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A penalty-free quantum algorithm to find energy eigenstates

यह शोध पत्र एक पूर्णतः क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तावित करता है जो पेनल्टी फंक्शन, वेरिएशनल स्टेप्स, या हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल दृष्टिकोणों पर निर्भर किए बिना, मेनी-बॉडी हैमिल्टोनियन्स के ग्राउंड और एक्साइटेड स्टेट्स को खोजता है।

मूल लेखक: Nannan Ma, Heng Dai, Jiangbin Gong

प्रकाशित 2026-05-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Nannan Ma, Heng Dai, Jiangbin Gong

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, धुंधले पर्वत शृंखला में सबसे निचले बिंदु को खोजने की कोशिश कर रहे हैं। भौतिक विज्ञान की दुनिया में, इस "सबसे निचले बिंदु" को ग्राउंड स्टेट (ground state) कहा जाता है, और ऊँची चोटियाँ एक्साइटेड स्टेट्स (excited states) कहलाती हैं। ये बिंदु कहाँ हैं, यह जानना वैज्ञानिकों के लिए यह समझने में मदद करता है कि सामग्रियाँ कैसे व्यवहार करती हैं, चुंबक कैसे काम करते हैं, और क्वांटम कंप्यूटर कैसे कार्य करते हैं।

लंबे समय से, कंप्यूटर पर इन बिंदुओं को खोजना एक रूलर (पैमाने) से उस हर एक इंच के पर्वत को मैप करने जैसा रहा है। जैसे-जैसे पर्वत बड़ा होता जाता है (अधिक कण शामिल होते हैं), क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए यह कार्य असंभव हो जाता है क्योंकि डेटा का विस्फोट हो जाता है।

यह पेपर एक नया, "पेनल्टी-फ्री" (दंड-मुक्त) क्वांटम एल्गोरिदम पेश करता है जो इन बिंदुओं को खोजने के लिए एक स्मार्ट, स्वचालित ड्रोन की तरह काम करता है। यह कैसे काम करता है, यहाँ सरल अवधारणाओं में दिया गया है:

1. पुराने तरीकों के साथ समस्या

अधिकांश वर्तमान तरीके अनुमान लगाने और जाँचने (guessing and checking) जैसे हैं। आप एक मॉडल बनाते हैं, एक स्थान का अनुमान लगाते हैं, और फिर अपने अनुमान को सुधारने के लिए एक क्लासिकल कंप्यूटर का उपयोग करते हैं।

जाल (The Trap): कभी-कभी, कंप्यूटर एक "बैरन प्लेटो" (barren plateau)—एक सपाट क्षेत्र जहाँ कोई भी दिशा चुनने पर भी सुधार नहीं होता—में फंस जाता है। यह एक सपाट रेगिस्तान में चलने जैसा है जहाँ आपको पता ही नहीं चलता कि किस दिशा में जाने से घाटी मिलेगी।
दंड (The Penalty): दूसरे सबसे निचले बिंदु (पहले एक्साइटेड स्टेट) को खोजने के लिए, पुराने तरीकों को अक्सर गणित में एक "पेनल्टी" जोड़नी पड़ती है। यह सबसे निचले बिंदु पर एक विशाल पत्थर रखने जैसा है ताकि ड्रोन उसे अनदेखा करने और अगले बिंदु को खोजने के लिए मजबूर हो जाए। यह पत्थर बनाना कठिन है और अक्सर सिस्टम को तोड़ देता है।

2. नया दृष्टिकोण: "स्टोकेस्टिक सैंपलर" (The Stochastic Sampler)

लेखक एक ऐसा तरीका प्रस्तावित करते हैं जो न तो अनुमान लगाता है, न ही दंड का उपयोग करता है, और न ही इसे मदद के लिए क्लासिकल कंप्यूटर की आवश्यकता होती है। यह इमेजिनरी टाइम इवोल्यूशन (Imaginary Time Evolution - ITE) पर निर्भर करता है।

