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Cox Regression on the Plane

यह शोध पत्र लेहमैन-प्रकार के निरूपणों (Lehmann-type representations) पर आधारित द्विचर उत्तरजीविता डेटा (bivariate survival data) के लिए कॉक्स समानुपाती जोखिम मॉडल (Cox proportional hazards model) के दो नवीन, पूर्णतः अर्ध-प्राचलीय विस्तार (fully semiparametric extensions) प्रस्तावित करता है, जो किसी कोपुला (copula) या फ्रेलिटी वितरण (frailty distribution) को निर्दिष्ट किए बिना मार्जिनल उत्तरजीविता और निर्भरता पर सहचर प्रभावों (covariate effects) के मूल्यांकन की अनुमति देते हैं, साथ ही सिमुलेशन और एक वास्तविक अनुप्रयोग के माध्यम से प्रमाणित सुसंगत अनुमानक (consistent estimators) प्रदान करते हैं।

मूल लेखक: Yael Travis-Lumer, Micha Mandel, Ido Didi Fabian, Rebecca A. Betensky, Malka Gorfine

प्रकाशित 2026-06-12

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Yael Travis-Lumer, Micha Mandel, Ido Didi Fabian, Rebecca A. Betensky, Malka Gorfine

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप जुड़वा बच्चों के भविष्य की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं। सांख्यिकी (statistics) की दुनिया में, यह समझने जैसा है कि दो संबंधित चीजें (जैसे कि एक विशिष्ट नेत्र कैंसर वाले बच्चे की दोनों आँखें) किसी विशेष घटना (जैसे कि सर्जरी की आवश्यकता) से पहले कब तक चलेंगी।

द दशकों से, सांख्यिकीविदों के पास एक बहुत ही प्रसिद्ध और शक्तिशाली उपकरण रहा है जिसे कॉक्स मॉडल (Cox Model) कहा जाता है, जो एक अकेले व्यक्ति या वस्तु के जीवनकाल की भविष्यवाणी करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह एक शहर के लिए सटीक मौसम पूर्वानुमान रखने जैसा है। हालांकि, जब आप दो शहरों के लिए मौसम का पूर्वानुमान लगाने की कोशिश करते हैं जो एक-दूसरे को प्रभावित करते हैं (जैसे कि जुड़वा बच्चे जो एक ही जीन और वातावरण साझा करते हैं), तो पुराना उपकरण विफल हो जाता है।

यह शोध पत्र विशेष रूप से इन "जुड़वा" स्थितियों के लिए डिज़ाइन किए गए दो नए, उन्नत उपकरणों को पेश करता है। इसका विवरण सरल शब्दों में यहाँ दिया गया है:

1. समस्या: "एक-आकार-सभी-के-लिए" वाला उपकरण काम नहीं करता

दो संबंधित घटनाओं को संभालने के पुराने तरीके में आमतौर पर दो कठिन चरण शामिल थे:

"साझा रहस्य" विधि (The "Shared Secret" Method): यह मानना कि जुड़वा बच्चे एक अदृश्य "फ्रेलिटी" (जैसे कि एक साझा आनुवंशिक कमजोरी) साझा करते हैं जो उन्हें एक ही समय में विफल होने के लिए प्रेरित करती है।
"कठोर ब्लूप्रिंट" विधि (The "Rigid Blueprint" Method): यह मानना कि जुड़वा बच्चों के बीच का संबंध एक सख्त, पूर्व-निर्धारित गणितीय आकार (जैसे कि एक विशिष्ट गांठ का प्रकार) का पालन करता है।

इन पुराने तरीकों के साथ समस्या यह है कि वे डेटा को एक बॉक्स में फिट करने के लिए मजबूर करते हैं। यदि वास्तविक दुनिया का संबंध उस विशिष्ट बॉक्स या छिपे हुए रहस्य में फिट नहीं बैठता है, तो भविष्यवाणियां गलत हो सकती हैं। यह एक चौकोर लकड़ी के टुकड़े को गोल छेद में फिट करने और यह उम्मीद करने जैसा है कि लकड़ी खिंचकर फैल जाएगी।

