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Gauss and p-adic numbers

यह शोध पत्र कार्ल फ्रेडरिक गॉस की नोटबुक का परीक्षण करता है ताकि यह प्रदर्शित किया जा सके कि "अनंत सर्वांगसमता" (infinite congruences) से जुड़ी उनकी गणनाएँ p-adic संख्याओं के प्रारंभिक कार्य का हिस्सा हैं, जिसमें 11-adic और 10-adic पूर्णांक प्रणालियों में वर्गमूल और लघुगणक की गणना शामिल है।

मूल लेखक: Franz Lemmermeyer

प्रकाशित 2026-07-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Franz Lemmermeyer

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कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसी पहेली को हल करने की कोशिश कर रहे हैं जहाँ उसके टुकड़े केवल एक बार नहीं जुड़ते, बल्कि वे हर बार पूरी तरह से फिट होते हैं, चाहे आप कितना भी ज़ूम इन करें। गणित की दुनिया में, यह संख्या सिद्धांत (number theory) का क्षेत्र है, जो पूर्ण संख्याओं के छिपे हुए पैटर्न को समझने के लिए समर्पित है। आमतौर पर, जब हम गणित करते हैं, तो हम एक निश्चित बिंदु पर रुक जाते हैं; यदि हमें $\sqrt{2}$ का वर्गमूल जानना है, तो हम कह सकते हैं "1.414" और काम खत्म। लेकिन क्या होगा यदि हम अनंत तक जा सकें, और अधिक सटीक अंक जोड़ते जा सकें, न कि केवल दशमलव के दाईं ओर, बल्कि एक पूरी तरह से अलग दिशा में? यह p-adic संख्याओं की दुनिया है। इन्हें एक विशेष प्रकार की संख्या प्रणाली के रूप में सोचें जहाँ "निकटता" इस बात से नहीं मापी जाती कि दो संख्याएँ संख्या रेखा पर एक-दूसरे से कितनी दूर हैं, बल्कि इस बात से कि उनके अंकों के अंत में कितने शून्य साझा हैं। यदि दो संख्याओं के अंत में शून्य की एक लंबी श्रृंखला समान है, तो उन्हें बहुत करीबी पड़ोसी माना जाता है। यह सुनने में एक अजीब खेल लग सकता है, लेकिन यह वास्तव में उन समीकरणों को हल करने के लिए एक सुपरपावर है जो साधारण संख्याओं के साथ हल करना असंभव है।

अब, 1800 के दशक की शुरुआत में चलते हैं। हम आमतौर पर जर्मन गणितज्ञ कर्ट हेनसेल (Kurt Hensel) को 1899 में इन "अनंत सर्वांगसमता" (infinite congruence) संख्याओं का आविष्कार करने का श्रेय देते हैं। लेकिन कार्ल फ्रेडरिकिश गौस (Carl Friedrich Gauss)—एक जीनियस जिन्हें अक्सर "गणितियों का राजकुमार" कहा जाता है—की धूल भरी, हस्तलिखित नोटबुक पर एक नई नज़र एक आश्चर्यजनक रहस्य प्रकट करती है: गौस एक सदी पहले ही इन्हीं विचारों के साथ खेल रहे थे। एफ. लेमर्मियर (F. Lemmermeyer) के एक शोध पत्र में, हमें गौस की निजी कार्यशाला की एक झलक मिलती है, विशेष रूप से जुलाई 1800 की उनकी नोटबुक से। यह पत्र दिखाता है कि गौस केवल अनुमान नहीं लगा रहे थे; वह "अनंत सर्वांगसमता" (जो बिल्कुल वही हैं जिन्हें हम अब p-adic संख्याएँ कहते हैं) के साथ जटिल गणनाएँ कर रहे थे, इससे बहुत पहले कि किसी और ने उन्हें कोई नाम दिया हो। वह अनिवार्य रूप से एक ऐसे गणितीय ब्रह्मांड के लिए टूलकिट बना रहे थे जिसकी आधिकारिक खोज 20वीं शताब्दी में हुई।