ITE को एक जादुई फिल्टर के रूप में सोचें जो धीरे-धीरे सिस्टम से "ऊर्जा" को बाहर निकाल देता है। यदि आप रैंडम अवस्थाओं के मिश्रण से शुरू करते हैं, तो यह फिल्टर स्वाभाविक रूप से उच्च-ऊर्जा वाली अवस्थाओं को बाहर निकाल देता है, जिससे केवल सबसे निचली ऊर्जा अवस्था शेष रह जाती है।

वे इसे क्वांटम कंप्यूटर पर कैसे काम करते हैं:
ऊर्जा को एक साथ निकालने के लिए एक विशाल, जटिल मशीन बनाने के बजाय, वे समस्या को दो छोटे, आसान हिस्सों में तोड़ देते हैं (मान लीजिए कि हिस्सा A और हिस्सा B)।

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक जटिल पहेली है, लेकिन आप अलग-अलग रूप से बाएं आधे हिस्से और दाएं आधे हिस्से का समाधान जानते हैं।
एल्गोरिदम बेतरतीब ढंग से एक हिस्सा चुनता है (या तो A या B) और उस पर थोड़ा सा "ड्रेनिंग" (निकासी) लागू करता है।
इस रैंडम सैंपलिंग को हजारों बार दोहराने से, सिस्टम स्वाभाविक रूप से ग्राउंड स्टेट की ओर बहता है। यह एक पहाड़ी से नीचे लुढ़कती पानी की बूंद की तरह है; इसे मानचित्र की आवश्यकता नहीं है, यह बस प्रतिरोध के न्यूनतम पथ का अनुसरण करता है।

3. ऊँची चोटियों को खोजना (Excited States)

एक बार जब ड्रोन सबसे निचली घाटी (ग्राउंड स्टेट) को खोज लेता है, तो हम "पेनल्टी बोल्डर" का उपयोग किए बिना अगले सबसे निचले बिंदु को कैसे खोजते हैं?

लेखक एक चतुर तकनीक का उपयोग करते हैं जिसे स्टेट-बेस्ड सिमुलेशन (State-Based Simulation) कहा जाता है।

उपमा (The Analogy): कल्पना कीजिए कि आपने सबसे निचली घाटी खोज ली है। अब आप दूसरी सबसे निचली घाटी खोजना चाहते हैं। पहली घाटी पर पत्थर रखने के बजाय, आप उसकी एक सटीक "घोस्ट कॉपी" (भूतिया प्रति) बनाते हैं और उसे असली वाली के बगल में रखते हैं।
एल्गोरिदम फिर वास्तविक सिस्टम और इस घोस्ट कॉपी के बीच एक विशेष नृत्य (क्वांटम ऑपरेशन) करता है। यदि वास्तविक सिस्टम घोस्ट कॉपी जैसा दिखता है, तो यह नृत्य उसे रद्द कर देता है।
यह प्रभावी रूप से ग्राउंड स्टेट को "फिल्टर आउट" कर देता है, जिससे सिस्टम स्वाभाविक रूप से अगली सबसे निचली घाटी में स्थिर हो जाता है।
आप इस प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं: एक बार जब आप दूसरी घाटी खोज लेते हैं, तो आप उसकी एक घोस्ट कॉपी बनाते हैं, उसे फिल्टर करते हैं, और फिर अगली ऊर्जा स्तर को खोजते हैं।

4. यह एक बड़ी बात क्यों है

कोई पेनल्टी नहीं: इसे सिस्टम को ग्राउंड स्टेट को अनदेखा करने के लिए कृत्रिम "बoulders" (पेनल्टी फंक्शन) जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। यह बस उन्हें साफ तरीके से फिल्टर कर देता है।
कोई बैरन प्लेटो नहीं: क्योंकि यह मापदंडों को बदलने (जैसे पुराने "अनुमान और जाँच" वाले तरीके) के लिए क्लासिकल कंप्यूटर पर निर्भर नहीं है, इसलिए यह सपाट, अनुपयोगी क्षेत्रों में फंसने के जाल से बच जाता है।
शुद्ध रूप से क्वांटम: यह पूरी तरह से क्वांटम कंप्यूटर पर चलता है, जो भारी काम करने के लिए क्वांटम मैकेनिक्स के प्राकृतिक गुणों का उपयोग करता है।

