A Smoluchowski equation for a sheared suspension of frictionally interacting rods

Immaginate un mondo in cui ciò che beviamo, dipingiamo o stampiamo non è solo un semplice liquido, ma una danza caotica di piccoli bastoncini rigidi che galleggiano in un fluido. Questo è il regno delle sospensioni, un ramo della fisica che studia come le particelle si muovono quando mescolate in un liquido. Per oltre un secolo, gli scienziati hanno compreso come questi bastoncini si comportano quando sono lontani tra loro, scivolando pigramente come foglie in un ruscello gentile. Sanno anche come agiscono quando sono affollati ma ancora capaci di scivolare l'uno accanto all'altro su un sottile strato di fluido scivoloso, come pattinatori sul ghiaccio in un laghetto gelato. Ma c'è un terzo scenario, più disordinato: cosa succede quando la folla diventa così densa che il "ghiaccio" si rompe? Quando i bastoncini si scontrano, perdono il loro rivestimento scivoloso e iniziano a macinarsi l'un l'altro con l'attrito? Questa è la domanda che guida la reologia moderna (lo studio del flusso). Comprendere questo è fondamentale perché spiega perché alcuni materiali si trasformano improvvisamente da un liquido fluido in un blocco solido quando vengono mescolati troppo velocemente, un fenomeno che può ostruire i tubi industriali o bloccare le stampanti 3D.

In questo articolo, Genevieve Quiñones e Peter D. Olmsted affrontano la matematica disordinata di questi scontri attritivi. Costruiscono un nuovo insieme di regole, chiamato equazione di Smoluchowski, per prevedere come si comporta una folla densa di bastoncini attritivi quando viene sottoposta a taglio (mescolata). Pensatelo come un aggiornamento di una simulazione del traffico da un modello in cui le auto viaggiano solo su strade lisce e senza attrito a uno in cui possono effettivamente scivolare, macinare e incastrarsi. Gli autori suggeriscono che, quando questi bastoncini si affollano, non si limitano a scivolare; a volte si attaccano e si grattano, creando una "coppia di rotazione attritiva" (frictional torque) che cambia il modo in cui ruotano. Il loro lavoro suggerisce che questo attrito agisce come un freno, sopprimendo i movimenti selvaggi e rotatori che i bastoncini compiono di solito e costringendoli ad allinearsi più ordinatamente con il flusso. Propongono anche un nuovo modo per contare quante volte un bastoncino urta i suoi vicini, scoprendo che più la folla è ordinata, meno urti si verificano. Sebbene non abbiano ancora costruito una macchina fisica per provarlo, le loro simulazioni al computer mostrano che l'aggiunta dell'attrito cambia i passi di danza dei bastoncini, impedendo loro di roteare fuori controllo e spiegando potenzialmente perché alcuni fluidi densi diventano ancora più densi quando vengono spinti con più forza.

La storia dei bastoncini che macinano

Immaginate di essere su una pista da ballo affollata. Se la stanza è spaziosa, tutti possono ruotare e girare liberamente. Questo è come una sospensione diluita di bastoncini, dove le particelle sono lontane tra loro e si urtano solo occasionalmente. I fisici sanno da tempo come prevedere questa danza; usano equazioni (come l'equazione di Jeffery) che descrivono come un singolo bastoncino ruota in un liquido in movimento.

Ora, immaginate che la pista da ballo si riempia. I ballerini non stanno più solo ruotando; stanno urtando l'uno contro l'altro. In una folla semi-diluita, potrebbero ancora scivolare l'uno accanto all'altro grazie a un sottile strato di fluido (come sudore o olio) che funge da lubrificante. Ma in una folla concentrata, quello strato lubrificante può rompersi. Improvvisamente, i ballerini non stanno più scivolando; stanno macinando le scarpe l'uno contro l'altro. Questo è l'attrito solido.

Per molto tempo, gli scienziati hanno faticato a scrivere la matematica per questo macinare. I tentativi precedenti assumevano che, anche quando i bastoncini stavano macinando, seguissero comunque gli stessi "passi di danza" (l'equazione di Jeffery) come se fossero in una folla rada, con solo una "spinta" extra aggiunta. Ma quando gli autori di questo articolo hanno cercato di calcolare l'effetto medio di queste spinte, hanno scoperto che la matematica si annullava a zero. Era come se l'attrito fosse invisibile. Questo non aveva senso per loro, perché sappiamo dalla vita reale che l'attrito rallenta le cose e ne cambia il movimento.