यह शोध पत्र गौस के विशिष्ट प्रयोगों के दौर पर ले जाता है। सबसे पहले, गौस वर्गमूल और घनमूल खोजने की कोशिश कर रहे थे, लेकिन उस प्रकार के नहीं जो कैलकुलेटर पर मिलते हैं। वह ऐसे मूल (roots) खोज रहे थे जो एक विशिष्ट "मॉड्यूलर" दुनिया के भीतर पूरी तरह से काम करते हों। उदाहरण के लिए, उन्होंने 11-adic वर्गमूल 5 की गणना की, जो एक ऐसी संख्या है जिसका वर्ग, 11-adic प्रणाली में 5 के बराबर होता है (समीकरण $x^2 - 5 = 0$ को हल करना)। एक अव्यवस्थित दशमलव प्राप्त करने के बजाय, उन्होंने एक ऐसी संख्या पाई जो, जब खुद से गुणा की जाती है, तो चाहे आप कितनी भी बार जाँच करें, अंत में 5 के अंकों के साथ समाप्त होती है। उन्होंने यह एक मोटे अनुमान से शुरू करके और फिर इसे एक अधिक सटीक संस्करण में "लिफ्ट" करके किया, अंक-दर-अंक, एक ऐसी विधि का उपयोग करके जो एक सीढ़ी चढ़ने जैसा महसूस होता है जहाँ प्रत्येक पायदान आपको सत्य के करीब ले जाता है। पत्र बताता है कि गौस ने चतुराई भरे तरीकों का उपयोग किया, जैसे कि द्विपद प्रमेय (binomial theorem - संख्याओं की घातों को विस्तार देने का एक तरीका) और अंक-दर-अंक एल्गोरिदम जो स्कूल में सीखे जाने वाले भाग (long division) के समान है, लेकिन उलटे क्रम में चलता है।

सबसे दिलचस्प हिस्सों में से एक यह है कि गौस ने संख्या 10 को कैसे संभाला। चूंकि 10, 2 और 5 से बना है, गौस ने महसूस किया कि वह इस समस्या को दो छोटी, आसान समस्याओं में विभाजित कर सकते हैं: एक 2 पर आधारित और एक 5 पर आधारित, और फिर उन्हें वापस आपस में जोड़ सकते हैं। यह एक विशाल जिग्सॉ पहेली को पहले आकाश और फिर समुद्र को पूरा करके, और अंत में उन्हें आपस में जोड़कर हल करने जैसा है। उन्होंने इसका उपयोग "ऑटोमोर्फिक" (automorphic) संख्याएँ खोजने के लिए किया—ऐसी संख्याएँ जो, वर्ग होने पर, अंत में मूल संख्या के समान ही दिखती हैं। उन्होंने इस अजीब 10-आधारित प्रणाली में लघुगणक (logarithms - संख्याओं के आकार को मापने का एक तरीका) की भी गणना की। पत्र यह भी बताता है कि हालांकि गौस अविश्वसनीय रूप से प्रतिभाशाली थे, वह पूर्ण नहीं थे; लेखक को गौस के नोट्स में कुछ छोटी गणना त्रुटियाँ मिलीं, जैसे कि एक शून्य का गायब होना या एक उधार लिया गया अंक जिसका हिसाब नहीं रखा गया था। हालाँकि, ये गलतियाँ उनकी उपलब्धि को कम नहीं करतीं; वे बस यह दिखाती हैं कि गौस एक इंसान थे जो वास्तविक समय में जटिल समस्याओं पर काम कर रहे थे।

अंततः, यह पत्र यह दावा नहीं करता है कि गौस ने आधुनिक अर्थों में p-adic संख्याओं का "आविष्कार" किया था—उन्होंने कोई औपचारिक परिभाषा या भव्य सिद्धांत नहीं लिखा था। इसके बजाय, पत्र सुझाव देता है कि गौस की इन अनंत प्रणालियों के काम करने के तरीके पर एक गहरी, सहज समझ थी। वह जानते थे कि इन "अनंत सर्वांगसमताओं" को कैसे जोड़ा, घटाया, गुणा किया और यहाँ तक कि उनके मूल (roots) कैसे निकाले जाते हैं। उन्होंने उन्हें विशिष्ट बीजगणितीय पहेलियों, जैसे कि बहुपदों के मूल खोजना या द्विघात योगों (quadratic sums) के व्यवहार को समझना, को हल करने के लिए एक व्यावहारिक उपकरण के रूप में इस्तेमाल किया। लेखक, लेमर्मियर, हमें एक चुनौती के साथ छोड़ देते हैं: गौस की नोटबुक के कुछ पृष्ठ अभी भी समझने में कठिन हैं, जो आधुनिक पाठकों को और अधिक खोजने के लिए आमंत्रित करते हैं। यह पत्र पुष्टि करता है कि गौस एक अग्रणी थे जो अपने समय से दशकों, शायद एक सदी, आगे थे, आधुनिक बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के निर्माण खंडों के साथ खेल रहे थे जबकि बाकी दुनिया अभी गिनती करना सीख रही थी।