5. प्रमाण

लेखकों ने इस विचार का परीक्षण ट्रांसवर्स आइसिंग मॉडल (Transverse Ising Model) नामक एक प्रसिद्ध मॉडल का उपयोग करके किया (इसे ऊपर या नीचे फ्लिप होने वाले छोटे चुंबकों की एक पंक्ति के रूप में सोचें)।

उन्होंने सफलतापूर्वक ग्राउंड स्टेट और पहले तीन एक्साइटेड स्टेट्स को खोजा।
परिणाम बहुत सटीक थे (96% से अधिक फिडेलिटी), यहाँ तक कि जब उन्होंने 10 चुंबकों वाले बड़े सिस्टम का अनुकरण किया।
उन्होंने दिखाया कि यदि चुंबक ऊर्जा में लगभग समान (लगभग डिजेनरेट) भी हों, तो भी एल्गोरिदम उन्हें अलग कर सकता है।

सारांश

यह पेपर जटिल ऊर्जा समस्याओं को हल करने के लिए क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करने का एक नया तरीका प्रस्तुत करता है। पेनल्टी के साथ संघर्ष करने और डेड एंड (बंद रास्तों) में फंसने के बजाय, यह तरीका रैंडम सैंपलिंग का उपयोग करता है ताकि यह स्वाभाविक रूप से सबसे निचली ऊर्जा अवस्था की ओर बह सके, और फिर यह घोस्ट कॉपियों का उपयोग करके उन चीजों को फिल्टर करता है जिन्हें इसने पहले ही खोज लिया है, जिससे ऊर्जा का अगला स्तर प्रकट होता है। यह क्वांटम दुनिया को समझने का एक स्वच्छ, अधिक सीधा मार्ग है।

तकनीकी सारांश: ऊर्जा आइजनस्टेट्स (Energy Eigenstates) खोजने के लिए एक पेनल्टी-मुक्त क्वांटम एल्गोरिदम

समस्या विवरण

मेनी-बॉडी हैमिल्टोनियन (many-body Hamiltonians) के आइजनवैल्यू और आइजनस्टेट्स खोजना भौतिकी और कम्प्यूटेशनल विज्ञान की एक मौलिक चुनौती है। क्लासिकल तरीके $n$ क्यूबिट्स बढ़ने के साथ घातांकीय स्केलिंग ( $O(2^{2n})$ स्टोरेज और $O(2^{3n})$ समय) का सामना करते हैं। जबकि क्वांटम एल्गोरिदम एक मार्ग प्रशस्त करते हैं, मौजूदा दृष्टिकोणों में महत्वपूर्ण सीमाएं हैं:

वेरिएशनल क्वांटम आइजनसॉल्वर (VQE): यह एक हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल दृष्टिकोण है जो अक्सर अनुकूलन (optimization) के दौरान "बैरन प्लेटो" (vanishing gradients) से ग्रस्त होता है। उत्तेजित अवस्थाओं (excited states) को खोजने के लिए आमतौर पर ग्राउंड-स्टेट योगदान को दबाने हेतु पेनल्टी टर्म्स की आवश्यकता होती है, जिससे जटिलता और त्रुटि की संभावना बढ़ जाती है।
क्वांटम एनीलिंग (Quantum Annealing): एडियाबैटिसिटी सुनिश्चित करने के लिए लंबे विकास समय की आवश्यकता होती है और यह ग्राउंड स्टेट और उत्तेजित अवस्थाओं के बीच छोटे ऊर्जा अंतराल (energy gaps) के साथ संघर्ष करता है।
इमेजिनरी टाइम इवोल्यूशन (ITE) और QITE: हालांकि आशाजनक हैं, मानक ITE नॉन-यूनिटरी ऑपरेटर्स को साकार करने में स्केलेबिलिटी समस्याओं का सामना करता है। क्वांटम ITE (QITE) अक्सर वेरिएशनल ऑप्टिमाइजेशन या पेनल्टी टर्म्स पर निर्भर करता है, जो बैरन प्लेटो की चुनौतियों को फिर से पेश करता है और जटिल एंसेट (ansatzes) की मांग करता है।
अन्य विधियाँ: क्वांटिफाइड क्वांटम फेज एस्टीमेशन (QFD) और फिल्टर्ड क्वांटम फेज एस्टीमेशन (FQPE) जैसी तकनीकें विशिष्ट संदर्भ अवस्थाओं (reference states) या अनुकूलित फिल्टर फंक्शन पर बहुत अधिक निर्भर करती हैं।