2. समाधान: दो नए "लेहमन" मॉडल (Two New "Lehmann" Models)

लेखक डेटा को देखने के दो नए तरीके प्रस्तावित करते हैं, जो लेहमन प्रतिनिधित्व (Lehmann Representation) की अवधारणा पर आधारित हैं। इसे इस तरह समझें कि सर्वाइवल चार्ट को एक कठोर संरचना के रूप में नहीं, बल्कि एक लचीले कपड़े के रूप में देखना है जिसे विभिन्न कारकों द्वारा खींचा या सिकोड़ा जा सकता है।

मॉडल A: "सिंपल लेहमन" (समान खिंचाव - The Uniform Stretch)
कल्पना कीजिए कि आपके पास एक रबर की चादर है जो दोनों आँखों के जीवित रहने (survival) का प्रतिनिधित्व करती है। इस सरल मॉडल में, एक कारक (जैसे कि ट्यूमर का चरण) सभी दिशाओं में समान रूप से खींचता है। यदि एक कारक बाईं आँख के लिए सर्जरी की संभावना बढ़ाता है, तो वह दाईं आँख को भी ठीक उसी मात्रा में सर्जरी की संभावना बढ़ा देता है। यह एक सीधा, समान खिंचाव है।
मॉडल B: "जनरलाइज्ड लेहमन" (कस्टम टेलर - The Custom Tailor)
यह अधिक लचीला उपकरण है। फिर से रबर की चादर की कल्पना करें, लेकिन अब आपके पास डेटा को खींचने के लिए तीन अलग-अलग हाथ हैं:
1. एक हाथ बाईं ओर खींचता है (बाईं आँख का जोखिम)।
2. दूसरा हाथ दाईं ओर खींचता है (दाईं आँख का जोखिम)।
3. तीसरा हाथ चादर के बीच में खींचता है (दोनों आँखों के बीच का संबंध)।

यह मॉडल यह कहने की अनुमति देता है: "यह कारक बाईं आँख को जोखिम भरा बनाता है, लेकिन दाईं आँख ठीक है, और यह वास्तव में दोनों आँखों को एक साथ विफल होने से कम संभावित बनाता है।" यह व्यक्तिगत जोखिमों को संबंध के जोखिम से अलग करता है, जिससे अधिक स्पष्ट तस्वीर मिलती है।

3. गुप्त नुस्खा: "स्यूडो-ऑब्जर्वेशन" (Pseudo-Observations)

वे जटिल गणित में उलझे बिना इसकी गणना कैसे करते हैं? वे स्यूडो-ऑब्जर्वेशन नामक एक ट्रिक का उपयोग करते हैं।

कल्पना कीजिए कि आप एक कक्षा की औसत ऊंचाई जानना चाहते हैं, लेकिन आप एक साथ सभी को नहीं माप सकते। इसके बजाय, आप पूरी कक्षा को लेते हैं, उन्हें मापते हैं, फिर एक छात्र को बाहर निकाल देते हैं, बाकी को मापते हैं, और गणना करते हैं कि औसत को सही बनाने के लिए उस गायब छात्र की ऊंचाई क्या होनी चाहिए थी। आप यह हर छात्र के लिए करते हैं।

लेखक इस "लीव-वन-आउट" (एक को छोड़कर) ट्रिक का उपयोग करके "दो आँखों के एक साथ विफल होने" की जटिल समस्या को एक सरल समस्या में बदल देते हैं जिसे मानक कंप्यूटर प्रोग्राम आसानी से हल कर सकते हैं। वे इसे दो चरणों में करते हैं:

पहले, वे प्रत्येक आँख के लिए व्यक्तिगत जोखिम का पता लगाते हैं।
फिर, वे यह देखने के लिए "बचे हुए" हिस्से को देखते हैं कि दोनों आँखें आपस में कैसे जुड़ी हुई हैं।

4. वास्तविक दुनिया का परीक्षण: "ग्लोबल रेटिनोब्लास्टोमा स्टडी"