Il nuovo approccio: Il "conto dell'energia"

Quiñones e Olmsted hanno deciso di provare una strategia diversa. Inve invece di indovinare come si muovono i bastoncini e poi aggiungere l'attrito, sono partiti dall'energia. Hanno usato un metodo chiamato Rayleighian, che è essenzialmente un modo per calcolare il "conto dell'energia" per l'intero sistema.

Pensate al Rayleighian come a un calcolatore del costo totale. Esso somma due cose:

1. L'Energia Libera: Quanto i bastoncini desiderano disporsi in un certo modo (come magneti che si allineano).
2. La Dissipazione: Quanta energia viene persa in calore a causa dell'attrito e della resistenza.

Gli autori hanno capito che, per trovare il vero movimento dei bastoncini, bisogna minimizzare questo "conto dell'energia" totale. Quando hanno incluso l'energia persa nell'attrito solido (il macinare) e nell'attrito lubrificato dai confini (lo scivolamento con un sottile film) in questo conto, è successo qualcosa di magico. La matematica ha prodotto naturalmente una nuova "coppia di rotazione" (torque) che non era zero.

Hanno scoperto che l'attrito agisce come un freno rotazionale. Quando i bastoncoli macinano l'uno contro l'altro, diventa più difficile per loro ruotare. Questo cambia l'equazione di Smoluchowski, che è l'equazione principale che predice come l'orientamento di tutti i bastoncini cambi nel tempo.

Cosa hanno scoperto: La danza cambia

Gli autori hanno eseguito simulazioni al computer per vedere cosa succede quando si mescola questi bastoncini attritivi. Ecco cosa hanno scoperto:

• Il "kayaking" si ferma: In una folla senza attrito, i bastoncini spesso eseguono un movimento chiamato "kayaking", in cui si inclinano e ruotano in un'orbita complessa fuori dal piano. Gli autori hanno scoperto che, quando l'attrito viene attivato, questo movimento selvaggio è soppresso. I bastoncini smettono di fare kayaking e tendono invece a rimanere allineati con il flusso, come un banco di pesci che nuota in linea retta.
• La connessione con l'intasamento: Suggeriscono che questo frenamento attritivo sia un ingrediente chiave nel Rigonfiamento da Taglio Discontinuo (DST). Questo è il fenomeno strano per cui un liquido (come acqua e amido di mais) diventa improvvisamente solido quando lo colpisci con forza. Il modello degli autori suggerisce che, man mano che si mescola più velocemente, l'attrito tra i bastoncini aumenta, i "freni" si bloccano e il materiale si intasa.
• Contare gli urti: Hanno anche ideato una nuova formula per stimare quante volte un bastoncino tocca i suoi vicini. Hanno scoperto che il numero di contatti dipende da quanto è ordinata la folla. Se i bastoncini sono perfettamente allineati (alta ordine), toccano meno vicini. Se sono disordinati e caotici, toccano di più. Questa è una generalizzazione di un'idea precedente che funzionava solo per folle disordinate e caotiche.

I limiti del modello

È importante notare ciò che questo articolo non afferma. Gli autori precisano che il loro modello assume che i bastoncini stiano sempre scivolando l'uno accanto all'altro. Non possono ancora modellare il momento in cui i bastoncini rimangono così bloccati da formare un enorme gruppo immobile (attrito statico). Nel mondo reale, questi gruppi bloccati sono probabilmente la ragione principale per cui i materiali si intasano completamente. Gli autori ammettono che il loro modello manca di questa parte di "blocco" perché l'attrito statico non genera calore (dissipazione), quindi non appare nel loro conto dell'energia.

Inoltre, i loro risultati si basano su simulazioni e derivazioni matematiche, non su nuovi esperimenti fisici. Suggeriscono che le loro scoperte spiegano perché l'attrito conta, ma non lo hanno ancora misurato in laboratorio. Inoltre, assumono che la sospensione sia perfettamente mescolata e uniforme, ignorando la possibilità che l'attrito possa far sì che i bastoncini si raggruppino in punti specifici.

Conclusione

In termini semplici, Quiñones e Olmsted hanno costruito un nuovo kit di strumenti matematici che finalmente tiene conto del "macinare" tra le particelle in un fluido denso. Hanno dimostato che se si ignora l'attrito, si perdono i freni che impediscono ai bastoncini di ruotare selvaggiamente. Includendo questo attrito, hanno trovato un modo autosufficiente per prevedere come si muovono questi bastoncini affollati e quanta tensione esercitano sul contenitore che li ospita. Sebbene non abbiano risolto il mistero del perché i fluidi si intasino completamente (ciò richiede la comprensione dello stato "bloccato"), hanno fornito un pezzo cruciale del puzzle: la coppia di rotazione attritiva che rallenta la danza prima che avvenga l'intasamento.