लेखक एक पूर्णतः क्वांटम एल्गोरिदम की आवश्यकता की पहचान करते हैं जो बिना पेनल्टी फंक्शन, वेरिएशनल स्टेप्स, या हाइब्रिड क्लासिकल-क्वांटम लूप के ग्राउंड और उत्तेजित दोनों अवस्थाओं को खोज सके, जिससे बैरन प्लेटो से बचा जा सके।

कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रस्तावित एल्गोरिदम एक मिक्सड-स्टेट डेंसिटी मैट्रिक्स के स्टोकेस्टिक सैंपलिंग और स्टेट-बेस्ड सिमुलेशन पर आधारित एक पूर्णतः क्वांटम विधि है।

1. हैमिल्टोनियन डीकंपोजिशन और डेंसिटी मैट्रिक्स मैपिंग

एल्गोरिदम यह मानता है कि लक्षित हैमिल्टोनियन $H$ को दो समाधान योग्य घटकों में विभाजित किया जा सकता है, $H = h_1 + h_2$ , जहाँ $h_1$ और $h_2$ के आइजनवैल्यू ( $\lambda^j_i$ ) और आइजनस्टेट्स ( $|\psi^j_i\rangle$ ) ज्ञात हैं और उन्हें आसानी से तैयार किया जा सकता है।

लेखक $h_1$ और $h_2$ के आइजनवैल्यू को एक वैध प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन बनाने के लिए शिफ्ट और रीस्केल करते हैं।
वे एक मिक्सड-स्टेट डेंसिटी मैट्रिक्स $\rho$ का निर्माण करते हैं जो शिफ्टेड हैमिल्टोनियन के समकक्ष है:
$\rho = \frac{1}{C} (H + (c_1 + c_2)I) = \sum_{i,j} p^j_i |\psi^j_i\rangle\langle\psi^j_i|$
जहाँ $p^j_i$ शिफ्टेड आइजनवैल्यू से प्राप्त प्रोबेबिलिटीज हैं। $\rho$ के आइजनस्टेट्स $H$ के समान ही होते हैं।

2. ग्राउंड स्टेट के लिए स्टोकेस्टिक इमेजरी टाइम इवोल्यूशन (ITE)

ग्राउंड स्टेट खोजने के लिए, एल्गोरिदम स्टोकेस्टिक सैंपलिंग का उपयोग करके $\rho$ पर ITE करता है:

सैंपलिंग: प्रत्येक टाइम स्टेप $\eta$ पर, वितरण $\{p^j_i\}$ से एक प्रोजेक्टर $P^j_i = |\psi^j_i\rangle\langle\psi^j_i|$ को सैंपल किया जाता है।
इवोल्यूशन ऑपरेटर: पूर्ण नॉन-यूनिटरी $e^{-\eta \rho}$ को लागू करने के बजाय, एल्गोरिदम सैंपल किए गए प्रोजेक्टर के लिए ऑपरेटर $I - \eta P^j_i$ को लागू करता है।
सर्किट कार्यान्वयन: इसे एक एंसिलरी क्यूबिट (ancillary qubit) वाले पोस्ट-सिलेक्टेड यूनिटरी सर्किट के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। यूनिटरी $U$ एक $n$ -क्यूबिट कंट्रोल्ड-SU(2) गेट है। यदि सिस्टम सैंपल किए गए प्रोजेक्टर के अनुरूप अवस्था में है, तो एंसिल $\rho$ एक रोटेशन से गुजरती है; अन्यथा, वह अपरिवर्तित रहती है। एंसिल को $|0\rangle$ अवस्था में पोस्ट-सेलेक्ट करने से वांछित $I - \eta P^j_i$ ऑपरेशन प्राप्त होता है।
अभिसरण (Convergence): इस प्रक्रिया को दोहराने से सिस्टम $\rho$ (और इस प्रकार $H$ ) के ग्राउंड स्टेट की ओर बढ़ता है, जिसमें किसी वेरिएशनल ऑप्टिमाइजेशन की आवश्यकता नहीं होती।