अपने नए उपकरणों को सिद्ध करने के लिए, लेखकों ने ग्लोबल रेटिनोब्लास्टोमा आउटकम स्टडी (GROS) के डेटा पर अपने नए उपकरणों का परीक्षण किया। यह अध्ययन दुर्लभ नेत्र कैंसर वाले 4,000 से अधिक बच्चों पर केंद्रित था। कई मामलों में, दोनों आँखें प्रभावित होती हैं।

प्रश्न: यदि एक आँख को जल्दी निकाल दिया जाता है (enucleated), तो दूसरी आँख के बाद में निकाले जाने की कितनी संभावना है?
पुराना तरीका (Copulas): जब उन्होंने पुराने "कठोर ब्लूप्रिंट" तरीकों का उपयोग किया, तो कंप्यूटर ने एक ऐसा गणितीय आकार चुना जो यह सुझाव देता था कि आँखें सकारात्मक रूप से जुड़ी हुई हैं (यदि एक विफल होती है, तो दूसरी भी जल्द ही विफल होने की अधिक संभावना है)।
नया तरीका: उनके नए मॉडल ने कुछ अलग दिखाया। डेटा ने वास्तव में नेगेटिव क्वाड्रेंट डिपेंडेंस (Negative Quadrant Dependence) का सुझाव दिया। सरल भाषा में: यदि एक आँख जल्दी विफल होती है, तो दूसरी आँख के लंबे समय तक जीवित रहने की संभावना वास्तव में अधिक होती है।
- क्यों? लेखक सुझाव देते हैं कि ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि डॉक्टर एक आँख को जल्दी निकाल देते हैं, तो वे दूसरी आँख को बचाने के लिए अतिरिक्त मेहनत करते। पहली आँख की "विफलता" दूसरी आँख के लिए एक सुरक्षात्मक प्रतिक्रिया को सक्रिय करती है।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है

शोध पत्र का दावा है कि उनके नए मॉडल बेहतर हैं क्योंकि:

वे आकार का अनुमान नहीं लगाते: वे दोनों आँखों के बीच के संबंध को किसी पूर्व-निर्धारित गणितीय बॉक्स में जबरदस्ती फिट नहीं करते हैं। वे डेटा को खुद बोलने देते हैं।
वे अधिक स्पष्ट हैं: उनके परिणामों को सीधे जीवित रहने की संभावनाओं (जैसे, "20% संभावना है कि दोनों आँखें 2 साल तक जीवित रहेंगी") के रूप में समझाया जा सकता है, जो अमूर्त "हैज़र्ड रेशियो" (hazard ratios) की तुलना में डॉक्टरों के लिए समझना आसान है।
वे मजबूत (Robust) हैं: भले ही डेटा उनके मॉडल में पूरी तरह से फिट न हुआ हो (जैसे कि उनके कंप्यूटर सिमुलेशन में), भविष्यवाणियां सटीक बनी रहीं।

संक्षेप में: लेखकों ने एक नया, लचीला सांख्यिकीय इंजन बनाया है जो दो संबंधित घटनाओं को एक कठोर बॉक्स में डाले बिना संभाल सकता है। उन्होंने नेत्र कैंसर वाले बच्चों के डेटा का परीक्षण किया और एक आश्चर्यजनक सच्चाई का पता लगाया: जब एक आँख खो जाती है, तो दूसरी आँख को बचाने के प्रयास वास्तव में संभावनाओं को बदल देते है—एक ऐसी सूक्ष्मता जिसे पुराने, कठोर मॉडल मिस कर गए थे।

तकनीकी सारांश: प्लेन पर कॉक्स रिग्रेशन (Cox Regression on the Plane)

समस्या विवरण
कॉक्स प्रोपोर्शनल हजार्ड्स मॉडल (Cox proportional hazards model) यूनिवेरिएट सर्वाइवल एनालिसिस के लिए मानक है, फिर भी बाइवेरिएट सर्वाइवल डेटा (सह-संबंधित विफलता समय) के लिए विस्तार सीमित हैं। मौजूदा दृष्टिकोण महत्वपूर्ण ट्रेड-ऑफ का सामना करते हैं:

शेयर्ड फ्रैलिटी और कोपूला मॉडल (Shared fraity and copula models): ये अक्सर निर्भरता संरचना (जैसे विशिष्ट कोपूला परिवार या फ्रैलिटी वितरण) के संबंध में पैरामीट्रिक धारणाओं पर निर्भर करते हैं। यदि निर्भरता संरचना गलत निर्दिष्ट (misspecified) हो जाती है, तो जॉइंट सर्वाइवल स्तर पर कोवेरिएट प्रभाव व्याख्या योग्य या सही नहीं हो सकते हैं।
मल्टीप्लिकेटिव हजार्ड एक्सटेंशन (Multiplicative hazard extensions): तीन अलग-अलग प्रोपोर्शनल हजार्ड्स मॉडल (सिंगल-फेलियर और डबल-फेलियर दरों के लिए) निर्दिष्ट करने के पिछले प्रयासों में आमतौर पर एक वैध बाइवेरिएट सर्वाइवल वितरण प्राप्त करने में विफलता होती है, क्योंकि परिणामी हजार्ड फंक्शन आवश्यक संरचनात्मक बाधाओं को पूरा नहीं करते हैं।

लेखक एक ऐसे तरीके के लिए अंतराल की पहचान करते हैं जो कॉक्स मॉडल की सेमीपैरामीट्रिक प्रकृति को सुरक्षित रखता है, एक वैध बाइवेरिएट सर्वाइवल वितरण प्रदान करता है, और बिना किसी कोपूला या फ्रैलिटी वितरण को निर्दिष्ट किए पारदर्शी कोवेरिएट व्याख्या प्रदान करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह शोध पत्र एक सामान्यीकृत लेहमैन प्रतिनिधित्व (generalized Lehmann representation) के आधार पर दो सेमीपैरामेट्रिक विस्तार प्रस्तावित करता है।

मॉडल:
- सिंपल लेहमैन मॉडल (Simple Lehmann Model): एक सीधा विस्तार जहाँ बाइवेरिएट सर्वाइवल फंक्शन $S(t_1, t_2 | Z) = [S_0(t_1, t_2)]^{\exp(b^T Z)}$ है। यह दोनों मार्जिनल्स के लॉग-सर्वाइवल और जॉइंट डिपेंडेंस पर एक समान प्रोपोर्शनल प्रभाव लागू करता है, जिससे बेसलाइन डिपेंडेंस स्ट्रक्चर सुरक्षित रहता है।
- जनरलाइज्ड लेहमैन मॉडल (Generalized Lehmann Model): एक अधिक लचीला फॉर्मूलेशन जो दो अलग-अलग मार्जिनल हजार्ड्स ( $\alpha, \beta$ ) और डिपेंडेंस कंपोनेंट ( $\gamma$ ) के लिए अलग-अलग रिग्रेशन पैरामीटर्स की अनुमति देता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
  $S(t_1, t_2 | Z) = [S_{0T1}(t_1)]^{\exp(\alpha^T Z)} [S_{0T2}(t_2)]^{\exp(\beta^T Z)} \left[ \frac{S_0(t_1, t_2)}{S_{0T1}(t_1)S_{0T2}(t_2)} \right]^{\exp(\gamma^T Z)}$
  यह मॉडल डिपेंडेंस कंपोनेंट को बेसलाइन डिपेंडेंस रेशियो पर एक मल्टीप्लिकेटिव फैक्टर के रूप में मानता है। लेखक संगत हजार्ड फंक्शनों को व्युत्पन्न करते हैं और यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त शर्तें (जैसे $\alpha$ और $\beta$ के सापेक्ष $\gamma$ के लिए बाधाएं) स्थापित करते हैं कि परिणामी फंक्शन वैध, गैर-ऋणात्मक सर्वाइवल वितरण को परिभाषित करें।
अनुमान (Estimation):
- लेखक बाइवेरिएट सेटिंग में पार्शियल लाइकलीहुड (partial likelihood) की जटिलताओं से बचने के लिए स्यूडो-ऑब्जर्वेशन अप्रोच (pseudo-observations approach) का उपयोग करते हैं, जहाँ बेसलाइन हजार्ड्स रद्द नहीं होते हैं।
- सिंपल मॉडल: बाइवेरिएट स्यूडो-ऑब्जर्वेशन को कॉम्प्लीमेंटरी लॉग-लॉग (cloglog) लिंक वाले GLM में रिस्पॉन्स के रूप में उपयोग करके GEE (Generalized Estimating Equations) के माध्यम से अनुमानित किया जाता है।
- जनरलाइज्ड मॉडल: इसे एक दो-चरणीय प्रक्रिया (two-step procedure) के माध्यम से अनुमानित किया जाता है:
  1. मार्जिनल पैरामीटर्स ( $\alpha, \beta$ ) को यूनिवेरिएट स्यूडो-ऑब्जर्वेशन और मानक GEE का उपयोग करके अनुमानित करना।
  2. डिपेंडेंस कंपोनेंट के लिए संशोधित रिस्पॉन्स (जॉइंट सर्वाइवल और मार्जिनल्स के गुणनफल का अनुपात) बनाना और दूसरे GEE स्टेप का उपयोग करके $\gamma$ का अनुमान लगाना।
- शोध पत्र स्वतंत्र सेंसरिंग के तहत इन एस्टिमेटर्स की कंसिस्टेंसी (consistency) और एसिम्प्टोटिक नॉर्मैलिटी (asymptotic normality) को स्थापित करता है।

