A Smoluchowski equation for a sheared suspension of frictionally interacting rods

우리가 마시거나, 칠하거나, 인쇄하는 것들이 단순히 단순한 액체가 아니라, 유체 속에 떠 있는 작고 딱딱한 막대기들의 혼란스러운 춤이라고 상상해 보십시오. 이것은 입자들이 액체 속에서 어떻게 움직이는지를 연구하는 물리학의 한 분야인 **현탁액(suspensions)**의 영역입니다. 100년 넘게 과학자들은 이 막대기들이 서로 멀리 떨어져 있을 때, 마치 잔잔한 시냇물에 떠 있는 잎사귀처럼 느릿하게 떠다니는 방식을 이해해 왔습니다. 또한 그들이 얇고 미끄러운 유체 층 위에서 얼음판 위의 스케이트 선수들처럼 서로 미끄러지며 붐비는 상황에서도 어떻게 행동하는지도 알고 있습니다. 하지만 세 번째로 더 무질서한 시나리오가 있습니다: 군중이 너무 밀집되어 "얼음"이 깨지는 상황은 어떤 일이 벌어질까요? 막대기들이 서로 충돌하고, 미끄러운 코팅을 잃어버리고, **마찰(friction)**을 일으키며 서로 맞부딪히기 시작할 때 말입니다. 이것이 현대 유변학(흐름을 연구하는 학문)을 이끄는 질문입니다. 이 현상을 이해하는 것은 어떤 재료가 너무 빨리 저으면 갑자기 흐르는 액체에서 단단한 블록으로 변하는 이유를 설명해주는데, 이는 산업용 파이프를 막거나 3D 프린터를 멈추게 할 수 있습니다.

이 논문에서 제네비브 키뇨네스(Genevieve Quiñones)와 피터 D. 올름스테드(Peter D. Olmsted)는 이러한 마찰 충돌의 복잡한 수학을 다룹니다. 그들은 이 밀집된 마찰 막대기들이 전단(shear, 저어주는 것)될 때 어떻게 행동하는지 예측하기 위해 **스몰루코프스키 방정식(Smoluchowski equation)**이라 불리는 새로운 규칙 세트를 구축합니다. 이것을 자동차가 매끄럽고 마찰 없는 도로만 달리는 모델에서, 실제로 미끄러지고, 갈리고, 엉키는 것이 가능한 모델로 업그레이드된 교통 시뮬레이션이라고 생각하십시오. 저자들은 이 막대기들이 밀집되면 단순히 미끄러지는 것이 아니라, 때때로 달라붙고 긁히면서 그들의 회전을 변화시키는 "마찰 토크(frictional torque)"를 생성한다고 제안합니다. 그들의 연구는 이 마찰이 브레이크 역할을 하여 막대기들이 보통 하는 격렬한 텀블링 동작을 억제하고, 흐름에 따라 더 정연하게 정렬하도록 강제한다는 것을 시사합니다. 또한 그들은 막대기가 이웃과 부딪히는 횟수를 세는 새로운 방법을 제안하며, 군중이 더 질서 정연할수록 충돌이 적게 발생한다는 것을 발견했습니다. 아직 이를 증명할 물리적인 기계를 만들지는 않았지만, 그들의 컴퓨터 시뮬레이션은 마찰을 추가하는 것이 막대기들의 춤 동작을 변화시켜 그들이 통제 불능으로 회전하는 것을 막아준다는 것을 보여주며, 왜 어떤 두꺼운 유체들이 더 세게 밀 때 갑자기 더 두꺼워지는지를 잠재적으로 설명해 줍니다.