3. उत्तेजित अवस्थाओं के लिए स्टेट-बेस्ड सिमुलेशन

उत्तेजित अवस्थाओं को खोजने के लिए, एल्गोरिदम को पहले से मिली निचली ऊर्जा वाली अवस्थाओं (जैसे, ग्राउंड स्टेट $P_g$ ) के योगदान को दबाना होगा।

चुनौती: अत्यधिक एंटैंगल्ड (entangled) ग्राउंड स्टेट्स के लिए सीधे प्रोजेक्टर लागू करना कठिन है।
समाधान: लेखक एक स्टेट-बेस्ड सिमुलेशन प्रोटोकॉल का उपयोग करते हैं। इसमें एक डुअल $n$ -क्यूबिट सिस्टम (एंसिल) शामिल है जिसे ज्ञात ग्राउंड स्टेट $P_g$ में तैयार किया गया है, एक कंट्रोल क्यूबिट, और प्राथमिक सिस्टम।
तंत्र: कंट्रोल क्यूबिट पर आधारित, प्राथमिक सिस्टम और एंसिल के बीच एक कंट्रोल्ड-SWAP गेट लागू किया जाता है। कंट्रोल क्यूबिट को $|+\rangle$ बेसिस में मापने से प्रभावी रूप से इवोल्यूशन $e^{-\eta P_g}$ (जिसे $I - \eta P_g$ के रूप में अनुमानित किया गया है) लागू होता है, जो ग्राउंड स्टेट घटक को प्रोजेक्ट आउट करता है।
लिफ्टिंग प्रक्रिया: पहली उत्तेजित अवस्था को खोजने के लिए, डेंसिटी मैट्रिक्स डिस्ट्रीब्यूशन में ग्राउंड स्टेट प्रोजेक्टर की प्रोबेबिलिटी को कृत्रिम रूप से "लिफ्ट" (बढ़ाया) किया जाता है। एल्गोरिदम फिर इस संशोधित डिस्ट्रीब्यूशन पर ITE करता है। जब ग्राउंड स्टेट प्रोजेक्टर को सैंपल किया जाता है, तो ग्राउंड स्टेट को फ़िल्टर करने के लिए स्टेट-बेस्ड सिमुलेशन का उपयोग किया जाता है। इस प्रक्रिया को उच्च उत्तेजित अवस्थाओं को खोजने के लिए दोहराया जा सकता है।

4. सामान्य हैमिल्टोनियन्स के लिए वेरिएंट

उन हैमिल्टोनियन्स के लिए जो आसानी से दो समाधान योग्य भागों में विभाजित नहीं होते हैं, लेखक एक वेरिएंट प्रस्तावित करते हैं जहाँ $H$ को पाउली ऑपरेटर्स के लीनियर कॉम्बिनेशन ( $H = \sum \alpha_i O_i$ ) के रूप में माना जाता है। इन पाउली ऑपरेटर्स पर सीधे स्टोकेस्टिक सैंपलिंग लागू की जाती है, जिसमें इवोल्यूशन स्टेप्स के लिए समान सर्किट कार्यान्वयन का उपयोग किया जाता है।

मुख्य परिणाम

लेखकों ने ट्रांसवर्स फील्ड आइसिंग मॉडल (एक 1D चेन जिसमें पीरियोडिक बाउंड्री कंडीशंस हैं) के क्लासिकल सिमुलेशन का उपयोग करके अपने एल्गोरिदम को मान्य किया, जो एक बेंचमार्क के रूप में कार्य करता है क्योंकि इसे समाधान योग्य $Z$ -बेसिस और $X$ -बेसिस घटकों में विभाजित किया जा सकता है।