मुख्य परिणाम

सिमुलेशन अध्ययन: लेखकों ने विभिन्न कोपुलों (फ्रैंक, क्लेटन, गुम्बेल-बार्नेट) से उत्पन्न डेटा के विरुद्ध विधियों का मूल्यांकन किया, जो पॉजिटिव (PQD) और नेगेटिव (NQD) निर्भरता का प्रतिनिधित्व करते हैं।
- एस्टिमेटर्स ने $n=800$ के सैंपल साइज के लिए कम बायस (low bias) और नाममात्र स्तर के करीब कवरेज प्रदर्शित किया।
- प्रस्तावित मॉडल ने फ्लेक्सिबल कोपूला-आधारित रिग्रेशन फ्रेमवर्क (Marra and Radice, 2020) की तुलना में प्रतिस्पर्धी प्रेडिक्टिव सटीकता (Mean Absolute Error) बनाए रखी, भले ही सिंपल लेहमैन मॉडल मिसस्पेसिफाइड था (अर्थात जब $\alpha \neq \beta \neq \gamma$ )।
- जब लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन से प्राप्त डेटा पर लागू किया गया, तो विधियाँ मॉडल मिसस्पेसिफिकेशन के प्रति मजबूत (robust) साबित हुईं, जहाँ न तो लेहमैन और न ही कोपूला मॉडल पूरी तरह से सही थे।
डेटा एप्लीकेशन (ग्लोबल रेटिनोब्लास्टोमा आउटकम स्टडी - GROस):
- इस विधि को दोनों आँखों के एन्यूक्लिएशन (enucleation) के समय का विश्लेषण करने के लिए 977 द्विपक्षीय रेटिनोब्लास्टोमा मामलों पर लागू किया गया।
- डिपेंडेंस स्ट्रक्चर: नॉन-पैरामीट्रिक अनुमानों ने आँखों के बीच नेगेटिव क्वाड्रेंट डिपेंडेंस (NQD) का संकेत दिया। हालांकि, एक मानक कोपूला-आधारित दृष्टिकोण ने क्लेटन कोपूला को चुना, जो पॉजिटिव डिपेंडेंस (PQD) को दर्शाता है, जिससे विरोधाभासी कंडीशनल सर्वाइवल प्रोबेबिलिटी उत्पन्न हुई।
- व्याख्यात्मकता (Interpretability): लेहमैन मॉडलों ने बिना किसी पैरामीट्रिक कोपूला को थोपे NQD संरचना को सही ढंग से कैप्चर किया। परिणामों ने दिखाया कि यदि एक आँख जल्दी एन्यूक्लिएट (enucleated) होती है, तो दूसरी आँख के लंबे समय तक जीवित रहने की संभावना उस स्थिति से अधिक होती है जब पहली आँख जीवित रहती है, जो नैदानिक अपेक्षाओं के अनुरूप है लेकिन कोपूला मॉडल द्वारा मिस किया गया था।
- कोवेरिएट प्रभाव: मॉडलों ने पहचाना कि प्रस्तुति के समय अधिक आयु, उच्च ट्यूमर स्टेज और आय का स्तर सर्वाइवल प्रोबेबिलिटी को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है, जबकि लिंग और पारिवारिक इतिहास ने नहीं।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह दोनों मार्जिनल सर्वाइवल प्रोबेबिलिटी और उनकी निर्भरता पर कोवेरिएट प्रभावों का आकलन करने के लिए एक पारदर्शी, पूर्णतः सेमीपैरामेट्रिक फ्रेमवर्क प्रदान करता है। इसके प्राथमिक योगदान हैं:

कोपूला मिसस्पेसिफिकेशन से बचाव: कोपूला फैमिली के माध्यम से निर्भरता संरचना के माध्यम से कोवेरिएट प्रभावों को सीधे बाइवेरिएट सर्वाइवल फंक्शन पर मॉडल करके, यह दृष्टिकोण गलत निर्भरता संरचना संबंधी धारणाओं के जोखिम से बचता है, जो कंडीशनल प्रोबेबिलिटी की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण है।
वैधता और व्याख्यात्मकता: प्रस्तावित मॉडल विशिष्ट स्थितियों के तहत वैध बाइवेरिएट सर्वाइवल डिस्ट्रीब्यूशन को परिभाषित करते हैं, और उनके रिग्रेशन कोएफिशिएंट्स का सर्वाइवल स्केल पर सीधा अर्थ है (उदाहरण के लिए, $\gamma$ यह नियंत्रित करता है कि कोवेरिएट्स बेसलाइन डिपेंडेंस को कैसे बढ़ाते या घटाते हैं)।
नवीन अनुमान: लेखक बाइवेरिएट सर्वाइवल रिग्रेशन के लिए पहले दो-चरणीय स्यूडो-ऑब्जर्वेशन-आधारित तरीके को प्रस्तुत करते हैं, और उनके सैद्धांतिक गुणों को स्थापित करते हैं।
नैदानिक प्रासंगिकता: रेटिनोब्लास्टोमा डेटा पर अनुप्रयोग यह दर्शाता है कि मानक मॉडल चयन मानदंड (जैसे BIC) उन कोपुलों का पक्ष ले सकते हैं जिनमें गलत निर्भरता संरचनाएं (PQD बनाम NQD) होती हैं, जबकि प्रस्तावित फ्रेमवर्क नैदानिक रूप से व्याख्या योग्य परिणाम प्रदान करता है जो अनुभवजन्य साक्ष्य और डोमेन ज्ञान के साथ संरेखित होते हैं।

लेखक सीमाओं का उल्लेख करते हैं, जिसमें स्यूडो-ऑब्जर्वेशन के लिए सर्वाइवल एस्टिमेटर्स को पुन: गणना करने की कम्प्यूटेशनल लागत और स्वतंत्र सेंसरिंग की धारणा शामिल है, लेकिन वे इस बात पर जोर देते हैं कि यह दृष्टिकोण बाइवेरिएट सर्वाइवल एनालिसिस के लिए एक मजबूत विकल्प प्रदान करता है जहाँ निर्भरता संरचना अज्ञात या जटिल है।

1. समस्या: "एक-आकार-सभी-के-लिए" वाला उपकरण काम नहीं करता

2. समाधान: दो नए "लेहमन" मॉडल (Two New "Lehmann" Models)

3. गुप्त नुस्खा: "स्यूडो-ऑब्जर्वेशन" (Pseudo-Observations)

4. वास्तविक दुनिया का परीक्षण: "ग्लोबल रेटिनोब्लास्टोमा स्टडी"

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है

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