딱딱한 막대기들의 이야기

당신이 붐비는 댄스 플로어에 있다고 상상해 보십시오. 방이 넓다면 모두가 자유롭게 돌고 회전할 수 있습니다. 이것은 막대기들의 **희박 현탁액(dilute suspension)**과 같으며, 입자들이 서로 멀리 떨어져 있어 가끔씩만 부딪히는 상태입니다. 물리학자들은 오랫동안 이 춤을 예측하는 법을 알고 있었습니다. 그들은 단일 막대기가 흐르는 액체 속에서 어떻게 회전하는지를 설명하는 방정식(제프리 방정식과 같은)을 사용합니다.

이제 댄스 플로어가 꽉 찼다고 상상해 보십시오. 무용수들은 더 이상 단순히 회전하는 것이 아니라 서로 부딪히고 있습니다. 반희박(semi-dilute) 군중에서는 그들이 여전히 윤활제 역할을 하는 얇은 유체 층(땀이나 기름 같은) 덕분에 서로 미끄러질 수 있습니다. 하지만 농축된(concentrated) 군중에서는 그 윤활층이 깨질 수 있습니다. 갑자기 무용수들은 미끄러지는 것이 아니라, 서로의 신발을 갈며 움직이고 있습니다. 이것이 **고체 마찰(solid friction)**입니다.

오랫동안 과학자들은 이 갈리는 움직임을 수학적으로 기술하는 데 어려움을 겪었습니다. 이전의 시도들은 막대기들이 갈리고 있을 때조차도, 마치 희박한 군중 속에 있는 것처럼 동일한 "춤 동작"(제프리 방정식)을 따르되 추가적인 "밀기"만 더해진다고 가정했습니다. 하지만 이 논문의 저자들이 이러한 밀기의 평균 효과를 계산하려고 했을 때, 그들은 수학적으로 결과가 0으로 상쇄된다는 것을 발견했습니다. 마치 마찰이 보이지 않는 것처럼 말입니다. 이는 그들에게 이해되지 않았습니다. 왜냐하면 우리는 현실 세계에서 마찰이 움직임을 늦추고 변화시킨다는 것을 알고 있기 때문입니다.

새로운 접근법: "에너지 청구서"

키뇨네스와 올름스테드는 다른 전략을 시도하기로 했습니다. 막대기가 어떻게 움직이는지 추측한 다음 마찰을 더하는 대신, 그들은 에너지에서 시작했습니다. 그들은 **레일리언(Rayleighian)**이라 불리는 방법을 사용했는데, 이는 본질적으로 전체 시스템에 대한 "에너지 청구서"를 계산하는 방법입니다.

레일리언을 총 비용 계산기라고 생각하십시오. 그것은 두 가지를 합산합니다:

1. 자유 에너지(Free Energy): 막대기들이 특정 방식으로 배열되기를 원하는 정도(자석이 정렬되는 것과 같은).
2. 소산(Dissipation): 마찰과 항력으로 인해 열로 손실되는 에너지.

저자들은 막대기의 진정한 움직임을 찾으려면 이 전체 "에너지 청구서"를 최소화해야 한다는 것을 깨달았습니다. 그들이 이 청구서에 고체 마찰(갈리는 것)과 경계 윤활 마찰(얇은 막과 함께 미끄러지는 것)로 인한 에너지 손실을 포함했을 때, 마법 같은 일이 일어났습니다. 수학은 자연스럽게 0이 아닌 새로운 "토크"(비트는 힘)를 만들어냈습니다.

그들은 마찰이 회전 브레이크 역할을 한다는 것을 발견했습니다. 막대기들이 서로 갈릴 때, 그들이 회전하는 것은 더 어려워집니다. 이는 모든 막대기의 방향이 시간이 지남에 따라 어떻게 변하는지를 예측하는 마스터 방정식인 스몰루코프스키 방정식을 변화시킵니다.