समस्या
यह शोध पत्र कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नोटबुक में दर्ज उनके अप्रकाशित गणनाओं और कर्ट हेनसेल द्वारा 1899 में $p$ -adic संख्याओं के आधुनिक औपचारिक रूपकरण के बीच के ऐतिहासिक और गणितीय अंतर को संबोधित करता है। यह स्थापित तथ्य है कि गॉस के पास बहुपदों के मूलों (roots) को ऊपर उठाने (lifting) के लिए एक प्रकार का "हेन्सलेमा" (Hensel's Lemma) मौजूद था, लेकिन उनके "अनंत सर्वांगसमता" (infinite congruences - $p^\infty$ के मॉड्युलो में सर्वांगसमता) से संबंधित विशिष्ट गणनाओं की प्रकृति को पूरी तरह से स्पष्ट नहीं किया गया था। लेखक गॉस की जुलाई 1800 की नोटबुक प्रविष्टियों की जांच करते हैं ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि उन्होंने इन अनंत सर्वांगसमताओं के साथ अंकगणित कैसे किया, जो आधुनिक $p$ -adic और $g$ -adic संख्याओं के अनुरूप हैं, और वर्गमूल, घनमूल और लघुगणक (logarithms) के लिए उनकी गणनाओं की सटीकता और विधियों को सत्यापित करते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक ऐतिहासिक विश्लेषण और आधुनिक कम्प्यूटेशनल सत्यापन के संयोजन का उपयोग करते हैं:

ऐतिहासिक पुनर्निर्माण: शोध पत्र गॉस की नोटबुक (विशेष रूप से "1800 Juli" नोटबुक) के विशिष्ट पृष्ठों का विश्लेषण करता है, उनके हस्तलिखित गणनाओं का लिप्यंतरण और व्याख्या करता है।
एल्गोरिदम स्पष्टीकरण: लेखक उन एल्गोरिदम की व्याख्या करते हैं जिनका उपयोग संभवतः गॉस ने किया था, जिनमें शामिल हैं:
- मूलों (roots) की गणना के लिए द्विपद विस्तार (Binomial expansions) (जैसे, $\sqrt{1 \pm x}$ )।
- वर्गमूल के लिए अंक-दर-अंक निष्कर्षण एल्गोरिदम (मानक और $p$ -adic संदर्भों के लिए अनुकूलित दोनों)।
- घनमूल के लिए अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य असमानता का उपयोग करते हुए पुनरावृत्ति सन्निकटन (Iterative approximations)।
- $p$ -adic लघुगणकों की गणना के लिए घात श्रेणी विस्तार (Power series expansions)।
आधुनिक सत्यापन: लेखक गॉस द्वारा दर्ज अंकों के विरुद्ध तुलना करने के लिए आधुनिक $p$ -adic और $g$ -adic सन्निकटन (विशेष रूप से $241$, $11 $, और$ 10$ के मॉड्युलो में) की गणना करने के लिए कंप्यूटर अलजेब्रा सिस्टम pari का उपयोग करते हैं। इसमें बहुपदों के मूलों के उत्थान (lifting) का सत्यापन, $\mathbb{Q}_{11}$ में $\sqrt{5}$ का विस्तार, और आइसोमोर्फिज्म $\mathbb{Z}_{10} \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_5$ के माध्यम से 10-adic लघुगणक की गणना शामिल है।
बीजगणितीय विश्लेषण: शोध पत्र चीनी शेष प्रमेय (Chinese Remainder Theorem) और आइडम्पोटेंट्स (idempotents) के सिद्धांत का उपयोग करके 10-adic संख्याओं की बीजगणितीय संरचना और शून्य विभाजकों (zero divisors) तथा एकता के गैर-तुच्छ वर्गमूलों के अस्तित्व की व्याख्या करता है।

