Gauss and p-adic numbers
本文通过研究卡尔·弗里德里希·高斯的笔记本，旨在证明其关于“无穷同余”的计算构成了对 p 进数（包括在 11 进和 10 进整数系统中计算平方根和对数）的早期研究工作。
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想象一下，你正在试图解开一个谜题，其中的碎片不仅能拼凑在一起，而且无论你如何放大，它们都能完美地契合。在数学的世界里，这就是数论的领域，这是一个致力于理解整数背后隐藏模式的领域。通常，当我们做数学题时，我们会停在某个点；如果我们想知道 2 的平方根，我们可能会说“1.414”然后就此结束。但如果我们可以一直进行下去，不断增加更多、更精确的数字，不仅仅是在小数点右侧，而是在一个完全不同的方向上呢？这就是 p-adic 数的世界。把它们想象成一种特殊的数字系统，在这里，“接近”不是通过两个数在数轴上的距离来衡量的，而是通过它们末尾共享了多少个零来衡量的。如果两个数的末尾拥有同样长度的零序列，它们就被视为非常亲近的邻居。这听起来像是一个奇怪的游戏，但事实证明，这对于解决那些用普通数字无法破解的方程来说，是一种超能力。
让我们快进到 19 世纪初。我们通常将发明这些“无限同余”数字的功劳归于德国数学家库尔特·亨塞尔（Kurt Hensel），他在 1899 年提出了这一概念。但通过对卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）——一位常被称为“数学王子”的天才——那些尘封的、手写的笔记本进行重新审视，我们发现了一个惊人的秘密：高斯早在一个世纪前就在玩这些相同的想法了。在 F. Lemmermeyer 的一篇论文中，我们得以窥见高斯的私人工作坊，特别是他 1800 年 7 月的笔记本。论文显示，高斯不仅仅是在猜测；他在比任何人都早的时候，就在进行关于“无限同余”（这正是我们现在所称的 p-adic 数）的复杂计算。他本质上是在为一个直到 20 世纪才被正式发现的数学宇宙构建工具箱。
这篇论文带我们参观了高斯的具体实验。首先，高斯试图寻找平方根和立方根，但不是你在计算器上能找到的那种。他寻找的是在特定的“模”世界中完美运作的根。例如，他计算了 11-adic 平方根 5，这是一个在 11-adic 系统中平方后等于 5 的数（求解方程 ）。他并没有得到一个混乱的小数，而是找到了一个数，无论你检查多少次，它乘以自身后的末尾数字始终是 5。他是通过从一个粗略的猜测开始，然后通过“提升”将其变为更精确的版本，逐位递进，这个过程感觉就像是在爬一把梯子，每一级台阶都让你离真相更近一步。论文解释说，高斯使用了巧妙的技巧，比如二项式定理（一种展开数字幂的方法）以及一种类似于我们在学校学到的长除法、但反向运行的逐位算法。
论文中最引人入胜的部分之一是高斯如何处理数字 10。由于 10 是由 2 和 5 组成的，高斯意识到他可以将问题分解为两个较小的、更容易的问题：一个基于 2，一个基于 5，然后将它们缝合在一起。这就像是通过先完成天空和海洋的拼图，最后再将它们扣在一起来解决一个巨大的拼图游戏。他利用这一点来寻找“自守”数——即平方后看起来与原数末尾完全相同的数字。他还计算了在这个奇怪的以 10 为基础的系统中的对数（一种衡量数字大小的方法）。论文指出，尽管高斯极其聪明，但他并不完美；作者发现高斯的笔记中有一些微小的计算错误，比如漏掉了一个零或是一个未被计入的借位。然而，这些错误并不会削弱其成就；它们只是表明高斯是一个在实时处理复杂问题的凡人。
最终，这篇论文并不声称高斯在现代意义上“发明”了 p-adic 数——他没有写下正式的定义或宏大的理论。相反，论文表明高斯对这些无限系统是如何运作的有着深刻的直觉理解。他知道如何对这些“无限同余”进行加、减、乘，甚至开方。他将它们作为解决特定代数谜题（如求解多项式的根或理解二次和的行为）的实用工具。作者 Lemmermeyer 给我们留下了一个挑战：高斯的笔记本中仍有一些页面难以辨认，邀请现代读者继续挖掘。论文证实，高斯是一位领先于时代数十年、甚至可能是一个世纪的先驱，在全世界还在研究如何计数时，他已经在玩弄现代代数数论的基础构件了。
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