그들이 발견한 것: 춤이 변하다

저자들은 이 마찰 막대기들을 저을 때 어떤 일이 일어나는지 보기 위해 컴퓨터 시뮬레이션을 실행했습니다. 여기서 그들이 발견한 내용은 다음과 같습니다:

• "카야킹(Kayaking)"의 중단: 마찰이 없는 군중에서 막대기들은 종종 "카야킹"이라고 불리는 동작, 즉 복잡한 평면 외 궤도를 그리며 기울어지고 회전하는 동작을 수행합니다. 저자들은 마찰이 켜졌을 때 이 격렬한 회전이 억제된다는 것을 발견했습니다. 막대기들은 카야킹을 멈추고 대신 물고기 떼처럼 흐름에 따라 정렬되는 경향을 보입니다.
• "재밍(Jamming)"과의 연결: 그들은 이 마찰 브레이크가 **불연속 전단 농후(Discontinuous Shear Thickening, DST)**의 핵심 요소라고 제안합니다. 이것은 (옥수수 전분과 물 같은) 액체가 강하게 칠 때 갑자기 고체로 변하는 기이한 현상입니다. 저자들의 모델은 더 빨리 저을수록 막대기 사이의 마찰이 증가하고, "브레이크"가 걸리며, 재료가 잼(jam) 상태가 된다는 것을 시사합니다.
• 충돌 횟수 세기: 그들은 또한 막대기가 이웃과 접촉하는 횟수를 추정하는 새로운 공식을 만들어냈습니다. 그들은 접촉 횟수가 군중이 얼마나 질서 정연한지에 달려 있다는 것을 발견했습니다. 만약 막대기들이 완벽하게 정렬되어 있다면(높은 질서), 이웃과 덜 접촉합니다. 만약 무질서하다면, 더 많이 접촉합니다. 이것은 무질서한 군중에서만 작동했던 이전 아이디어의 일반화입니다.

모델의 한 Limits

이 논문이 주장하지 않는 바를 명시하는 것이 중요합니다. 저자들은 자신들의 모델이 막대기들이 항상 서로 미끄러지고 있다고 가정한다고 주의를 기울여 말합니다. 그들은 막대기들이 너무 꽉 끼어서 거대한 움직이지 않는 클러스터를 형성하는 순간(정적 마찰)까지는 아직 모델링할 수 없습니다. 현실 세계에서 이러한 갇힌 클러스터들은 재료가 완전히 잼 상태가 되는 주요 원인일 가능성이 높습니다. 저자들은 정적 마찰은 열(소산)을 발생시키지 않기 때문에 그들의 에너지 청구서에 나타나지 않으므로, 모델이 이 "멈춘" 부분을 놓치고 있음을 인정합니다.

또한, 그들의 결과는 새로운 물리적 실험이 아니라 시뮬레이션과 수학적 유도에 기반하고 있습니다. 그들은 자신들의 발견이 마찰이 왜 중요한지를 설명하지만, 실험실에서 직접 측정하지는 않았다고 제안합니다. 또한 그들은 현탁액이 완벽하게 혼합되고 균일하다고 가정하며, 마찰이 막대기들을 특정 지점에 뭉치게 할 가능성은 무시합니다.

요약

간단히 말해, 키뇨네스와 올름스테스는 두꺼운 유체 내 입자 사이의 "갈림"을 마침내 설명할 수 있는 새로운 수학적 도구를 구축했습니다. 그들은 만약 마찰을 무시한다면, 막대기가 격렬하게 회전하는 것을 막는 브레이크를 놓치게 된다는 것을 보여주었습니다. 이 마찰을 포함함으로써, 그들은 이 붐비는 막대기들이 어떻게 움직이고 그들이 담긴 용기에 얼마나 많은 응력을 가하는지를 예측하는 자기 일관적인 방법을 찾아냈습니다. 비록 그들이 유체가 완전히 잼 상태가 되는 미스터리를 완전히 풀지는 못했지만(그것은 "멈춘" 상태를 이해해야 합니다), 그들은 잼이 발생하기 전 춤을 늦추는 마찰 토크라는 결정적인 퍼즐 조각을 제공했습니다.