ग्राउंड स्टेट (4-क्यूबिट सिस्टम): सटीक ग्राउंड स्टेट के साथ 99.9% फिडेलिटी (fidelity) प्राप्त की।
उत्तेजित अवस्थाएं (4-क्यूबिट सिस्टम):
- प्रथम उत्तेजित अवस्था: 98.6% फिडेलिटी।
- द्वितीय उत्तेजित अवस्था: 96.8% फिडेलिटी।
- तृतीय उत्तेजित अवस्था: 96.6% फिडेलिटी।
स्केलेबिलिटी टेस्ट (10-क्यूबिट सिस्टम): एल्गोरिदम ने सफलतापूर्वक ग्राउंड स्टेट (98.6% फिडेलिटी) और पहली उत्तेजित अवस्था (97.8% फिडेलिटी) को खोजा। इसने तीसरी सबसे निचली आइजनस्टेट को भी हल किया (90.2% फिडेलिटी), बावजूद इसके कि पहली दो अवस्थाओं के बीच नियर-डिजेनेरेसी (near-degeneracy) थी।
पाउली वेरिएंट: पाउली-ऑपरेटर सैंपलिंग वेरिएंट ने भी 4-क्यूबिट केस में पहली चार आइजनस्टेट्स के लिए उच्च फिडेलिटी (97.1%–99.5%) प्रदर्शित की।
संसाधन स्केलिंग (Resource Scaling): सैद्धांतिक विश्लेषण इंगित करता है कि एल्गोरिदम प्रति स्टेप $O(n)$ टू-क्यूबिट गेट्स के साथ स्केल करता है, जो $O(n^2)$ स्केल करने वाले ट्रोटर-आधारित (Trotter-based) ITE मेथड्स की तुलना में एक महत्वपूर्ण सुधार है।

महत्व और दावे

यह पेपर दावा करता है कि यह एक पूर्णतः क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो वर्तमान हाइब्रिड या वेरिएशनल विधियों की कमियों के बिना आइजनस्टेट समस्या को संबोधित करता है:

पेनल्टी-मुक्त: यह बिना किसी पेनल्टी टर्म को लॉस फंक्शन में जोड़े उत्तेजित अवस्थाओं को खोजता है, जिससे जटिल एंसेट की आवश्यकता और बैरन प्लेटो के जोखिम से बचा जा जाता है।
कोई हाइब्रिड स्टेप नहीं: यह क्लासिकल ऑप्टिमाइजेशन लूप की आवश्यकता को समाप्त करता है, जिससे यह एक शुद्ध क्वांटम प्रक्रिया बन जाती है।
व्यापक प्रयोज्यता: यह धारणा कि $H$ को समाधान योग्य भागों में विभाजित किया जा सकता है, गैर-प्रतिबंधात्मक है, जो कई भौतिक मॉडलों और यहाँ तक कि QMA-कंप्लीट समस्याओं को भी कवर करती है।
मजबूती (Robustness): विधि ने नियर-डिजेनरेट ऊर्जा स्तरों वाले सिस्टम में भी क्रमवार (sequentially) कई निचली आइजनस्टेट्स को खोजने की क्षमता प्रदर्शित की है।

लेखक स्वीकार करते हैं कि समग्र सफलता दर पोस्ट-सेलेक्शन पर निर्भर करती है, जो गेट एरर और डिकोहेरेंस के कारण वर्तमान नॉइज़ी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) डिवाइसेस पर एक चुनौती हो सकती है। हालाँकि, उनका मानना है कि यह विधि क्वांटम सर्किट्स का उपयोग करके क्लासिकली इंट्रैक्टेबल (classically intractable) आइजनस्टेट समस्याओं से निपटने के लिए एक ठोस मार्ग प्रदान करती है, जो क्वांटम कम्प्यूटेशनल टूलबॉक्स में एक मौलिक जुड़ाव के रूप में कार्य करती है।