom{2N}{N}} \sum_{k=1}^N h_{N,k} (2-2^{-2k}) (2k)! \frac{\zeta(2k+1)}{\pi^{2k}}$$
• 简化表示 (定理 2.1)： 本文建立，积分 $\int_0^\infty \tanh(x) \text{sech}(x)^L e^{-Tx} dx$（主研究对象的 $T$ 导数）可以仅使用 $\psi(z)$ 函数和 $T$ 的有理函数来表示，而不涉及 Hurwitz zeta 导数。
• $(\tanh(x)/x)$ 的幂次积分 (第 3 节)： 作者使用递归系数矩阵 $d_N(p, 2k)$ 将 $\int_0^\infty (\frac{\tanh(x)}{x})^N dx$ 表示为 $\zeta(3), \dots, \zeta(2N-1)$ 的线性组合。
• 积分表示： 本工作将 Blagouchine 发现的关于 $\beta(2)$ 和 $\zeta(3)$ 的已知积分表示推广到了涉及 $\log(\log(x))$ 的更高阶 $\beta(2N)$ 和 $\zeta(2N+1)$。

意义与主张

本文声称提供了一种系统的方法，利用双曲积分生成奇数 $\zeta$ 值和偶数 $\beta$ 值的递推关系。作者指出，虽然之前的文献（如 Euler, Ramanujan）已经建立了涉及“误差项”（如双 $\zeta$ 函数或 $z^{2m}\cot(z)$ 的积分）的关系，但此处推导出的关系是代数性质的，尽管这些常数本身仍然是神秘的。

作者明确指出，在定理 1.1 的证明中所使用的基于矩阵求逆的方法，对于较大的 $L$ 值而言，比其他直接证明策略（如重复对已知积分恒等式求导）“高效得多”。本工作并不声称解决了这些常数的无理性和超越性问题，而是提供了一个通过定积分将它们联系起来的新结构框架。

局限性与展望

本文承认，尽管存在这些递推关系，但 $\zeta(2k+1)$ 和 $\beta(2k)$ 的代数性质仍然是一个谜。作者建议，矩阵求逆法可能可以扩展到更一般的积分形式 $\int_0^\infty \frac{\tanh(\alpha x)}{x} \text{sech}(\beta x)^L e^{-Tx} dx$，但这被视为一种展望而非已完成的结果。