A Smoluchowski equation for a sheared suspension of frictionally interacting rods

कल्पना कीजिए कि एक ऐसी दुनिया है जहाँ हम जो कुछ भी पीते हैं, पेंट करते हैं या प्रिंट करते है, वह केवल एक साधारण तरल पदार्थ नहीं है, बल्कि एक तरल में तैरते हुए छोटे, सख्त डंडों का एक अराजक नृत्य है। यह सस्पेंशन (suspensions) का क्षेत्र है, जो भौतिक विज्ञान की एक शाखा है जो यह अध्ययन करती है कि जब कणों को किसी तरल में मिलाया जाता है तो वे कैसे चलते हैं। एक सदी से अधिक समय से, वैज्ञानिक समझते आए हैं कि ये डंडे तब कैसे व्यवहार करते हैं जब वे एक-दूसरे से दूर होते हैं, जैसे एक मंद धारा में पत्तों की तरह धीरे-धीरे बह रहे हों। वे यह भी जानते हैं कि वे तब कैसे कार्य करते हैं जब वे घने होते हैं लेकिन फिर भी तरल की एक पतली परत पर एक-दूसरे के पास से फिसलते हैं, जैसे बर्फ के तालाब पर आइस स्केटर्स। लेकिन एक तीसरा, अधिक अव्यवस्थित परिदृश्य है: क्या होता है जब भीड़ इतनी घनी हो जाती है कि "बर्फ" टूट जाती है? जब डंडे आपस में टकराते हैं, अपनी चिकनी परत खो देते हैं, और एक-दूसरे के साथ रगड़ना शुरू कर देते हैं जिससे घर्षण (friction) पैदा होता है? यही वह प्रश्न है जो आधुनिक रियोलॉजी (प्रवाह का अध्ययन) को प्रेरित करता है। यह समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह समझाता है कि क्यों कुछ सामग्रियां अचानक एक बहने वाले तरल से एक ठोस ब्लॉक में बदल जाती हैं जब आप उन्हें बहुत तेज़ी से हिलाते हैं, यह एक ऐसी घटना है जो औद्योगिक पाइपों को जाम कर सकती है या 3D प्रिंटर को बाधित कर सकती है।

इस शोध पत्र में, जेनेवीव क्विनोनेस और पीटर डी. ओल्मस्टेड इन घर्षण वाले टकरावों के जटिल गणित को सुलझाते हैं। वे नियमों का एक नया सेट तैयार करते हैं, जिसे स्मोलुकोव्स्की समीकरण (Smoluchowski equation) कहा जाता है, ताकि यह अनुमान लगाया जा सके कि घने घर्षण वाले डंडों की भीड़ शेयर्ड (हिलाने/stirring) होने पर कैसा व्यवहार करती है। इसे एक ट्रैफिक सिमुलेशन के अपग्रेड के रूप में सोचें, जहाँ कारों का मॉडल केवल चिकनी, घर्षण रहित सड़कों पर चलने से बदलकर ऐसा हो जाता है जहाँ वे वास्तव में फिसल सकती हैं, रगड़ खा सकती हैं और फंस सकती हैं। लेखक सुझाव देते हैं कि जब ये डंडे घने होते हैं, तो वे केवल फिसलते नहीं हैं; वे कभी-कभी चिपक जाते हैं और खुरचते हैं, जिससे एक "घर्षण टॉर्क" (frictional torque) उत्पन्न होता है जो उनके घूमने के तरीके को बदल देता है। उनका काम बताता है कि यह घर्षण एक ब्रेक की तरह कार्य करता है, जो उन जंगली, लुढ़कने वाली गतियों को दबा देता है जो डंडे आमतौर पर करते हैं और उन्हें प्रवाह के साथ अधिक व्यवस्थित रूप से संरेखित होने के लिए मजबूर करता है। वे यह गिनने का एक नया तरीका भी प्रस्तावित करते हैं कि एक डंडा कितनी बार अपने पड़ोसियों से टकराता है, यह पाते हुए कि भीड़ जितनी अधिक व्यवस्थित होती है, टकराने की घटनाएं उतनी ही कम होती हैं। हालांकि उन्होंने अभी तक इसे सिद्ध करने के लिए कोई भौतिक मशीन नहीं बनाई है, लेकिन उनके कंप्यूटर सिमुलेशन दिखाते हैं कि घर्षण जोड़ने से डंडों के नृत्य के चरण बदल जाते हैं, जिससे वे अनियंत्रित होकर घूमने से बच जाते हैं और यह समझा सकता है कि क्यों कुछ गाढ़े तरल पदार्थ उन्हें अधिक जोर से धकेलने पर और भी गाढ़े हो जाते हैं।