मुख्य योगदान

"अनंत सर्वांगसमता" को $p$ -adic संख्याओं के रूप में पहचानना: शोध पत्र स्पष्ट रूप से $p^\infty$ के मॉड्युलो में गॉस की "अनंत सर्वांगसमताओं" को हेन्स के $p$ -adic संख्याओं के अग्रदूत के रूप में पहचानता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि गॉस उनकी औपचारिक परिभाषा से दशकों पहले इन वलयों (rings) में अंकगणित कर रहे थे।
गॉस के एल्गोरिदम को समझना: लेखक उन विशिष्ट विधियों का पुनर्निर्माण करते हैं जिनका उपयोग गॉस ने निम्नलिखित की गणना के लिए किया था:
- वर्गमूल: गॉस ने $\mathbb{Q}_{11}$ में $\sqrt{79}$ और $\sqrt{5}$ जैसे मूल खोजने के लिए द्विपद विस्तार और अंक-दर-अंक घटाव ( $p$ -adic संदर्भों के लिए दाएं से बाएं काम करना) का उपयोग कैसे किया।
- घनमूल: गॉस ने $\sqrt[3]{2}$ का सन्निकटन करने के लिए असमानताओं और अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य का उपयोग कैसे किया।
- बहुपद मूल: गॉस ने एक पंचम घात वाले बहुपद के मूल को $241 $से$ 241^2$ और उच्च घातों तक कैसे उत्थापित (lifted) किया, जो प्रभावी रूप से हेन्स लिफ्टिंग (Hensel lifting) कर रहे थे।
- लघुगणक: गॉस ने $0 \pmod{10}$ के तुल्य संख्याओं के लिए घात श्रेणी विस्तारों के माध्यम से और सह-अभाज्य (coprime) संख्याओं के लिए गुणनखंडन के माध्यम से 10-adic लघुगणक की गणना कैसे की।
त्रुटि का पता लगाना: शोध पत्र गॉस की नोटबुक में विशिष्ट गणना त्रुटियों की पहचान करता है, जैसे कि द्विघात आवर्तों (quadratic periods) के 11-adic विस्तार में उधार लेने (borrowing) की गलती, और $\log(301)$ तथा $\log(799)$ की गणना में चूक।
10-adic संरचना का स्पष्टीकरण: शोध पत्र गॉस की 10-adic गणनाओं की बीजगणितीय पृष्ठभूमि की व्याख्या करता है, विशेष रूप से $\mathbb{Z}_{10}$ का $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_5$ में अपघटन और एकता के वर्गमूल खोजने में आइडम्पोटेंट्स की भूमिका।

परिणाम

गणनाओं का सत्यापन: आधुनिक गणनाएँ पुष्टि करती हैं कि गॉस के $\mathbb{Q}_{11}$ में $\sqrt{5}$ के सन्निकटन और $241$ के मॉड्युलो में पंचम घात वाले बहुपद के मूलों के लिए अनुमान, उनके द्वारा दर्ज किए गए अंकों तक सही हैं, भले ही उनके पास औपचारिक संकेतन का अभाव था।
एल्गोरिदम अंतर्दृष्टि: 10-adic संख्याओं के लिए गॉस द्वारा उपयोग किए गए अंक-दर-अंक वर्गमूल एल्गोरिदम को एक वैध अनुकूलन के रूप में दिखाया गया है, जो परिमाण (magnitude) के बजाय सर्वांगसमता पर निर्भर करता है।
लघुगणक तालिकाएँ: शोध पत्र 31 तक के पूर्णांकों के लिए सुधारे गए 10-adic लघुगणक की तालिका का पुनर्निर्माण करता है, जिससे पता चलता है कि गॉस के मान सामान्यतः $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ का पालन करते हैं, हालांकि कुछ विशिष्ट प्रविष्टियों में अंकगणितीय त्रुटियाँ हैं।
द्विघात आवर्त (Quadratic Periods): शोध पत्र एकता के पांचवें मूल से संबंधित गॉस की द्विघात आवर्तों की गणना को स्पष्ट करता है, यह नोट करते हुए कि जबकि उनकी विधि सुदृढ़ थी, एक विशिष्ट अंकगणितीय त्रुटि ने आवर्तों $a$ और $b$ के लिए गलत मानों को जन्म दिया।

महत्व
शोध पत्र मामूली महत्व का दावा करता है, जो मुख्य रूप से "गॉस की अधिकांश गणनाओं की व्याख्या करने" के लिए एक प्रदर्शनात्मक और खोजी कार्य के रूप में कार्य करता है और शेष को एक चुनौती के रूप में छोड़ देता है। यह रेखांकित करता है कि गॉस के पास इनवर्स लिमिट्स (inverse limits) और संगत सर्वांगसमता प्रणालियों की एक परिष्कृत, सहज समझ थी, जो प्रभावी रूप से हेन्स द्वारा बाद में प्रदान किए गए औपचारिक ढांचे के बिना $p$ -adic संख्याओं के साथ अंकगणित कर रहे थे। लेखक नोट करते हैं कि हालांकि गॉस ने इन सीमाओं को औपचारिक रूप से परिभाषित नहीं किया, उनकी नोटबुक दर्शाती हैं कि वे इन प्रणालियों के भीतर जोड़, घटाव, गुणा और मूलों की गणना करना जानते थे। शोध पत्र यह भी स्वीकार करता है कि गॉस के कार्य में इन "अनंत सर्वांगसमताओं" के अस्तित्व को ऑनलाइन गणितीय समुदायों में नोट किया गया है, जो इस विचार को पुष्ट करता है कि गॉस का टूलकिट $p$ -adic विश्लेषण के संदर्भ में पहले की तुलना में कहीं अधिक उन्नत था।

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