रगड़ते हुए डंडों की कहानी

कल्पना कीजिए कि आप एक भीड़ भरे डांस फ्लोर पर हैं। यदि कमरा विशाल है, तो हर कोई स्वतंत्र रूप से घूम और नाच सकता है। यह रॉड्स का एक तनु सस्पेंशन (dilute suspension) है, जहाँ कण एक-दूसरे से दूर होते हैं और केवल कभी-कभी टकराते हैं। भौतिकविदों को लंबे समय से पता है कि इस नृत्य की भविष्यवाणी कैसे की जाए; वे समीकरणों (जैसे जेफ्री का समीकरण) का उपयोग करते हैं जो एक बहते तरल में एक अकेले डंडे के घूमने का वर्णन करते हैं।

अब, कल्पना कीजिए कि डांस फ्लोर भर गया है। डांसर अब केवल घूम नहीं रहे हैं; वे एक-दूसरे से टकरा रहे हैं। एक अर्ध-तनु (semi-dilute) भीड़ में, वे अभी भी एक पतली तरल परत (जैसे पसीना या तेल) के कारण एक-दूसरे के पास से फिसल सकते हैं जो एक स्नेहक (lubricant) के रूप में कार्य करती है। लेकिन एक सांद्रित (concentrated) भीड़ में, वह स्नेहक परत टूट सकती है। अचानक, डांसर फिसल नहीं रहे हैं; वे एक-दूसरे के खिलाफ अपने जूते रगड़ रहे हैं। यह ठोस घर्षण (solid friction) है।

लंबे समय तक, वैज्ञानिक इस रगड़ के लिए गणित लिखने के लिए संघर्ष करते रहे। पिछले प्रयासों ने माना कि भले ही डंडे रगड़ रहे हों, वे अभी भी उसी "नृत्य के चरणों" (जेफ्री के समीकरण) का पालन कर रहे हैं, जैसे कि वे एक विरल भीड़ में हों, बस इसमें एक अतिरिक्त "धक्का" जोड़ दिया गया है। लेकिन जब इस शोध पत्र के लेखकों ने इन धक्कों के औसत प्रभाव की गणना करने की कोशिश की, तो उन्होंने पाया कि गणित शून्य होकर कट गया। यह ऐसा था जैसे घर्षण अदृश्य हो। यह उनके लिए समझ से बाहर था, क्योंकि हम वास्तविक जीवन में जानते हैं कि घर्षण चीजों को धीमा करता है और उनके चलने के तरीके को बदल देता है।

नया दृष्टिकोण: "ऊर्जा बिल"

क्विनोनेस और ओल्मस्टेड ने एक अलग रणनीति अपनाने का निर्णय लिया। यह अनुमान लगाने के बजाय कि डंडे कैसे चलते हैं और फिर घर्षण जोड़ने के बजाय, उन्होंने ऊर्जा (energy) से शुरुआत की। उन्होंने रेलेियन (Rayleighian) नामक एक विधि का उपयोग किया, जो अनिवार्य रूप रूप से पूरे सिस्टम के लिए "ऊर्जा बिल" की गणना करने का एक तरीका है।

रेलेियन को एक कुल लागत कैलकुलेटर के रूप में सोचें। यह दो चीजों को जोड़ता है:

1. मुक्त ऊर्जा (Free Energy): डंडे एक निश्चित तरीके से खुद को व्यवस्थित करने के लिए कितना चाहते हैं (जैसे चुंबक का संरेखित होना)।
2. क्षय (Dissipation): घर्षण और ड्रैग के कारण गर्मी के रूप में कितनी ऊर्जा नष्ट होती है।

लेखकों ने महसूस किया कि डंडों की वास्तविक गति को खोजने के लिए, आपको इस कुल "ऊर्जा बिल" को न्यूनतम करना होगा। जब उन्होंने इस बिल में ठोस घर्षण (रगड़) और सीमा स्नेहित घर्षण (एक पतली फिल्म के साथ फिसलना) के कारण होने वाली ऊर्जा को शामिल किया, तो कुछ जादुई हुआ। गणित ने स्वाभाविक रूप से एक नया "टॉर्क" (एक घुमाव बल) उत्पन्न किया जो शून्य नहीं था।

उन्होंने पाया कि घर्षण एक घूर्णी ब्रेक (rotational brake) की तरह कार्य करता है। जब डंडे एक-दूसरे के विरुद्ध रगड़ते हैं, तो उनके लिए घूमना कठिन हो जाता है। यह स्मोलुकोव्स्की समीकरण को बदल देता है, जो वह मास्टर समीकरण है जो भविष्यवाणी करता है कि सभी डंडों का ओरिएंटेशन (अभिविन्यास) समय के साथ कैसे बदलता है।

उन्होंने क्या पाया: नृत्य बदल जाता है

लेखकों ने इन घर्षण वाले डंडों को हिलाने पर क्या होता है, यह देखने के लिए कंप्यूटर सिमुलेशन चलाए। यहाँ उनकी खोज है:

• "कयाकिंग" (Kayaking) रुक जाती है: घर्षण रहित भीड़ में, डंडे अक्सर "कयाकिंग" नामक एक चाल करते हैं, जहाँ वे एक जटिल, आउट-ऑफ-प्लेन कक्षा में झुकते और घूमते हैं। लेखकों ने पाया कि जब घर्षण चालू होता है, तो यह जंगली घूमना दब जाता है। डंडे कयाकिंग करना बंद कर देते हैं और इसके बजाय प्रवाह के साथ संरेखित रहने की प्रवृत्ति रखते हैं, जैसे कि मछलियों का एक झुंड सीधी रेखा में तैर रहा हो।
• "जैमिंग" (Jamming) का संबंध: वे सुझाव देते हैं कि यह घर्षण संबंधी ब्रेकिंग विच्छिन्न शियर थिकनिंग (Discontinuous Shear Thickening - DST) का एक प्रमुख घटक है। यह वह अजीब घटना है जहाँ एक तरल (जैसे मक्के का स्टार्च और पानी) अचानक ठोस बन जाता है जब आप इसे ज़ोर से मारते हैं। लेखकों का मॉडल बताता है कि जैसे-जैसे आप तेज़ी से हिलाते हैं, डंडों के बीच घर्षण बढ़ता है, "ब्रेक" लॉक हो जाते हैं, और सामग्री जाम हो जाती है।
• टकराव की गिनती: उन्होंने यह अनुमान लगाने के लिए एक नया सूत्र भी बनाया कि एक डंडा कितनी बार अपने पड़ोसियों को छूता है। उन्होंने पाया कि संपर्कों की संख्या इस बात पर निर्भर करती है कि भीड़ कितनी व्यवस्थित है। यदि डंडे पूरी तरह से संरेखित (उच्च व्यवस्था) हैं, तो वे कम पड़ोसियों को छूते हैं। यदि वे अस्त-व्यस्त और अव्यवस्थित हैं, तो वे अधिक छूते हैं। यह एक पिछले विचार का सामान्यीकरण है जो केवल अव्यवस्थित भीड़ के लिए काम करता था।

मॉडल की सीमाएँ

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह शोध पत्र क्या दावा नहीं करता है। लेखक सावधानी बरतते हुए कहते हैं कि उनका मॉडल यह मान लेता है कि डंडे हमेशा एक-दूसरे के बगल से फिसलते (sliding) रहते हैं। वे अभी तक उस क्षण का मॉडल नहीं बना सकते जब डंडे इतने फंस जाते हैं कि वे एक विशाल, अचल क्लस्टर (स्थिर घर्षण) बना लेते हैं। वास्तविक दुनिया में, ये फंसे हुए क्लस्टर ही संभवतः मुख्य कारण हैं जिनसे सामग्रियां पूरी तरह से जाम हो जाती हैं। लेखक स्वीकार करते हैं कि उनका मॉडल इस "फंसे हुए" भाग को छोड़ देता है क्योंकि स्थिर घर्षण ऊष्मा (क्षय) उत्पन्न नहीं करता है, इसलिए यह उनके ऊर्जा बिल में दिखाई नहीं देता है।

इसके अलावा, उनके परिणाम सिमुलेशन और गणितीय व्युत्पत्तियों पर आधारित हैं, न कि नए भौतिक प्रयोगों पर। वे सुझाव देते हैं कि उनके निष्कर्ष यह समझाते हैं कि घर्षण क्यों मायने रखता है, लेकिन उन्होंने अभी तक प्रयोगशाला में इसे मापा नहीं है। वे यह भी मान लेते हैं कि सस्पेंशन पूरी तरह से मिश्रित और समान है, इस संभावना को अनदेखा करते हुए कि घर्षण डंडों को विशिष्ट स्थानों पर एक साथ इकट्ठा होने का कारण बन सकता है।

निष्कर्ष

सरल शब्दों में, क्विनोनेस और ओल्मस्टेड ने एक नया गणितीय टूलकिट बनाया है जो अंततः एक गाढ़े तरल में कणों के बीच की "रगड़" को ध्यान में रखता है। उन्होंने दिखाया कि यदि आप घर्षण को अनदेखा करते हैं, तो आप उन ब्रेक्स को मिस कर देते हैं जो डंडों को जंगली ढंग से घूमने से रोकते हैं। इस घर्षण को शामिल करके, उन्होंने एक सुसंगत तरीका पाया जिससे यह भविष्यवाणी की जा सके कि ये घने डंडे कैसे चलते हैं और वे उस कंटेनर पर कितना तनाव डालते हैं जिसमें वे रखे गए हैं। हालांकि उन्होंने अभी तक इस रहस्य को पूरी तरह से हल नहीं किया है कि तरल पदार्थ पूरी तरह से क्यों जाम हो जाते हैं (इसके लिए "फंसे हुए" अवस्था को समझने की आवश्यकता है), उन्होंने पहेली का एक महत्वपूर्ण हिस्सा प्रदान किया है: वह घर्षण टॉर्क जो जाम होने से पहले नृत्य को धीमा कर देता है।